Die Flächenbestimmung mit Hilfe von Ober- und Untersummen ist deine...
Mathe960 aufrufe·Aktualisiert Jun 18, 2026·21 SeitenOber- und Untersummen: Einfache Erklärung und Beispiele
Brian Grütze@alx6c3
1 / 10
1
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FvbSmwclTrQoGmxZPsjne_image_page_1.webp&w=2048&q=75)
Der Graph von f(x) = x²
Hier siehst du den klassischen Parabelgraph der Funktion f(x) = x² im Intervall [0; 1]. Diese einfache quadratische Funktion wird dein Arbeitsbereich für die Flächenbestimmung sein.
Die Parabel steigt monoton an, was bedeutet, dass sie kontinuierlich nach oben verläuft. Das macht die Berechnung von Ober- und Untersummen besonders übersichtlich.
Merke dir: Bei monoton steigenden Funktionen liegen die Untersummen immer unter der tatsächlichen Fläche, die Obersummen darüber.
2
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FvbSmwclTrQoGmxZPsjne_image_page_2.webp&w=2048&q=75)
Ober- und Untersummen – Dein Werkzeug zur Flächenmessung
Das Konzept ist genial einfach: Du näherst die gekrümmte Fläche unter der Parabel durch viele kleine Rechtecke an. Je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird dein Ergebnis.
Untersummen verwenden die kleinsten y-Werte in jedem Teilintervall als Rechteckhöhe. Obersummen nehmen die größten y-Werte. So erhältst du eine untere und obere Schranke für die tatsächliche Fläche.
3
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FvbSmwclTrQoGmxZPsjne_image_page_3.webp&w=2048&q=75)
Aufbau deines Lernwegs
Dein strukturierter Weg zur Flächenbestimmung gliedert sich klar auf. Zuerst eroberst du die Untersummen, dann die Obersummen – beide als Annäherungsverfahren.
Danach lernst du die exakte Bestimmung kennen, die aus diesen Grundlagen erwächst. Am Ende warten praktische Aufgaben auf dich, damit du das Gelernte sofort anwenden kannst.
Tipp: Diese Methode ist die Grundlage für das bestimmte Integral – du baust hier schon das Fundament für die Oberstufe!
4
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FvbSmwclTrQoGmxZPsjne_image_page_4.webp&w=2048&q=75)
Das Grundprinzip der Flächenbestimmung
Ohne Integralrechnung kannst du trotzdem Flächen messen! Die Rechteck-Approximation ist dein Schlüssel: Du zerlegst die Fläche zwischen Graph und x-Achse in viele schmale Rechtecke.
Das geniale Prinzip: Die Untersumme U gibt dir die Mindestfläche, die Obersumme O die Maximalfläche. Die wahre Fläche A liegt garantiert dazwischen: U ≤ A ≤ O.
Je mehr Rechtecke du verwendest, desto enger wird diese "Zange" um den wahren Wert. So näherst du dich schrittweise der exakten Lösung.
5
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FvbSmwclTrQoGmxZPsjne_image_page_5.webp&w=2048&q=75)
Untersummen visualisiert
Bei der Funktion f(x) = 0,5x² siehst du perfekt, wie Untersummen funktionieren. Da die Parabel stetig steigt, nimmst du für jedes Rechteck die Höhe am linken Rand des Intervalls.
Die Rechtecke liegen alle unter der Kurve – deshalb der Name "Untersumme". Du erhältst bewusst einen zu kleinen Wert, der als untere Schranke dient.
Faustregel: Bei steigenden Funktionen verwendest du für Untersummen immer den kleinsten Funktionswert im jeweiligen Teilintervall.
6
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FvbSmwclTrQoGmxZPsjne_image_page_6.webp&w=2048&q=75)
Konkrete Berechnung der Untersumme
Mit 4 Teilintervallen der Breite 0,5 berechnest du: U₄ = 0,875 FE (Flächeneinheiten). Jedes Rechteck hat die Breite 0,5, die Höhen sind f(0), f(0,5), f(1), f(1,5).
