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395
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14. Feb. 2026
•
mariie
@mariie_43
Diese Matheklausur zeigt dir, wie lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren... Mehr anzeigen
Diese Vertiefungskurs-Klausur behandelt drei zentrale Themen der linearen Algebra, die du für dein Abitur beherrschen musst. Du wirst mit dem Gauß-Verfahren lineare Gleichungssysteme lösen, inverse Matrizen berechnen und geometrische Abbildungen durch Matrizen verstehen.
Die erste Aufgabe fordert dich auf, zwei Gleichungssysteme mit drei Unbekannten zu lösen. Dabei ist wichtig, dass du jeden Rechenschritt nachvollziehbar dokumentierst - das bringt dir auch bei kleinen Fehlern noch Teilpunkte.
Bei der zweiten Aufgabe geht es um die inverse Matrix einer 4×4-Matrix. Das klingt komplizierter als es ist - du verwendest das gleiche Gauß-Verfahren wie bei Gleichungssystemen.
Tipp: Das Gauß-Verfahren ist dein wichtigstes Werkzeug für alle drei Aufgabentypen. Übe es, bis es automatisch läuft!
Das Gauß-Verfahren funktioniert wie ein systematisches Aufräumen: Du bringst dein Gleichungssystem Schritt für Schritt in eine übersichtliche Form. Hier siehst du, wie das erste System mit drei Gleichungen und drei Unbekannten gelöst wird.
Der Trick ist, dass du durch Zeilenoperationen eine Stufenform erzeugst. Du multiplizierst Zeilen mit Zahlen und addierst sie zu anderen Zeilen, bis unter der Hauptdiagonale nur noch Nullen stehen. Das nennt man Dreiecksform.
Die Lösung des ersten Systems ist x = 38/7, y = 453/154 und z = 6/7. Diese Brüche sehen kompliziert aus, aber das ist völlig normal - nicht jedes System hat "schöne" Lösungen.
Wichtig: Kontrolliere deine Lösung, indem du die Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt!
Die inverse Matrix T⁻¹ findest du, indem du die gegebene Matrix und die Einheitsmatrix nebeneinander schreibst und dann das Gauß-Verfahren anwendest. Dein Ziel ist es, links die Einheitsmatrix zu erzeugen - dann steht rechts automatisch die inverse Matrix.
Das Verfahren läuft genauso ab wie bei Gleichungssystemen: Du führst Zeilenoperationen durch, bis du links die gewünschte Form hast. Die 4×4-Matrix aus der Aufgabe wird durch systematische Umformungen zur Einheitsmatrix gemacht.
Die berechnete inverse Matrix kannst du überprüfen, indem du sie mit der ursprünglichen Matrix multiplizierst - das Ergebnis muss die Einheitsmatrix sein.
Merke dir: T · T⁻¹ = E (Einheitsmatrix). Das ist deine Kontrolle, ob alles richtig ist!
Das zweite Gleichungssystem aus Aufgabe 1b) wird hier weitergeführt und zeigt dir einen längeren Lösungsweg. Manchmal brauchst du mehr Schritte, bis du zur Stufenform kommst - das ist normal und kein Grund zur Panik.
Die Zeilenoperationen werden hier besonders ausführlich gezeigt: II₁ = II - 3·I, dann III₁ = III - 2,5·I und so weiter. Jeder Schritt bringt dich näher zur Lösung, auch wenn es manchmal mühsam aussieht.
Am Ende erhältst du wieder eindeutige Werte für x, y und z. Die Lösung lautet hier: x = 31/56, y = -95/128, z = -3. Auch hier sind die Brüche nicht besonders "schön", aber mathematisch völlig korrekt.
Durchhalten: Auch wenn die Rechnungen lang werden - das systematische Vorgehen führt dich sicher zum Ziel!
Die Matrix M führt eine geometrische Transformation des Dreiecks ABC durch. Wenn du jeden Eckpunkt als Spaltenvektor schreibst und mit M multiplizierst, erhältst du die neuen Koordinaten der abgebildeten Punkte.
