Die partielle Integration ist ein wichtiges Verfahren der Integralrechnung, das...
Mathe2,510 aufrufe·Aktualisiert Jun 26, 2026·2 SeitenEinfache Anleitung zur Partiellen Integration
Jacqueline Schmidt@jacquelineschmidt_tjuc
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Partielle Integration - Die Grundlagen
Stell dir vor, du stehst vor einem Integral wie ∫x·eˣ dx und weißt nicht weiter. Genau hier hilft dir die partielle Integration! Diese Methode verwendest du immer dann, wenn du ein Integral über ein Produkt zweier Funktionen lösen musst.
Die Formel lautet: ∫u(x)·v'(x) dx = [u(x)·v(x)] - ∫u'(x)·v(x) dx. Das sieht erstmal kompliziert aus, aber das Prinzip ist eigentlich simpel: Du teilst dein Produkt in zwei Teile auf und tauschst sozusagen "Ableiten" und "Integrieren" zwischen den beiden Faktoren.
Beim Beispiel ∫₀ᵃ x·eˣ dx wählst du u(x) = x und v'(x) = eˣ. Nach der Formel erhältst du [x·eˣ]₀ᵃ - ∫₀ᵃ 1·eˣ dx. Das zweite Integral ist jetzt viel einfacher zu lösen!
Tipp: Die partielle Integration verwandelt oft ein schwieriges Integral in ein einfacheres - manchmal musst du sie aber auch mehrmals hintereinander anwenden.
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Strategien und praktische Anwendung
Bei komplizierteren Beispielen wie ∫₁³ ·e⁻ˣ dx musst du die partielle Integration mehrmals anwenden. Nach dem ersten Durchgang erhältst du wieder ein Integral mit einem Produkt - dann wendest du das Verfahren einfach nochmal an!
Auch bei Brüchen kannst du die partielle Integration nutzen. Schreib den Bruch einfach als Produkt um: ∫(ln(x))²/x² dx wird zu ∫(ln(x))²· dx. Schon kannst du die gewohnte Formel anwenden.
Die wichtigste Entscheidung ist die richtige Aufteilung: Welcher Faktor soll u(x) werden und welcher v'(x)? Denk daran: u(x) wird abgeleitet, v'(x) wird integriert. Wähl also den Faktor als u(x), der beim Ableiten einfacher wird!
Merksatz: Polynome werden beim Ableiten einfacher, Exponentialfunktionen bleiben gleich kompliziert - das hilft bei der Entscheidung!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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