Mathematik

Rationale und Wurzelausdrücke

Rationaler Exponent

664

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7. Feb. 2026

•

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Alle Arten von Potenzgleichungen verstehen

Selinay

@_selinay_

Potenzgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable mit einem Exponenten... Mehr anzeigen

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$# Negative Hochzahl Die negative Hochzahl muss umgeschrieben werden $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ wird positiv $x^{-2}= 9$ als Bruch $\frac$

Negative Exponenten

Negative Exponenten siehst du öfter als gedacht - und sie sind eigentlich ganz einfach zu handhaben! Negative Exponenten werden einfach in einen Bruch umgewandelt: $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ .

Schauen wir uns ein Beispiel an: $x^{-2} = 9$ . Du schreibst das als $\frac{1}{x^2} = 9$ um und multiplizierst beide Seiten mit $x^2$ .

Dann erhältst du $1 = 9x^2 $, teilst durch 9 und bekommst$ x^2 = \frac{1}{9} $. Ziehst du die Wurzel, ergibt sich$ |x| = \frac{1}{3} $, also$ x_1 = \frac{1}{3} $und$ x_2 = -\frac{1}{3}$.

Tipp: Bei negativen Exponenten denkst du einfach "Kehrwert" - dann wird's positiv!

$# Negative Hochzahl Die negative Hochzahl muss umgeschrieben werden $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ wird positiv $x^{-2}= 9$ als Bruch $\frac$

Ungerade Potenzgleichungen - Ein Ergebnis

Bei ungeraden Exponenten (wie 3, 5, 7...) kriegst du immer nur eine einzige Lösung - das macht die Sache ziemlich entspannt. Der Grund: Ungerade Potenzen können sowohl positive als auch negative Werte annehmen.

Beispiel: $x^3 = 8$ . Du ziehst einfach die dritte Wurzel und erhältst $x = \sqrt[3]{8} = 2$ . Fertig! Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = {2}$ .

Das funktioniert auch bei negativen Ergebnissen super: $x^5 = -32$ ergibt $x = \sqrt[5]{-32} = -2$ . Bei $x^5 = 0$ ist die Lösung logischerweise $x = 0$ .

Merksatz: Ungerade Exponenten = eine Lösung. Immer!

$# Negative Hochzahl Die negative Hochzahl muss umgeschrieben werden $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ wird positiv $x^{-2}= 9$ als Bruch $\frac$

Gerade Potenzgleichungen mit negativen Ergebnissen

Hier wird's interessant: Wenn bei einer geraden Potenzgleichung auf der rechten Seite eine negative Zahl steht, gibt es keine Lösung! Warum? Weil gerade Potenzen niemals negativ werden können.

Beispiel: $x^8 = -36$ . Egal welche Zahl du für $x$ einsetzt und acht Mal mit sich selbst multiplizierst - das Ergebnis wird immer positiv sein. Die Lösungsmenge ist daher leer: $\mathbb{L} = {}$ .

Anders sieht's bei $x^6 = 0$ aus: Hier ist die einzige Lösung $x = 0$ , denn nur null hoch irgendetwas ergibt wieder null.

Wichtig: Gerade Exponenten + negative Zahl = keine Lösung möglich!

$# Negative Hochzahl Die negative Hochzahl muss umgeschrieben werden $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ wird positiv $x^{-2}= 9$ als Bruch $\frac$

Gerade Potenzgleichungen - Doppelt hält besser

Gerade Exponenten (2, 4, 6...) sind etwas trickreicher, weil sie immer zwei Lösungen liefern können. Das liegt daran, dass sowohl positive als auch negative Zahlen beim Quadrieren positive Ergebnisse geben.

Bei $x^4 = 16$ ziehst du die vierte Wurzel: $|x| = \sqrt[4]{16} = 2$ . Wegen des Betragszeichens erhältst du zwei Lösungen: $x_1 = 2$ und $x_2 = -2$ .

Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L} = {2; -2}$ . Das Betragssymbol ist hier der Schlüssel - es erinnert dich daran, dass du beide Vorzeichen berücksichtigen musst.

Eselsbrücke: Gerade Exponenten sind wie ein Spiegel - sie zeigen dir immer zwei Seiten!

$# Negative Hochzahl Die negative Hochzahl muss umgeschrieben werden $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ wird positiv $x^{-2}= 9$ als Bruch $\frac$

Rationale Exponenten - Brüche als Hochzahlen

Rationale Exponenten $Brüche wie $\frac{2}{3}$$ sehen kompliziert aus, aber mit dem richtigen Trick sind sie machbar. Du potenzierst beide Seiten mit dem Kehrwert des Bruchs.

Bei $x^{\frac{2}{3}} = 4$ potenzierst du beide Seiten mit 3: $(x^{\frac{2}{3}})^3 = 4^3$ . Das ergibt $x^2 = 64$ , weil sich die 3 im Nenner wegkürzt.

Jetzt rechnest du normal weiter: $|x| = 8$ , also $x_1 = 8$ und $x_2 = -8$ . Aber Achtung: Du musst beide Lösungen überprüfen! Bei rationalen Exponenten sind oft nur positive Lösungen erlaubt.

Profi-Tipp: Bei rationalen Exponenten immer die Probe machen - nicht alle Lösungen sind gültig!

$# Negative Hochzahl Die negative Hochzahl muss umgeschrieben werden $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ wird positiv $x^{-2}= 9$ als Bruch $\frac$

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

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Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

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Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

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Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

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Potenzgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable mit einem Exponenten versehen ist - und sie begegnen dir häufig in der Oberstufe. Je nachdem, ob der Exponent gerade, ungerade, negativ oder rational ist, musst du unterschiedlich vorgehen und bekommst verschiedene Arten... Mehr anzeigen

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Negative Exponenten siehst du öfter als gedacht - und sie sind eigentlich ganz einfach zu handhaben! Negative Exponenten werden einfach in einen Bruch umgewandelt: $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ .

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Rationale Exponenten - Brüche als Hochzahlen

Rationale Exponenten $Brüche wie $\frac{2}{3}$$ sehen kompliziert aus, aber mit dem richtigen Trick sind sie machbar. Du potenzierst beide Seiten mit dem Kehrwert des Bruchs.

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