Die Berechnung zeigt, dass die Matrix M eine Drehung um 120° um den Ursprung darstellt. Das erkennst du daran, dass eine dreimalige Anwendung jeden Punkt wieder auf sich selbst abbildet - nach 3 × 120° = 360° bist du wieder am Ausgangspunkt.
Um die Abbildung rückgängig zu machen, brauchst du die inverse Matrix M⁻¹. Diese berechnest du wieder mit dem Gauß-Verfahren, allerdings nur für eine 2×2-Matrix, was deutlich einfacher ist.
Visualisiere: Zeichne das Dreieck und seine Abbildung - so verstehst du die geometrische Bedeutung der Matrix viel besser!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
mariie
@mariie_43
Diese Matheklausur zeigt dir, wie lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren gelöst werden und wie inverse Matrizen berechnet werden. Du lernst außerdem, wie geometrische Abbildungen durch Matrixmultiplikation funktionieren und wie du diese Operationen rückgängig machen kannst.
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Diese Vertiefungskurs-Klausur behandelt drei zentrale Themen der linearen Algebra, die du für dein Abitur beherrschen musst. Du wirst mit dem Gauß-Verfahren lineare Gleichungssysteme lösen, inverse Matrizen berechnen und geometrische Abbildungen durch Matrizen verstehen.
Die erste Aufgabe fordert dich auf, zwei Gleichungssysteme mit drei Unbekannten zu lösen. Dabei ist wichtig, dass du jeden Rechenschritt nachvollziehbar dokumentierst - das bringt dir auch bei kleinen Fehlern noch Teilpunkte.
Bei der zweiten Aufgabe geht es um die inverse Matrix einer 4×4-Matrix. Das klingt komplizierter als es ist - du verwendest das gleiche Gauß-Verfahren wie bei Gleichungssystemen.
Tipp: Das Gauß-Verfahren ist dein wichtigstes Werkzeug für alle drei Aufgabentypen. Übe es, bis es automatisch läuft!
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Das Gauß-Verfahren funktioniert wie ein systematisches Aufräumen: Du bringst dein Gleichungssystem Schritt für Schritt in eine übersichtliche Form. Hier siehst du, wie das erste System mit drei Gleichungen und drei Unbekannten gelöst wird.
Der Trick ist, dass du durch Zeilenoperationen eine Stufenform erzeugst. Du multiplizierst Zeilen mit Zahlen und addierst sie zu anderen Zeilen, bis unter der Hauptdiagonale nur noch Nullen stehen. Das nennt man Dreiecksform.
Die Lösung des ersten Systems ist x = 38/7, y = 453/154 und z = 6/7. Diese Brüche sehen kompliziert aus, aber das ist völlig normal - nicht jedes System hat "schöne" Lösungen.
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Die inverse Matrix T⁻¹ findest du, indem du die gegebene Matrix und die Einheitsmatrix nebeneinander schreibst und dann das Gauß-Verfahren anwendest. Dein Ziel ist es, links die Einheitsmatrix zu erzeugen - dann steht rechts automatisch die inverse Matrix.
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Die berechnete inverse Matrix kannst du überprüfen, indem du sie mit der ursprünglichen Matrix multiplizierst - das Ergebnis muss die Einheitsmatrix sein.
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Das zweite Gleichungssystem aus Aufgabe 1b) wird hier weitergeführt und zeigt dir einen längeren Lösungsweg. Manchmal brauchst du mehr Schritte, bis du zur Stufenform kommst - das ist normal und kein Grund zur Panik.
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Die Matrix M führt eine geometrische Transformation des Dreiecks ABC durch. Wenn du jeden Eckpunkt als Spaltenvektor schreibst und mit M multiplizierst, erhältst du die neuen Koordinaten der abgebildeten Punkte.
Die Berechnung zeigt, dass die Matrix M eine Drehung um 120° um den Ursprung darstellt. Das erkennst du daran, dass eine dreimalige Anwendung jeden Punkt wieder auf sich selbst abbildet - nach 3 × 120° = 360° bist du wieder am Ausgangspunkt.
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Stefan S
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
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Anna
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