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Mathe
6. Dez. 2025
1.094
3 Seiten
Jule @jule_idjt
Polynomfunktionen oder ganzrationale Funktionen sind ein zentrales Thema in der Mathematik. Sie bestehen aus Summen von Potenzen der... Mehr anzeigen
Polynomfunktionen haben die allgemeine Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Dabei sind die aᵢ die Koeffizienten und a₀ ist das Absolutglied. Der höchste Exponent n bestimmt den Grad des Polynoms.
Das globale Verhalten einer Polynomfunktion hängt vom Grad und vom Vorzeichen des führenden Koeffizienten ab. Bei geraden Hochzahlen mit positivem Vorzeichen verlaufen die Kurven "von links oben nach rechts oben". Bei geraden Hochzahlen mit negativem Vorzeichen verlaufen sie "von links unten nach rechts unten".
Bei ungeraden Hochzahlen mit positivem Vorzeichen verlaufen die Kurven "von links unten nach rechts oben". Mit negativem Vorzeichen gehen sie "von links oben nach rechts unten".
💡 Merkhilfe Bei geraden Hochzahlen streben beide Enden in die gleiche Richtung (oben oder unten), bei ungeraden Hochzahlen in entgegengesetzte Richtungen!
Polynomfunktionen können verschiedene Symmetrieeigenschaften haben. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f = f(x) gilt, was der Fall ist, wenn alle Exponenten gerade sind. Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f = -f(x) gilt, was bei ausschließlich ungeraden Exponenten zutrifft.
Die Nullstellen einer Polynomfunktion sind die x-Werte, bei denen f(x) = 0 ist. Es gibt verschiedene Methoden, diese zu finden
Wenn du Nullstellen findest, hast du wichtige Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse bestimmt!
Die Substitutionsmethode ist ein mächtiges Werkzeug zur Lösung komplizierter Polynomgleichungen. Dabei ersetzen wir einen Teil des Terms durch eine neue Variable, um die Gleichung zu vereinfachen.
Bei Gleichungen der Form ax⁴ + bx² + c = 0 bietet sich die Substitution z = x² an. Die Gleichung wird dann zu az² + bz + c = 0, die wir mit der pq-Formel lösen können. Beispiel Bei x⁴ - 4x² - 5 = 0 mit z = x² erhalten wir z² - 4z - 5 = 0, was uns auf z₁ = -1 und z₂ = 5 führt.
Nach der Lösung müssen wir die Rücksubstitution durchführen. Aus z = x² wird dann x = ±√z. Nicht alle Lösungen der vereinfachten Gleichung führen zu reellen Lösungen der ursprünglichen Gleichung!
🔍 Tipp Achte darauf, dass negative Werte für z bei der Rücksubstitution zu keinen reellen Lösungen führen, wenn z = x² ist!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die Analyse gebrochenrationaler Funktionen, einschließlich Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen, Asymptoten und Extremstellen. Erfahren Sie, wie man die Symmetrie und den y-Achsenabschnitt bestimmt und die Kurvendiskussion durchführt. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
MatheErforschen Sie die Eigenschaften ganzrationaler Funktionen, einschließlich Nullstellen, Symmetrie, Globalverhalten und Monotonie. Diese Zusammenfassung bietet klare Kriterien für Extrempunkte und deren Berechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen gebrochen rationaler Funktionen, einschließlich der Unterscheidung zwischen echt und unecht gebrochenen Funktionen, Definitionslücken, Nullstellen, Polstellen und Asymptoten. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen, um das Verständnis zu fördern. Ideal für Studierende der Mathematik.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die zentrale Klausur der Einführungsphase 2016 in Mathematik. Die Aufgaben umfassen Themen wie Funktionen, Ableitungen, Stochastik und graphische Transformationen. Studierende lernen, wie man Gleichungen aufstellt, Ableitungen interpretiert und Wahrscheinlichkeiten berechnet. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis komplexer mathematischer Konzepte.
MatheDiese Übersicht behandelt die wesentlichen Eigenschaften von Funktionen, einschließlich Definitionsmenge, Wertemenge, Symmetrie und Nullstellen. Ideal für die Klausur- und Abiturvorbereitung. Enthält auch Informationen zu Transformationen, Tangenten und Sekanten sowie zur Polynomdivision.
MatheEntdecke effektive Lernstrategien und wichtige Konzepte für das Mathe-Abitur. Diese Zusammenstellung umfasst Themen wie Funktionen, Vektoren, Ableitungen, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal für die Vorbereitung auf die mündliche Prüfung. Verstehe die Grundlagen und wende sie in praktischen Beispielen an.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Lena M
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Hans T
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Jule
@jule_idjt
Polynomfunktionen oder ganzrationale Funktionen sind ein zentrales Thema in der Mathematik. Sie bestehen aus Summen von Potenzen der Variablen x mit konstanten Koeffizienten und zeigen je nach Grad und Vorzeichen charakteristische Verhaltensweisen.
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Polynomfunktionen haben die allgemeine Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Dabei sind die aᵢ die Koeffizienten und a₀ ist das Absolutglied. Der höchste Exponent n bestimmt den Grad des Polynoms.
Das globale Verhalten einer Polynomfunktion hängt vom Grad und vom Vorzeichen des führenden Koeffizienten ab. Bei geraden Hochzahlen mit positivem Vorzeichen verlaufen die Kurven "von links oben nach rechts oben". Bei geraden Hochzahlen mit negativem Vorzeichen verlaufen sie "von links unten nach rechts unten".
Bei ungeraden Hochzahlen mit positivem Vorzeichen verlaufen die Kurven "von links unten nach rechts oben". Mit negativem Vorzeichen gehen sie "von links oben nach rechts unten".
💡 Merkhilfe: Bei geraden Hochzahlen streben beide Enden in die gleiche Richtung (oben oder unten), bei ungeraden Hochzahlen in entgegengesetzte Richtungen!
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Polynomfunktionen können verschiedene Symmetrieeigenschaften haben. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f = f(x) gilt, was der Fall ist, wenn alle Exponenten gerade sind. Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f = -f(x) gilt, was bei ausschließlich ungeraden Exponenten zutrifft.
Die Nullstellen einer Polynomfunktion sind die x-Werte, bei denen f(x) = 0 ist. Es gibt verschiedene Methoden, diese zu finden:
Wenn du Nullstellen findest, hast du wichtige Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse bestimmt!
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Die Substitutionsmethode ist ein mächtiges Werkzeug zur Lösung komplizierter Polynomgleichungen. Dabei ersetzen wir einen Teil des Terms durch eine neue Variable, um die Gleichung zu vereinfachen.
Bei Gleichungen der Form ax⁴ + bx² + c = 0 bietet sich die Substitution z = x² an. Die Gleichung wird dann zu az² + bz + c = 0, die wir mit der pq-Formel lösen können. Beispiel: Bei x⁴ - 4x² - 5 = 0 mit z = x² erhalten wir z² - 4z - 5 = 0, was uns auf z₁ = -1 und z₂ = 5 führt.
Nach der Lösung müssen wir die Rücksubstitution durchführen. Aus z = x² wird dann x = ±√z. Nicht alle Lösungen der vereinfachten Gleichung führen zu reellen Lösungen der ursprünglichen Gleichung!
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Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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