Die Formel lautet: U₄ = 0,5 · 0 + 0,5 · 0,125 + 0,5 · 0,5 + 0,5 · 1,125. Du multiplizierst also immer die Intervallbreite mit der jeweiligen Funktionshöhe am linken Rand.
Das Ergebnis liegt unter der tatsächlichen Fläche – genau wie erwartet bei einer Untersumme.
7
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FvbSmwclTrQoGmxZPsjne_image_page_7.webp&w=2048&q=75)
Verfeinerte Untersummen-Approximation
Hier siehst du verschiedene Unterteilungen derselben Funktion f(x) = 0,5x². Je mehr Rechtecke du verwendest, desto schmaler werden sie und desto besser passt sich die Stufenfunktion an die Kurve an.
Die Verfeinerung reduziert den "Verlust" zwischen Rechteckfläche und tatsächlicher Kurvenfläche erheblich. Du erkennst visuell, wie die Approximation immer präziser wird.
Aha-Moment: Mehr Unterteilungen = genauere Näherung – aber auch mehr Rechenaufwand!
8
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FvbSmwclTrQoGmxZPsjne_image_page_8.webp&w=2048&q=75)
Präzise Berechnung mit 10 Teilintervallen
Mit 10 Teilintervallen (Breite jeweils 0,2) erhältst du U₁₀ = 1,14 FE – deutlich näher am wahren Wert! Die Tabelle zeigt alle x- und y-Werte systematisch auf.
Die Berechnung: U₁₀ = 0,2 · (0 + 0,02 + 0,08 + 0,18 + 0,32 + 0,5 + 0,72 + 0,98 + 1,28 + 1,62). Du siehst: Doppelte Teilintervall-Anzahl führt zu einem präziseren Ergebnis.
Der Unterschied zu U₄ zeigt dir eindrucksvoll, wie wichtig die Anzahl der Unterteilungen für die Genauigkeit ist.
9
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FvbSmwclTrQoGmxZPsjne_image_page_9.webp&w=2048&q=75)
Die allgemeine Formel für Untersummen
Für monoton steigende Funktionen lautet die universelle Formel: Uₙ = · .
Dabei ist a die Intervallgröße und n die Anzahl der Teilintervalle. Die Intervallbreite a/n multipliziert mit der Summe aller linksseitigen Funktionswerte ergibt deine Untersumme.
Formel-Hack: Du summierst n Terme, verwendest aber nur die Funktionswerte von 0 bis – der letzte Wert bleibt bei Untersummen außen vor!
10
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FvbSmwclTrQoGmxZPsjne_image_page_10.webp&w=2048&q=75)
Obersummen – Der Gegenspieler
Jetzt kommt der Gegenspieler der Untersummen: Bei Obersummen verwendest du für jedes Rechteck die Höhe am rechten Rand des Teilintervalls. Dadurch ragen alle Rechtecke über die Kurve hinaus.
Die Obersumme liefert dir bewusst einen zu großen Wert als obere Schranke. Zusammen mit der Untersumme hast du die tatsächliche Fläche "eingegabelt".
Das Prinzip bleibt gleich, nur die Ausrichtung ändert sich: Statt des kleinsten nimmst du den größten Funktionswert in jedem Teilintervall.
Wir dachten schon, du fragst nie...
Was ist der Knowunity KI-Begleiter?
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ist Knowunity wirklich kostenlos?
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
Ähnlicher Inhalt
Beliebtester Inhalt: obere Summe
3MatheOber- und Untersummen verstehen
Erlernen Sie die Flächenbestimmung zwischen Graphen mithilfe von Ober- und Untersummen. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Integralrechnung, exakte Bestimmungen und bietet zahlreiche Übungsaufgaben zur Vertiefung. Ideal für Studierende der Mathematik.
112,10224
MatheOber- und Untersummen Berechnung
Erlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.
