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Potenzgesetze

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Mathe

30. Nov. 2025

646

6 Seiten

Alle Arten von Potenzgleichungen verstehen

Selinay @_selinay_

Potenzgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable mit einem Exponenten versehen ist - und sie begegnen dir häufig... Mehr anzeigen

$# Negative Hochzahl Die negative Hochzahl muss umgeschrieben werden $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ wird positiv $x^{-2}= 9$ als Bruch $\frac$

Negative Exponenten

Negative Exponenten siehst du öfter als gedacht - und sie sind eigentlich ganz einfach zu handhaben! Negative Exponenten werden einfach in einen Bruch umgewandelt $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ .

Schauen wir uns ein Beispiel an $x^{-2} = 9$ . Du schreibst das als $\frac{1}{x^2} = 9$ um und multiplizierst beide Seiten mit $x^2$ .

Dann erhältst du $1 = 9x^2$ , teilst durch 9 und bekommst $x^2 = \frac{1}{9}$ . Ziehst du die Wurzel, ergibt sich $|x| = \frac{1}{3}$ , also $x_1 = \frac{1}{3}$ und $x_2 = -\frac{1}{3}$ .

Tipp Bei negativen Exponenten denkst du einfach "Kehrwert" - dann wird's positiv!

$# Negative Hochzahl Die negative Hochzahl muss umgeschrieben werden $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ wird positiv $x^{-2}= 9$ als Bruch $\frac$

Ungerade Potenzgleichungen - Ein Ergebnis

Bei ungeraden Exponenten (wie 3, 5, 7...) kriegst du immer nur eine einzige Lösung - das macht die Sache ziemlich entspannt. Der Grund Ungerade Potenzen können sowohl positive als auch negative Werte annehmen.

Beispiel $x^3 = 8$ . Du ziehst einfach die dritte Wurzel und erhältst $x = \sqrt[3]{8} = 2$ . Fertig! Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = {2}$ .

Das funktioniert auch bei negativen Ergebnissen super $x^5 = -32$ ergibt $x = \sqrt[5]{-32} = -2$ . Bei $x^5 = 0$ ist die Lösung logischerweise $x = 0$ .

Merksatz Ungerade Exponenten = eine Lösung. Immer!

$# Negative Hochzahl Die negative Hochzahl muss umgeschrieben werden $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ wird positiv $x^{-2}= 9$ als Bruch $\frac$

Gerade Potenzgleichungen mit negativen Ergebnissen

Hier wird's interessant Wenn bei einer geraden Potenzgleichung auf der rechten Seite eine negative Zahl steht, gibt es keine Lösung! Warum? Weil gerade Potenzen niemals negativ werden können.

Beispiel $x^8 = -36$ . Egal welche Zahl du für $x$ einsetzt und acht Mal mit sich selbst multiplizierst - das Ergebnis wird immer positiv sein. Die Lösungsmenge ist daher leer $\mathbb{L} = {}$ .

Anders sieht's bei $x^6 = 0$ aus Hier ist die einzige Lösung $x = 0$ , denn nur null hoch irgendetwas ergibt wieder null.

Wichtig Gerade Exponenten + negative Zahl = keine Lösung möglich!

$# Negative Hochzahl Die negative Hochzahl muss umgeschrieben werden $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ wird positiv $x^{-2}= 9$ als Bruch $\frac$

Gerade Potenzgleichungen - Doppelt hält besser

Gerade Exponenten (2, 4, 6...) sind etwas trickreicher, weil sie immer zwei Lösungen liefern können. Das liegt daran, dass sowohl positive als auch negative Zahlen beim Quadrieren positive Ergebnisse geben.

Bei $x^4 = 16$ ziehst du die vierte Wurzel $|x| = \sqrt[4]{16} = 2$ . Wegen des Betragszeichens erhältst du zwei Lösungen $x_1 = 2$ und $x_2 = -2$ .

Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L} = {2; -2}$ . Das Betragssymbol ist hier der Schlüssel - es erinnert dich daran, dass du beide Vorzeichen berücksichtigen musst.

Eselsbrücke Gerade Exponenten sind wie ein Spiegel - sie zeigen dir immer zwei Seiten!

$# Negative Hochzahl Die negative Hochzahl muss umgeschrieben werden $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ wird positiv $x^{-2}= 9$ als Bruch $\frac$

Rationale Exponenten - Brüche als Hochzahlen

Rationale Exponenten $Brüche wie $\frac{2}{3}$$ sehen kompliziert aus, aber mit dem richtigen Trick sind sie machbar. Du potenzierst beide Seiten mit dem Kehrwert des Bruchs.

Bei $x^{\frac{2}{3}} = 4$ potenzierst du beide Seiten mit 3 $(x^{\frac{2}{3}})^3 = 4^3$ . Das ergibt $x^2 = 64$ , weil sich die 3 im Nenner wegkürzt.

Jetzt rechnest du normal weiter $|x| = 8$ , also $x_1 = 8$ und $x_2 = -8$ . Aber Achtung Du musst beide Lösungen überprüfen! Bei rationalen Exponenten sind oft nur positive Lösungen erlaubt.

Profi-Tipp Bei rationalen Exponenten immer die Probe machen - nicht alle Lösungen sind gültig!

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Selinay

@_selinay_

Potenzgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable mit einem Exponenten versehen ist - und sie begegnen dir häufig in der Oberstufe. Je nachdem, ob der Exponent gerade, ungerade, negativ oder rational ist, musst du unterschiedlich vorgehen und bekommst verschiedene Arten... Mehr anzeigen

$# Negative Hochzahl Die negative Hochzahl muss umgeschrieben werden $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ wird positiv $x^{-2}= 9$ als Bruch $\frac$

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Negative Exponenten

Negative Exponenten siehst du öfter als gedacht - und sie sind eigentlich ganz einfach zu handhaben! Negative Exponenten werden einfach in einen Bruch umgewandelt: $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ .

Schauen wir uns ein Beispiel an: $x^{-2} = 9$ . Du schreibst das als $\frac{1}{x^2} = 9$ um und multiplizierst beide Seiten mit $x^2$ .

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Tipp: Bei negativen Exponenten denkst du einfach "Kehrwert" - dann wird's positiv!

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Ungerade Potenzgleichungen - Ein Ergebnis

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Beispiel: $x^3 = 8$ . Du ziehst einfach die dritte Wurzel und erhältst $x = \sqrt[3]{8} = 2$ . Fertig! Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = {2}$ .

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Merksatz: Ungerade Exponenten = eine Lösung. Immer!

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