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15. Jan. 2026

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Verständnis von Polynomfunktionen

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Jule

@jule_idjt

Polynomfunktionen oder ganzrationale Funktionen sind ein zentrales Thema in der... Mehr anzeigen

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Polynomfunktionen/ganzationale Funktionen
grad der
Bsp.: $f(x) = 3x + 5x²-2x²+4x+&$

Koeffizienten: 3,5,-2,4,8
n-1
Absolutglied
allgemein: $

Eigenschaften von Polynomfunktionen

Polynomfunktionen haben die allgemeine Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Dabei sind die aᵢ die Koeffizienten und a₀ ist das Absolutglied. Der höchste Exponent n bestimmt den Grad des Polynoms.

Das globale Verhalten einer Polynomfunktion hängt vom Grad und vom Vorzeichen des führenden Koeffizienten ab. Bei geraden Hochzahlen mit positivem Vorzeichen verlaufen die Kurven "von links oben nach rechts oben". Bei geraden Hochzahlen mit negativem Vorzeichen verlaufen sie "von links unten nach rechts unten".

Bei ungeraden Hochzahlen mit positivem Vorzeichen verlaufen die Kurven "von links unten nach rechts oben". Mit negativem Vorzeichen gehen sie "von links oben nach rechts unten".

💡 Merkhilfe: Bei geraden Hochzahlen streben beide Enden in die gleiche Richtung (oben oder unten), bei ungeraden Hochzahlen in entgegengesetzte Richtungen!

Polynomfunktionen/ganzationale Funktionen
grad der
Bsp.: $f(x) = 3x + 5x²-2x²+4x+&$

Koeffizienten: 3,5,-2,4,8
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Symmetrie und Nullstellen

Polynomfunktionen können verschiedene Symmetrieeigenschaften haben. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn fx-x = f(x) gilt, was der Fall ist, wenn alle Exponenten gerade sind. Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn fx-x = -f(x) gilt, was bei ausschließlich ungeraden Exponenten zutrifft.

Die Nullstellen einer Polynomfunktion sind die x-Werte, bei denen f(x) = 0 ist. Es gibt verschiedene Methoden, diese zu finden:

  1. Wurzel ziehen: Bei Gleichungen der Form axⁿ = b isolieren wir x durch Wurzelziehen.
  2. Ausklammern: Gemeinsame Faktoren herausziehen, um die Gleichung zu vereinfachen.
  3. Ablesen: Wenn die Funktion bereits in Faktoren zerlegt ist.

Wenn du Nullstellen findest, hast du wichtige Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse bestimmt!

Polynomfunktionen/ganzationale Funktionen
grad der
Bsp.: $f(x) = 3x + 5x²-2x²+4x+&$

Koeffizienten: 3,5,-2,4,8
n-1
Absolutglied
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Substitution bei Polynomgleichungen

Die Substitutionsmethode ist ein mächtiges Werkzeug zur Lösung komplizierter Polynomgleichungen. Dabei ersetzen wir einen Teil des Terms durch eine neue Variable, um die Gleichung zu vereinfachen.

Bei Gleichungen der Form ax⁴ + bx² + c = 0 bietet sich die Substitution z = x² an. Die Gleichung wird dann zu az² + bz + c = 0, die wir mit der pq-Formel lösen können. Beispiel: Bei x⁴ - 4x² - 5 = 0 mit z = x² erhalten wir z² - 4z - 5 = 0, was uns auf z₁ = -1 und z₂ = 5 führt.

Nach der Lösung müssen wir die Rücksubstitution durchführen. Aus z = x² wird dann x = ±√z. Nicht alle Lösungen der vereinfachten Gleichung führen zu reellen Lösungen der ursprünglichen Gleichung!

🔍 Tipp: Achte darauf, dass negative Werte für z bei der Rücksubstitution zu keinen reellen Lösungen führen, wenn z = x² ist!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Polynomfunktionen oder ganzrationale Funktionen sind ein zentrales Thema in der Mathematik. Sie bestehen aus Summen von Potenzen der Variablen x mit konstanten Koeffizienten und zeigen je nach Grad und Vorzeichen charakteristische Verhaltensweisen.

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Bsp.: $f(x) = 3x + 5x²-2x²+4x+&$

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Eigenschaften von Polynomfunktionen

Polynomfunktionen haben die allgemeine Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Dabei sind die aᵢ die Koeffizienten und a₀ ist das Absolutglied. Der höchste Exponent n bestimmt den Grad des Polynoms.

Das globale Verhalten einer Polynomfunktion hängt vom Grad und vom Vorzeichen des führenden Koeffizienten ab. Bei geraden Hochzahlen mit positivem Vorzeichen verlaufen die Kurven "von links oben nach rechts oben". Bei geraden Hochzahlen mit negativem Vorzeichen verlaufen sie "von links unten nach rechts unten".

Bei ungeraden Hochzahlen mit positivem Vorzeichen verlaufen die Kurven "von links unten nach rechts oben". Mit negativem Vorzeichen gehen sie "von links oben nach rechts unten".

💡 Merkhilfe: Bei geraden Hochzahlen streben beide Enden in die gleiche Richtung (oben oder unten), bei ungeraden Hochzahlen in entgegengesetzte Richtungen!

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Symmetrie und Nullstellen

Polynomfunktionen können verschiedene Symmetrieeigenschaften haben. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn fx-x = f(x) gilt, was der Fall ist, wenn alle Exponenten gerade sind. Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn fx-x = -f(x) gilt, was bei ausschließlich ungeraden Exponenten zutrifft.

Die Nullstellen einer Polynomfunktion sind die x-Werte, bei denen f(x) = 0 ist. Es gibt verschiedene Methoden, diese zu finden:

  1. Wurzel ziehen: Bei Gleichungen der Form axⁿ = b isolieren wir x durch Wurzelziehen.
  2. Ausklammern: Gemeinsame Faktoren herausziehen, um die Gleichung zu vereinfachen.
  3. Ablesen: Wenn die Funktion bereits in Faktoren zerlegt ist.

Wenn du Nullstellen findest, hast du wichtige Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse bestimmt!

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Substitution bei Polynomgleichungen

Die Substitutionsmethode ist ein mächtiges Werkzeug zur Lösung komplizierter Polynomgleichungen. Dabei ersetzen wir einen Teil des Terms durch eine neue Variable, um die Gleichung zu vereinfachen.

Bei Gleichungen der Form ax⁴ + bx² + c = 0 bietet sich die Substitution z = x² an. Die Gleichung wird dann zu az² + bz + c = 0, die wir mit der pq-Formel lösen können. Beispiel: Bei x⁴ - 4x² - 5 = 0 mit z = x² erhalten wir z² - 4z - 5 = 0, was uns auf z₁ = -1 und z₂ = 5 führt.

Nach der Lösung müssen wir die Rücksubstitution durchführen. Aus z = x² wird dann x = ±√z. Nicht alle Lösungen der vereinfachten Gleichung führen zu reellen Lösungen der ursprünglichen Gleichung!

🔍 Tipp: Achte darauf, dass negative Werte für z bei der Rücksubstitution zu keinen reellen Lösungen führen, wenn z = x² ist!

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

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4.8/5

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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