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3. Dez. 2025

5 Seiten

Einführung in Matrizen: Grundlagen und Anwendungen

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mariie

@mariie_43

Diese Matheklausur zeigt dir, wie lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren... Mehr anzeigen

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22. November 2021
Name:
a) 4x
X
Der Rechenweg muss lückenlos nachvollziehbar sein! Brüche sind vollständig gekürzt anzugeben!
1. Klausur 11/

Mathematik-Klausur: Grundlagen

Diese Vertiefungskurs-Klausur behandelt drei zentrale Themen der linearen Algebra, die du für dein Abitur beherrschen musst. Du wirst mit dem Gauß-Verfahren lineare Gleichungssysteme lösen, inverse Matrizen berechnen und geometrische Abbildungen durch Matrizen verstehen.

Die erste Aufgabe fordert dich auf, zwei Gleichungssysteme mit drei Unbekannten zu lösen. Dabei ist wichtig, dass du jeden Rechenschritt nachvollziehbar dokumentierst - das bringt dir auch bei kleinen Fehlern noch Teilpunkte.

Bei der zweiten Aufgabe geht es um die inverse Matrix einer 4×4-Matrix. Das klingt komplizierter als es ist - du verwendest das gleiche Gauß-Verfahren wie bei Gleichungssystemen.

Tipp: Das Gauß-Verfahren ist dein wichtigstes Werkzeug für alle drei Aufgabentypen. Übe es, bis es automatisch läuft!

22. November 2021
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Der Rechenweg muss lückenlos nachvollziehbar sein! Brüche sind vollständig gekürzt anzugeben!
1. Klausur 11/

Lineare Gleichungssysteme mit Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren funktioniert wie ein systematisches Aufräumen: Du bringst dein Gleichungssystem Schritt für Schritt in eine übersichtliche Form. Hier siehst du, wie das erste System mit drei Gleichungen und drei Unbekannten gelöst wird.

Der Trick ist, dass du durch Zeilenoperationen eine Stufenform erzeugst. Du multiplizierst Zeilen mit Zahlen und addierst sie zu anderen Zeilen, bis unter der Hauptdiagonale nur noch Nullen stehen. Das nennt man Dreiecksform.

Die Lösung des ersten Systems ist x = 38/7, y = 453/154 und z = 6/7. Diese Brüche sehen kompliziert aus, aber das ist völlig normal - nicht jedes System hat "schöne" Lösungen.

Wichtig: Kontrolliere deine Lösung, indem du die Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt!

22. November 2021
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X
Der Rechenweg muss lückenlos nachvollziehbar sein! Brüche sind vollständig gekürzt anzugeben!
1. Klausur 11/

Inverse Matrizen berechnen

Die inverse Matrix T⁻¹ findest du, indem du die gegebene Matrix und die Einheitsmatrix nebeneinander schreibst und dann das Gauß-Verfahren anwendest. Dein Ziel ist es, links die Einheitsmatrix zu erzeugen - dann steht rechts automatisch die inverse Matrix.

Das Verfahren läuft genauso ab wie bei Gleichungssystemen: Du führst Zeilenoperationen durch, bis du links die gewünschte Form hast. Die 4×4-Matrix aus der Aufgabe wird durch systematische Umformungen zur Einheitsmatrix gemacht.

Die berechnete inverse Matrix kannst du überprüfen, indem du sie mit der ursprünglichen Matrix multiplizierst - das Ergebnis muss die Einheitsmatrix sein.

Merke dir: T · T⁻¹ = E (Einheitsmatrix). Das ist deine Kontrolle, ob alles richtig ist!

22. November 2021
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a) 4x
X
Der Rechenweg muss lückenlos nachvollziehbar sein! Brüche sind vollständig gekürzt anzugeben!
1. Klausur 11/

Fortsetzung der Gleichungssysteme

Das zweite Gleichungssystem aus Aufgabe 1b) wird hier weitergeführt und zeigt dir einen längeren Lösungsweg. Manchmal brauchst du mehr Schritte, bis du zur Stufenform kommst - das ist normal und kein Grund zur Panik.

Die Zeilenoperationen werden hier besonders ausführlich gezeigt: II₁ = II - 3·I, dann III₁ = III - 2,5·I und so weiter. Jeder Schritt bringt dich näher zur Lösung, auch wenn es manchmal mühsam aussieht.

Am Ende erhältst du wieder eindeutige Werte für x, y und z. Die Lösung lautet hier: x = 31/56, y = -95/128, z = -3. Auch hier sind die Brüche nicht besonders "schön", aber mathematisch völlig korrekt.

Durchhalten: Auch wenn die Rechnungen lang werden - das systematische Vorgehen führt dich sicher zum Ziel!

22. November 2021
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Der Rechenweg muss lückenlos nachvollziehbar sein! Brüche sind vollständig gekürzt anzugeben!
1. Klausur 11/

Geometrische Abbildungen durch Matrizen

Die Matrix M führt eine geometrische Transformation des Dreiecks ABC durch. Wenn du jeden Eckpunkt als Spaltenvektor schreibst und mit M multiplizierst, erhältst du die neuen Koordinaten der abgebildeten Punkte.

Die Berechnung zeigt, dass die Matrix M eine Drehung um 120° um den Ursprung darstellt. Das erkennst du daran, dass eine dreimalige Anwendung jeden Punkt wieder auf sich selbst abbildet - nach 3 × 120° = 360° bist du wieder am Ausgangspunkt.

