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Mathematik

Eigenschaften von Potenzen und Logarithmen

Potenz einer Potenz

Mathe1.838Aktualisiert 3. Sept. 20263 Seiten

Potenzen und Wurzeln leicht erklärt

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Mara@mara.306
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Potenzen und Wurzeln begegnen dir überall – von der Berechnung von Zinsen bis zur Physik. Du lernst hier, wie du mit ganzzahligen Exponenten rechnest und dabei die wichtigsten Potenzgesetze anwendest.
Potenzen – Seite 1

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Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Negative Exponenten sind eigentlich gar nicht so kompliziert! Wenn du a−na^{-n} siehst, machst du einfach 1an\frac{1}{a^n} daraus. Das bedeutet: Der negative Exponent "dreht" die Potenz um in einen Bruch.

Die n-te Wurzel ist nur eine andere Schreibweise für Potenzen mit gebrochenen Exponenten. an\sqrt[n]{a} ist dasselbe wie a1na^{\frac{1}{n}}. Zum Beispiel ist 10003=10\sqrt[3]{1000} = 10, weil 103=100010^3 = 1000.

Beim Multiplizieren mit gleicher Basis addierst du die Exponenten: an⋅am=an+ma^n \cdot a^m = a^{n+m}. Bei gleichem Exponenten multiplizierst du die Basen: an⋅bn=(a⋅b)na^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n.

Merktipp: Negative Exponenten bedeuten immer "Kehrwert bilden" – dann wird aus 2−32^{-3} einfach 123\frac{1}{2^3}!

Potenzen – Seite 2

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Potenzieren und Rechnen mit Potenzen

Beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du die Exponenten: (an)m=an⋅m(a^n)^m = a^{n \cdot m}. Das ist super praktisch, wenn du komplizierte Ausdrücke vereinfachen willst.

Addieren und Subtrahieren funktioniert nur bei gleichartigen Gliedern. 3an+an=4an3a^n + a^n = 4a^n, aber a2+a3a^2 + a^3 kannst du nicht zusammenfassen.

Beim Dividieren mit gleicher Basis subtrahierst du die Exponenten: aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}. Bei gleichem Exponenten teilst du die Basen: anbn=(ab)n\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n.

Praxistipp: Bei der Division denkst du dir einfach "oben minus unten" für die Exponenten – so machst du keine Vorzeichenfehler!

Potenzen – Seite 3

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Wurzelgesetze und wissenschaftliche Schreibweise

Wurzelgesetze sind eigentlich nur die Potenzgesetze in anderem Gewand. a⋅b=ab\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} funktioniert, weil es das gleiche Gesetz ist wie bei Potenzen mit gleichem Exponenten.

Verschachtelte Wurzeln wie amn\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} vereinfachst du zu an⋅m\sqrt[n \cdot m]{a}. Du multiplizierst einfach die Wurzelexponenten miteinander.

Die wissenschaftliche Schreibweise hilft dir bei sehr großen oder kleinen Zahlen. Positive Exponenten verschieben das Komma nach rechts, negative nach links. 8⋅106=8.000.0008 \cdot 10^6 = 8.000.000 und 8⋅10−6=0,0000088 \cdot 10^{-6} = 0,000008.

Alltagsbezug: Die wissenschaftliche Schreibweise begegnet dir auf jedem Taschenrechner – jetzt weißt du, was die Zahlen bedeuten!

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