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Mathematik

Eigenschaften von Potenzen und Logarithmen

Mathe3.170Aktualisiert 9. Okt. 20262 Seiten

Potenz- und Wurzelgesetze einfach erklärt

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Merle Marjolijn Ufer@erlearjolijnfer_kork
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Potenz- und Wurzelgesetze sind die Grundbausteine für fast alle höheren Mathe-Themen - von Funktionen bis zur Analysis. Mit den richtigen Regeln kannst du komplizierte Rechnungen in wenigen Schritten lösen und sparst dir jede Menge Zeit in Klausuren.
Potenz- und Wurzelgesetze – Seite 1

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Potenzgesetze

Potenzgesetze machen aus komplizierten Rechnungen einfache Tricks! Eine Potenz besteht aus der Basis (untere Zahl), dem Exponenten (obere Zahl) und dem Ergebnis.

Die Produktregel ist super einfach: Gleiche Basen multiplizieren? Exponenten addieren! am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}. Bei 23⋅242^3 \cdot 2^4 rechnest du einfach 23+4=27=1282^{3+4} = 2^7 = 128.

Bei der Quotientenregel (Division) subtrahierst du die Exponenten: aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}. Die Potenzregel multipliziert Exponenten: (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}.

Besondere Fälle kennst du bestimmt schon: a0=1a^0 = 1 (außer bei 000^0) und negative Exponenten bedeuten Kehrwert: a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}. Bruchexponenten sind eigentlich Wurzeln: amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.

Merktipp: Bei gleichen Basen addierst oder subtrahierst du Exponenten, bei Potenzen von Potenzen multiplizierst du sie!

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Wurzelgesetze

Wurzeln sind eigentlich nur Potenzen mit Bruchexponenten - das macht sie viel weniger mysteriös! xn=x1n\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} ist die Grundformel, die alles verbindet.

Die Produktregel für Wurzeln funktioniert wie bei Potenzen: ab=a⋅b\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}. Das hilft dir, große Zahlen zu zerlegen. Bei der Quotientenregel teilst du Wurzeln auf: ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.

Das Coole an Wurzeln von Potenzen: Du kannst zwischen Wurzel- und Potenzschreibweise wechseln! amn=amn\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} macht oft Rechnungen einfacher.

Spezialfälle sind easy: 1n=1\sqrt[n]{1} = 1 und 0n=0\sqrt[n]{0} = 0, egal welche Wurzel du ziehst. Verschachtelte Wurzeln löst du durch Multiplizieren der Wurzelexponenten: anm=amn\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}.

Praxis-Tipp: Wandle Wurzeln in Potenzschreibweise um - dann kannst du alle Potenzgesetze anwenden!

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