Um die Abbildung rückgängig zu machen, brauchst du die inverse Matrix M⁻¹. Diese berechnest du wieder mit dem Gauß-Verfahren, allerdings nur für eine 2×2-Matrix, was deutlich einfacher ist.

Visualisiere: Zeichne das Dreieck und seine Abbildung - so verstehst du die geometrische Bedeutung der Matrix viel besser!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Mathe

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mariie

@mariie_43

Diese Matheklausur zeigt dir, wie lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren gelöst werden und wie inverse Matrizen berechnet werden. Du lernst außerdem, wie geometrische Abbildungen durch Matrixmultiplikation funktionieren und wie du diese Operationen rückgängig machen kannst.

22. November 2021
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Der Rechenweg muss lückenlos nachvollziehbar sein! Brüche sind vollständig gekürzt anzugeben!
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Mathematik-Klausur: Grundlagen

Diese Vertiefungskurs-Klausur behandelt drei zentrale Themen der linearen Algebra, die du für dein Abitur beherrschen musst. Du wirst mit dem Gauß-Verfahren lineare Gleichungssysteme lösen, inverse Matrizen berechnen und geometrische Abbildungen durch Matrizen verstehen.

Die erste Aufgabe fordert dich auf, zwei Gleichungssysteme mit drei Unbekannten zu lösen. Dabei ist wichtig, dass du jeden Rechenschritt nachvollziehbar dokumentierst - das bringt dir auch bei kleinen Fehlern noch Teilpunkte.

Bei der zweiten Aufgabe geht es um die inverse Matrix einer 4×4-Matrix. Das klingt komplizierter als es ist - du verwendest das gleiche Gauß-Verfahren wie bei Gleichungssystemen.

Tipp: Das Gauß-Verfahren ist dein wichtigstes Werkzeug für alle drei Aufgabentypen. Übe es, bis es automatisch läuft!

22. November 2021
Name:
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Lineare Gleichungssysteme mit Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren funktioniert wie ein systematisches Aufräumen: Du bringst dein Gleichungssystem Schritt für Schritt in eine übersichtliche Form. Hier siehst du, wie das erste System mit drei Gleichungen und drei Unbekannten gelöst wird.

Der Trick ist, dass du durch Zeilenoperationen eine Stufenform erzeugst. Du multiplizierst Zeilen mit Zahlen und addierst sie zu anderen Zeilen, bis unter der Hauptdiagonale nur noch Nullen stehen. Das nennt man Dreiecksform.

Die Lösung des ersten Systems ist x = 38/7, y = 453/154 und z = 6/7. Diese Brüche sehen kompliziert aus, aber das ist völlig normal - nicht jedes System hat "schöne" Lösungen.

Wichtig: Kontrolliere deine Lösung, indem du die Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt!

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Inverse Matrizen berechnen

Die inverse Matrix T⁻¹ findest du, indem du die gegebene Matrix und die Einheitsmatrix nebeneinander schreibst und dann das Gauß-Verfahren anwendest. Dein Ziel ist es, links die Einheitsmatrix zu erzeugen - dann steht rechts automatisch die inverse Matrix.

Das Verfahren läuft genauso ab wie bei Gleichungssystemen: Du führst Zeilenoperationen durch, bis du links die gewünschte Form hast. Die 4×4-Matrix aus der Aufgabe wird durch systematische Umformungen zur Einheitsmatrix gemacht.

Die berechnete inverse Matrix kannst du überprüfen, indem du sie mit der ursprünglichen Matrix multiplizierst - das Ergebnis muss die Einheitsmatrix sein.

Merke dir: T · T⁻¹ = E (Einheitsmatrix). Das ist deine Kontrolle, ob alles richtig ist!

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Fortsetzung der Gleichungssysteme

Das zweite Gleichungssystem aus Aufgabe 1b) wird hier weitergeführt und zeigt dir einen längeren Lösungsweg. Manchmal brauchst du mehr Schritte, bis du zur Stufenform kommst - das ist normal und kein Grund zur Panik.

Die Zeilenoperationen werden hier besonders ausführlich gezeigt: II₁ = II - 3·I, dann III₁ = III - 2,5·I und so weiter. Jeder Schritt bringt dich näher zur Lösung, auch wenn es manchmal mühsam aussieht.

Am Ende erhältst du wieder eindeutige Werte für x, y und z. Die Lösung lautet hier: x = 31/56, y = -95/128, z = -3. Auch hier sind die Brüche nicht besonders "schön", aber mathematisch völlig korrekt.

Durchhalten: Auch wenn die Rechnungen lang werden - das systematische Vorgehen führt dich sicher zum Ziel!

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Geometrische Abbildungen durch Matrizen

Die Matrix M führt eine geometrische Transformation des Dreiecks ABC durch. Wenn du jeden Eckpunkt als Spaltenvektor schreibst und mit M multiplizierst, erhältst du die neuen Koordinaten der abgebildeten Punkte.

Die Berechnung zeigt, dass die Matrix M eine Drehung um 120° um den Ursprung darstellt. Das erkennst du daran, dass eine dreimalige Anwendung jeden Punkt wieder auf sich selbst abbildet - nach 3 × 120° = 360° bist du wieder am Ausgangspunkt.

Um die Abbildung rückgängig zu machen, brauchst du die inverse Matrix M⁻¹. Diese berechnest du wieder mit dem Gauß-Verfahren, allerdings nur für eine 2×2-Matrix, was deutlich einfacher ist.

Visualisiere: Zeichne das Dreieck und seine Abbildung - so verstehst du die geometrische Bedeutung der Matrix viel besser!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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