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parametrische Gleichungen

Mathe730Aktualisiert 1. Sept. 20263 Seiten

Parameterdarstellung einer Gerade einfach erklärt

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Die Parameterdarstellung von Geraden ist ein wichtiges Werkzeug in der analytischen Geometrie - damit könnt ihr jeden Punkt auf einer Geraden im dreidimensionalen Raum berechnen. Mit nur einem Punkt und einem Richtungsvektor habt ihr alles, was ihr braucht!
Parameterdarstellung ein Geraden – Seite 1

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Parameterdarstellung einer Geraden - Die Grundformel

Stell dir vor, du willst eine Gerade im 3D-Raum beschreiben - dafür brauchst du nur zwei Zutaten! Einen Startpunkt P und einen Richtungsvektor v⃗\vec{v}, der dir zeigt, in welche Richtung die Gerade verläuft.

Die Parameterform sieht so aus: g(r)=P⃗+r⋅v⃗g(r) = \vec{P} + r \cdot \vec{v} oder ausgeschrieben (x1x2x3)=(P1P2P3)+r(v1v2v3)\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P_1\\P_2\\P_3\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}

Der Parameter r ist dein Zauberknopf - je nachdem, welche Zahl du einsetzt, bekommst du verschiedene Punkte auf der Gerade. Bei r = 0 landest du beim Startpunkt, bei r = 1 gehst du einmal den Richtungsvektor entlang.

Merktipp: Der Stützvektor ist wie eine Adresse, der Richtungsvektor wie eine Wegbeschreibung!

Parameterdarstellung ein Geraden – Seite 2

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Punktprobe - Liegt ein Punkt auf der Geraden?

Manchmal musst du checken, ob ein bestimmter Punkt tatsächlich auf deiner Gerade liegt - das nennt sich Punktprobe. Klingt komplizierter als es ist!

Du setzt einfach die Koordinaten des fraglichen Punktes in deine Geradengleichung ein und schaust, ob du für alle drei Komponenten denselben Parameter r bekommst. Wenn ja - Volltreffer! Wenn nein - der Punkt liegt nicht auf der Gerade.

Im Beispiel mit Punkt A(22|15): Für die erste Komponente ergibt sich r = 2, für die zweite auch r = 2, aber für die dritte r = 2/13. Da die r-Werte nicht übereinstimmen, liegt A nicht auf der Geraden.

Wichtig: Alle drei Gleichungen müssen dasselbe r liefern - sonst war's das!

Parameterdarstellung ein Geraden – Seite 3

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Gerade durch zwei Punkte bestimmen

Wenn du zwei Punkte A und B hast, kannst du super einfach eine Parameterdarstellung aufstellen. Du nimmst einen der Punkte als Stützvektor und berechnest den Richtungsvektor als Differenz der beiden Punkte.

Für Punkte A−7∣4∣3-7|4|3 und B10∣5∣−510|5|-5: Stützvektor ist OA⃗\vec{OA}, Richtungsvektor ist AB⃗=B−A=(171−8)\vec{AB} = B - A = \begin{pmatrix} 17\\1\\-8 \end{pmatrix}. Fertig ist deine Gerade!

Ein cooler Trick: Mit der Parameterdarstellung kannst du auch checken, welcher von drei Punkten zwischen den anderen beiden liegt. Der Parameter r verrät dir die Position - bei r zwischen 0 und 1 liegt der Punkt zwischen Start- und Zielpunkt.

Profi-Tipp: Negative r-Werte bedeuten, dass du in die entgegengesetzte Richtung gehst!

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