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Rationale und Wurzelausdrücke

Wurzel

Mathe899Aktualisiert 12. Okt. 20264 Seiten

Normdarstellung und Wurzelziehen verständlich erklärt

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Giuliana@giana444
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Potenzgesetze und wissenschaftliche Schreibweise sind super wichtige Themen in der 9. Klasse - sie kommen in fast jeder Mathe-Klassenarbeit vor! Diese Klassenarbeit zeigt dir genau, welche Aufgaben typisch sind und wie du sie richtig löst.
Normdarstellung, Wurzel ziehen – Seite 1

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Die Klassenarbeit - Typische Aufgaben zu Potenzen

Wissenschaftliche Schreibweise begegnet dir überall im Alltag. Die Lichtgeschwindigkeit von 300.000.000 m/s schreibst du als 3,0 · 10⁸. Bei sehr kleinen Zahlen wie 0,004 mm wird es 4,0 · 10⁻³ mm.

Potenzrechnungen folgen klaren Regeln: 5¹⁰ : 5⁷ = 5³ = 125. Bei negativen Exponenten wie −2/3-2/3⁻¹ drehst du den Bruch um und machst den Exponenten positiv.

Wurzeln kannst du auch als Potenzen schreiben: ∜16 = 16^1/41/4 = 2. Das macht komplizierte Rechnungen oft einfacher.

Merktipp: Beim Vereinfachen von Termen immer erst die Exponenten berechnen, dann kürzen!

Normdarstellung, Wurzel ziehen – Seite 2

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Lösungen Teil 1 - Normdarstellung und Grundrechnungen

Die Normdarstellung funktioniert so: Eine Zahl zwischen 1 und 10, multipliziert mit einer Zehnerpotenz. 300.000.000 = 3,0 · 10⁸ und 0,004 mm = 4,0 · 10⁻³ mm.

Bei Divisionen in wissenschaftlicher Schreibweise rechnest du: 360.000 ÷ 0,00000012 = (3,6 · 10⁵) ÷ (1,2 · 10⁻⁷). Das ergibt 3 · 10¹².

Potenzgesetze sind dein bester Freund: 5¹⁰ : 5⁷ = 5³ = 125. Bei −2-2⁴ = 16 (gerade Exponenten machen negative Zahlen positiv). Bruchpotenzen wie 3/43/4⁴ · 8/98/9⁴ kannst du zusammenfassen zu 3⋅8/4⋅93·8/4·9⁴.

Praxistipp: Negative Exponenten bedeuten "1 durch die positive Potenz" - so wird −2/3-2/3⁻¹ zu 3/2!

Normdarstellung, Wurzel ziehen – Seite 3

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Lösungen Teil 2 - Vereinfachen und Wurzelrechnungen

Terme vereinfachen geht schrittweise: Bei 3⁻¹⁰ · a⁴ / (9a⁻⁶) schreibst du erst 9 als 3² und rechnest dann die Exponenten: a⁴⁺⁶ / 3²⁺¹⁰ = a¹⁰/3¹².

Komplizierte Brüche wie (2a²)⁴/(4ab)⁻² löst du auf: Das wird zu 2⁴ · a⁸ / (4⁻² · a⁻² · b⁻²). Am Ende steht da 256 · a⁶ · b².

Wurzeln multiplizieren wird einfach mit Exponenten: ⁵√x · ³√x = x^1/51/5 · x^1/31/3 = x^1/5+1/31/5 + 1/3 = x^8/158/15. Bei ³√(2¹²) rechnest du 2^12/312/3 = 2⁴ = 16.

Erfolgstrick: Schreibe Wurzeln immer als Potenzen mit Bruchexponenten - dann kannst du alle Potenzregeln anwenden!

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Lösungen Teil 3 - Wurzeln teilweise ziehen

Wurzeln teilweise ziehen bedeutet: Hol raus, was geht! Bei ³√(81y⁵) zerlegst du 81 = 3⁴ = 3³ · 3 und y⁵ = y³ · y². Das ergibt 3y · ³√(3y²).

Bei ⁴√(16x⁸) ist es noch einfacher: 16 = 2⁴ und x⁸ = (x²)⁴, also wird's zu 2x².

Die Verbesserung zeigt wichtige Korrekturen: ³√(2¹²) = 2⁴ = 16, nicht komplizierter rechnen als nötig. Bei der wissenschaftlichen Schreibweise: 0,00000012 = 1,2 · 10⁻⁷.

Erfolgsgeheimnis: Zerlege große Zahlen unter der Wurzel in ihre Primfaktoren - dann siehst du sofort, was du rausziehen kannst!

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