117807
MatheArchimedes' Streifenmethode
Erforschen Sie die Streifenmethode von Archimedes zur Flächenberechnung unter Verwendung von Obersummen und Untersummen. Diese Zusammenfassung behandelt die Funktionswerte von f(x)=x² und die Bedeutung der Streifenbreite für die Genauigkeit der Berechnungen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integralrechnung und Flächenanalyse beschäftigen.
111,78910
Beliebtester Inhalt in Mathe
9MatheZP10 Mathe Zusammenfassung NRW
Lernzettel für die ZP10 Mathe in NRW mit allen Themen außer Sinusfunktionen.
1061,9014,841
MatheMathe ZP10 Zusammenfassung NRW
Zusammenfassung der Mathethemwn für die ZP10 NRW + Formelsammlung
1010,169518
MatheMathematik Themenübersicht ZP 2024
Umfassende Zusammenfassung aller relevanten Mathematikthemen für die zentrale Prüfung 2024. Behandelt werden unter anderem Exponentialgleichungen, Prozentrechnung, Zinsrechnung, geometrische Berechnungen und statistische Grundlagen. Ideal für Schüler zur gezielten Vorbereitung auf die Abschlussprüfung.
1027,7401,142
MathePrüfungsvorbereitung MSA Klasse 10
Zusammenfassung Mathe für den MSA Klasse 10
106,562156
MatheMathematik ZP10 Zusammenfassung
Umfassende Zusammenfassung für die Mathematikprüfung ZP10 am Gymnasium. Behandelt zentrale Themen wie Stochastik, quadratische und exponentielle Funktionen, Geometrie, und Zinsrechnung. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen und zur Vertiefung mathematischer Konzepte.
1127,1032,465
MatheAlles was du für die ZP10 können musst! (VOLLSTÄNDIG) für Gymnasium und Realschule
Die Mathe ZP ist machbar. Durch die große Anzahl an Themen die dran kommen könnten, verliert man schnell den Überblick. Also habe ich von den kleinsten Themen bis hin zu den größten alles zusammengefasst <3.
104,965118
MatheLernzettel ZP 10 Mathe
Lernzettel von der ZP 10
105,323116
MatheMathematik Abitur Themenübersicht
Umfassende Übersicht aller Themen für das Mathe-Abitur: von Analysis über Kurvendiskussion bis hin zu Integralrechnung und Stochastik. Ideal für die Prüfungsvorbereitung mit detaillierten Inhalten zu analytischer Geometrie, e-Funktionen, Extremwertaufgaben und mehr.
117,862228
MatheMathe Abi26 Zusammenfassung NRW
Dient zur Vorbereitung auf das Abitur 2026 im Grundkurs Mathematik.
116,307196
Beliebtester Inhalt
9
DeutschDer zerbrochene Krug
Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation
1147,970728
DeutschDer zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist
Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr
1254,747921
DeutschDer zerbrochne Krug
Ausführliche Lernzettel zu: Basisdaten, Handlung, ausführliche Zusammenfassungen der Auftritte, zentrale Themen, Symbolische Bedeutung, Merkmale der Komödie
1214,299253
DeutschHeimsuchung_JennyErpenbeck_Abitur
Zusammenfassungen für jedes Kapitel, Analysen und Zitate
1314,048277
MatheZP10 Mathe Zusammenfassung NRW
Lernzettel für die ZP10 Mathe in NRW mit allen Themen außer Sinusfunktionen.
1061,9014,841
DeutschDer zerbrochene Krug: Analyse
Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.
1199,8131,255
EnglischEnglisch LK Abitur 2025
Komplette Englisch LK Abi Zusammenfassung 2025
1315,038394
DeutschSchreibkompetenzen Deutsch LK
Diese umfassende Zusammenstellung bereitet auf das Abitur 2024 vor und deckt alle relevanten Schreibkompetenzen ab: von der Analyse pragmatischer Texte über die Erörterung literarischer Werke bis hin zur Interpretation von Epik, Lyrik und Dramatik. Zudem werden Techniken des materialgestützten Schreibens, der Redeanalyse sowie journalistische Textsorten und rhetorische Mittel behandelt. Ideal für eine gezielte und effektive Prüfungsvorbereitung.
