Gessina

6.12.2025

Mathe

Potenzen und Wurzeln

Mathematik

Eigenschaften von Potenzen und Logarithmen

1.167

•

6. Dez. 2025

•

3 Seiten

Potenzen und Wurzeln verstehen

Gessina

@gessxna

Wurzeln und Potenzen sind mathematische Grundlagen, die dir ständig begegnen... Mehr anzeigen

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# wurzeln

## definition
Sei a EIR und a= 0. Wir bezeichnen die zahl b & IR, welche größer oder geeich null ist und deren Quadrat a
ergibt,

Wurzeln beherrschen

Wurzeln sind das Gegenteil von Potenzen - wenn $b^2 = a$ , dann ist $b = \sqrt{a}$ . Die Quadratwurzel ist die häufigste Form, aber du kannst auch n-te Wurzeln ziehen.

Der Begriff unter dem Wurzelzeichen heißt Radikant. Bei der n-ten Wurzel gilt: $b = \sqrt[n]{a} \iff b^n = a$ . So ist $\sqrt[3]{8} = 2$ , weil $2^3 = 8$ .

Die Rechenregeln für Wurzeln sind ähnlich wie bei Potenzen:

Multiplikation: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
Division: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
Wichtig: $\sqrt{a^2} = |a|$ (Betrag von a!)

Diese Regeln funktionieren auch für n-te Wurzeln. Pass nur auf, dass alle Zahlen unter der Wurzel positiv oder null sind.

Achtung: $\sqrt{a^2}$ ist nicht gleich $a$ , sondern $|a|$ - das vergessen viele!

Rationale Exponenten & Potenzgesetze

Rationale Exponenten verbinden Potenzen mit Wurzeln auf eine ziemlich clevere Art. Die Formel $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ zeigt dir, dass ein Bruch im Exponenten eigentlich eine Wurzel bedeutet.

Ein Beispiel macht das klar: $4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ . Du kannst auch zuerst die Wurzel ziehen und dann potenzieren - das Ergebnis bleibt gleich.

Die fünf Potenzgesetze sind deine Werkzeuge für alle Rechnungen:

Addition der Exponenten beim Multiplizieren: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Multiplikation der Exponenten beim Potenzieren: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Subtraktion der Exponenten beim Dividieren: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Merktipp: Diese Gesetze funktionieren auch mit Brüchen und negativen Exponenten!

Potenzen verstehen & anwenden

Potenzen sind nichts anderes als wiederholte Multiplikation - $a^n$ bedeutet, dass du $a$ einfach $n$ -mal mit sich selbst multiplizierst. Die Basis ist die Zahl, die multipliziert wird, der Exponent sagt dir, wie oft.

Zwei wichtige Spezialfälle solltest du dir merken: $a^0 = 1$ (für jede Zahl außer null) und $0^n = 0$ sowie $1^n = 1$ . Das sind die Grundregeln, die immer gelten.

Negative Exponenten drehen den Spieß um: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ . Also wird aus $3^{-2}$ einfach $\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$ . Du machst praktisch das Gegenteil einer normalen Potenz.

Die erweiterten Potenzgesetze helfen dir bei komplexeren Aufgaben - zum Beispiel kannst du Potenzen mit gleichen Exponenten multiplizieren, indem du die Basen multiplizierst: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ .

Praxistipp: Bei Klausuren sind negative Exponenten oft Stolperfallen - übe sie besonders!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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