Das Pascalsche Dreieck: Erklärung und Anwendungen

Das Pascalsche Dreieck verstehen

Du kennst bestimmt schon die erste binomische Formel $a+b$² = a² + 2ab + b². Aber was passiert bei $a+b$³ oder sogar $a+b$⁴? Hier kommt das Pascalsche Dreieck ins Spiel - dein neuer bester Freund für solche Aufgaben.

Das Dreieck baust du ganz einfach auf: Oben steht eine 1, dann 1-1, dann 1-2-1. An den Seiten steht immer die 1, und jede Zahl in der Mitte entsteht durch Addition der beiden Zahlen darüber. So bekommst du die nächste Zeile: 1-3-3-1, dann 1-4-6-4-1 und so weiter.

Die Zeilennummer entspricht dem Exponenten deiner binomischen Formel. Achtung: Die erste Zeile ist die "nullte" Zeile! Für $a+b$³ brauchst du also die dritte Zeile: 1-3-3-1.

Merktipp: Die Exponenten von a werden kleiner (von 3 auf 0), die von b werden größer (von 0 auf 3). So wird aus 1-3-3-1 die Formel a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Negative Vorzeichen meistern

Bei der zweiten binomischen Formel $a-b$² wird's etwas trickreicher, aber das Pascalsche Dreieck hilft dir trotzdem. Du verwendest dieselben Zahlen wie bei der ersten Formel, aber die Vorzeichen wechseln sich ab: plus, minus, plus, minus.

Für $a-b$³ nimmst du wieder die Zahlen 1-3-3-1 aus der dritten Zeile. Mit den wechselnden Vorzeichen wird daraus: a³ - 3a²b + 3ab² - b³. Das erste Vorzeichen ist immer positiv, dann wechselst du ab.

Profi-Tipp: Du musst das erste Pluszeichen nicht hinschreiben - a³ - 3a²b + 3ab² - b³ reicht völlig aus!