138,204165
DeutschJenny Erpenbeck "Heimsuchung"
Übersicht und Struktur des Romans
117,974167
Findest du nicht, was du suchst? Entdecke andere Fächer.
Schüler lieben uns — und du auch.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan SiOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha KlichAndroid-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
AnnaiOS-Nutzerin
Mathe960 aufrufe·Aktualisiert Jun 18, 2026·21 SeitenOber- und Untersummen: Einfache Erklärung und Beispiele
Brian Grütze@alx6c3
Die Flächenbestimmung mit Hilfe von Ober- und Untersummen ist deine erste Begegnung mit der Integralrechnung. Du lernst hier, wie du ganz ohne komplizierte Formeln die Fläche unter einer Kurve messen kannst – einfach durch das geschickte Stapeln von Rechtecken.
1
of 10
Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Der Graph von f(x) = x²
Hier siehst du den klassischen Parabelgraph der Funktion f(x) = x² im Intervall [0; 1]. Diese einfache quadratische Funktion wird dein Arbeitsbereich für die Flächenbestimmung sein.
Die Parabel steigt monoton an, was bedeutet, dass sie kontinuierlich nach oben verläuft. Das macht die Berechnung von Ober- und Untersummen besonders übersichtlich.
Merke dir: Bei monoton steigenden Funktionen liegen die Untersummen immer unter der tatsächlichen Fläche, die Obersummen darüber.
2
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Ober- und Untersummen – Dein Werkzeug zur Flächenmessung
Das Konzept ist genial einfach: Du näherst die gekrümmte Fläche unter der Parabel durch viele kleine Rechtecke an. Je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird dein Ergebnis.
Untersummen verwenden die kleinsten y-Werte in jedem Teilintervall als Rechteckhöhe. Obersummen nehmen die größten y-Werte. So erhältst du eine untere und obere Schranke für die tatsächliche Fläche.
3
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Aufbau deines Lernwegs
Dein strukturierter Weg zur Flächenbestimmung gliedert sich klar auf. Zuerst eroberst du die Untersummen, dann die Obersummen – beide als Annäherungsverfahren.
Danach lernst du die exakte Bestimmung kennen, die aus diesen Grundlagen erwächst. Am Ende warten praktische Aufgaben auf dich, damit du das Gelernte sofort anwenden kannst.
Tipp: Diese Methode ist die Grundlage für das bestimmte Integral – du baust hier schon das Fundament für die Oberstufe!
4
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Das Grundprinzip der Flächenbestimmung
Ohne Integralrechnung kannst du trotzdem Flächen messen! Die Rechteck-Approximation ist dein Schlüssel: Du zerlegst die Fläche zwischen Graph und x-Achse in viele schmale Rechtecke.
Das geniale Prinzip: Die Untersumme U gibt dir die Mindestfläche, die Obersumme O die Maximalfläche. Die wahre Fläche A liegt garantiert dazwischen: U ≤ A ≤ O.
Je mehr Rechtecke du verwendest, desto enger wird diese "Zange" um den wahren Wert. So näherst du dich schrittweise der exakten Lösung.
5
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Untersummen visualisiert
Bei der Funktion f(x) = 0,5x² siehst du perfekt, wie Untersummen funktionieren. Da die Parabel stetig steigt, nimmst du für jedes Rechteck die Höhe am linken Rand des Intervalls.
Die Rechtecke liegen alle unter der Kurve – deshalb der Name "Untersumme". Du erhältst bewusst einen zu kleinen Wert, der als untere Schranke dient.
Faustregel: Bei steigenden Funktionen verwendest du für Untersummen immer den kleinsten Funktionswert im jeweiligen Teilintervall.
6
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Konkrete Berechnung der Untersumme
Mit 4 Teilintervallen der Breite 0,5 berechnest du: U₄ = 0,875 FE (Flächeneinheiten). Jedes Rechteck hat die Breite 0,5, die Höhen sind f(0), f(0,5), f(1), f(1,5).
Die Formel lautet: U₄ = 0,5 · 0 + 0,5 · 0,125 + 0,5 · 0,5 + 0,5 · 1,125. Du multiplizierst also immer die Intervallbreite mit der jeweiligen Funktionshöhe am linken Rand.
Das Ergebnis liegt unter der tatsächlichen Fläche – genau wie erwartet bei einer Untersumme.
7
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Verfeinerte Untersummen-Approximation
Hier siehst du verschiedene Unterteilungen derselben Funktion f(x) = 0,5x². Je mehr Rechtecke du verwendest, desto schmaler werden sie und desto besser passt sich die Stufenfunktion an die Kurve an.
Die Verfeinerung reduziert den "Verlust" zwischen Rechteckfläche und tatsächlicher Kurvenfläche erheblich. Du erkennst visuell, wie die Approximation immer präziser wird.
Aha-Moment: Mehr Unterteilungen = genauere Näherung – aber auch mehr Rechenaufwand!
8
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Präzise Berechnung mit 10 Teilintervallen
Mit 10 Teilintervallen (Breite jeweils 0,2) erhältst du U₁₀ = 1,14 FE – deutlich näher am wahren Wert! Die Tabelle zeigt alle x- und y-Werte systematisch auf.
Die Berechnung: U₁₀ = 0,2 · (0 + 0,02 + 0,08 + 0,18 + 0,32 + 0,5 + 0,72 + 0,98 + 1,28 + 1,62). Du siehst: Doppelte Teilintervall-Anzahl führt zu einem präziseren Ergebnis.
Der Unterschied zu U₄ zeigt dir eindrucksvoll, wie wichtig die Anzahl der Unterteilungen für die Genauigkeit ist.
9
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Die allgemeine Formel für Untersummen
Für monoton steigende Funktionen lautet die universelle Formel: Uₙ = · .
Dabei ist a die Intervallgröße und n die Anzahl der Teilintervalle. Die Intervallbreite a/n multipliziert mit der Summe aller linksseitigen Funktionswerte ergibt deine Untersumme.
Formel-Hack: Du summierst n Terme, verwendest aber nur die Funktionswerte von 0 bis – der letzte Wert bleibt bei Untersummen außen vor!
10
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Obersummen – Der Gegenspieler
Jetzt kommt der Gegenspieler der Untersummen: Bei Obersummen verwendest du für jedes Rechteck die Höhe am rechten Rand des Teilintervalls. Dadurch ragen alle Rechtecke über die Kurve hinaus.
Die Obersumme liefert dir bewusst einen zu großen Wert als obere Schranke. Zusammen mit der Untersumme hast du die tatsächliche Fläche "eingegabelt".
Das Prinzip bleibt gleich, nur die Ausrichtung ändert sich: Statt des kleinsten nimmst du den größten Funktionswert in jedem Teilintervall.
Wir dachten schon, du fragst nie...
Was ist der Knowunity KI-Begleiter?
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ist Knowunity wirklich kostenlos?
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
Ähnlicher Inhalt
Beliebtester Inhalt: obere Summe
3MatheOber- und Untersummen verstehen
Erlernen Sie die Flächenbestimmung zwischen Graphen mithilfe von Ober- und Untersummen. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Integralrechnung, exakte Bestimmungen und bietet zahlreiche Übungsaufgaben zur Vertiefung. Ideal für Studierende der Mathematik.
112,10224
MatheOber- und Untersummen Berechnung
Erlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.
117807
MatheArchimedes' Streifenmethode
Erforschen Sie die Streifenmethode von Archimedes zur Flächenberechnung unter Verwendung von Obersummen und Untersummen. Diese Zusammenfassung behandelt die Funktionswerte von f(x)=x² und die Bedeutung der Streifenbreite für die Genauigkeit der Berechnungen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integralrechnung und Flächenanalyse beschäftigen.
111,78910
Beliebtester Inhalt in Mathe
9MatheZP10 Mathe Zusammenfassung NRW
Lernzettel für die ZP10 Mathe in NRW mit allen Themen außer Sinusfunktionen.
1061,9014,841
MatheMathe ZP10 Zusammenfassung NRW
Zusammenfassung der Mathethemwn für die ZP10 NRW + Formelsammlung
1010,169518
MatheMathematik Themenübersicht ZP 2024
Umfassende Zusammenfassung aller relevanten Mathematikthemen für die zentrale Prüfung 2024. Behandelt werden unter anderem Exponentialgleichungen, Prozentrechnung, Zinsrechnung, geometrische Berechnungen und statistische Grundlagen. Ideal für Schüler zur gezielten Vorbereitung auf die Abschlussprüfung.
1027,7401,142
MathePrüfungsvorbereitung MSA Klasse 10
Zusammenfassung Mathe für den MSA Klasse 10
106,562156
MatheMathematik ZP10 Zusammenfassung
Umfassende Zusammenfassung für die Mathematikprüfung ZP10 am Gymnasium. Behandelt zentrale Themen wie Stochastik, quadratische und exponentielle Funktionen, Geometrie, und Zinsrechnung. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen und zur Vertiefung mathematischer Konzepte.
1127,1032,465
MatheAlles was du für die ZP10 können musst! (VOLLSTÄNDIG) für Gymnasium und Realschule
Die Mathe ZP ist machbar. Durch die große Anzahl an Themen die dran kommen könnten, verliert man schnell den Überblick. Also habe ich von den kleinsten Themen bis hin zu den größten alles zusammengefasst <3.
104,965118
MatheLernzettel ZP 10 Mathe
Lernzettel von der ZP 10
105,323116
MatheMathematik Abitur Themenübersicht
Umfassende Übersicht aller Themen für das Mathe-Abitur: von Analysis über Kurvendiskussion bis hin zu Integralrechnung und Stochastik. Ideal für die Prüfungsvorbereitung mit detaillierten Inhalten zu analytischer Geometrie, e-Funktionen, Extremwertaufgaben und mehr.
117,862228
MatheMathe Abi26 Zusammenfassung NRW
Dient zur Vorbereitung auf das Abitur 2026 im Grundkurs Mathematik.
116,307196
Beliebtester Inhalt
9DeutschDer zerbrochene Krug
Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation
1147,970728
DeutschDer zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist
Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr
1254,747921
DeutschDer zerbrochne Krug
Ausführliche Lernzettel zu: Basisdaten, Handlung, ausführliche Zusammenfassungen der Auftritte, zentrale Themen, Symbolische Bedeutung, Merkmale der Komödie
1214,299253
DeutschHeimsuchung_JennyErpenbeck_Abitur
Zusammenfassungen für jedes Kapitel, Analysen und Zitate
1314,048277
MatheZP10 Mathe Zusammenfassung NRW
Lernzettel für die ZP10 Mathe in NRW mit allen Themen außer Sinusfunktionen.
1061,9014,841
DeutschDer zerbrochene Krug: Analyse
Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.
1199,8131,255
EnglischEnglisch LK Abitur 2025
Komplette Englisch LK Abi Zusammenfassung 2025
1315,038394
DeutschSchreibkompetenzen Deutsch LK
Diese umfassende Zusammenstellung bereitet auf das Abitur 2024 vor und deckt alle relevanten Schreibkompetenzen ab: von der Analyse pragmatischer Texte über die Erörterung literarischer Werke bis hin zur Interpretation von Epik, Lyrik und Dramatik. Zudem werden Techniken des materialgestützten Schreibens, der Redeanalyse sowie journalistische Textsorten und rhetorische Mittel behandelt. Ideal für eine gezielte und effektive Prüfungsvorbereitung.
138,204165
DeutschJenny Erpenbeck "Heimsuchung"
Übersicht und Struktur des Romans
117,974167
Findest du nicht, was du suchst? Entdecke andere Fächer.
Schüler lieben uns — und du auch.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan SiOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha KlichAndroid-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
AnnaiOS-Nutzerin