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Mathematik

Geometrische und funktionale Symmetrie

Spiegelung an der X-Achse

Mathe2.943Aktualisiert 5. Okt. 20266 Seiten

Alles über Quadratische Formeln

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Jessica@sakuraj_
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Quadratische Funktionen sind überall um dich herum - von der Flugbahn eines Basketballs bis zur Form von Brücken. Diese Funktionen erkennst du ganz einfach am $x^2$ und ihr Graph ist immer eine Parabel.
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Grundlagen quadratischer Funktionen

Quadratische Funktionen erkennst du sofort am x2x^2 - nicht x1x^1 oder x3x^3, sondern genau x2x^2. Der Graph ist immer eine Parabel, die wie ein U aussieht.

Die einfachste Form ist f(x)=x2f(x) = x^2, die sogenannte Normalparabel. Ihr Scheitelpunkt S liegt bei (0|0) - das ist der tiefste Punkt der Parabel.

Du kannst mit quadratischen Funktionen vier coole Sachen machen: die Parabel nach oben/unten oder links/rechts verschieben, sie schmaler oder breiter machen und sogar umdrehen. Das ist wie ein Baukasten für Parabeln!

Merktipp: Der Scheitelpunkt ist immer der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel - je nachdem, ob sie nach oben oder unten geöffnet ist.

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Verschiebungen der Parabel

Verschiebung nach oben/unten ist super einfach: Hängst du eine Zahl hinten dran, wandert die Parabel. f(x)=x2+3f(x) = x^2 + 3 schiebt sie 3 Einheiten nach oben, f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2 schiebt sie 2 Einheiten nach unten.

Verschiebung nach links/rechts funktioniert anders als erwartet! Bei f(x)=(x−2)2f(x) = (x-2)^2 geht die Parabel 2 Einheiten nach rechts. Bei f(x)=(x+3)2f(x) = (x+3)^2 geht sie 3 Einheiten nach links.

Das Verrückte: Plus in der Klammer bedeutet links, Minus bedeutet rechts - genau andersrum als man denkt! Merk dir: "Plus links, Minus rechts" bei Klammern.

Achtung: Die Verschiebung in x-Richtung funktioniert umgekehrt zu dem, was du erwarten würdest!

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Streckung, Stauchung und Spiegelung

Streckung und Stauchung machst du mit einem Faktor vor dem x2x^2. Bei f(x)=3x2f(x) = 3x^2 wird die Parabel schmaler (gestreckt), bei f(x)=0,25x2f(x) = 0,25x^2 wird sie breiter (gestaucht).

Die Regel ist einfach: Faktor größer als 1 = schmaler, Faktor zwischen 0 und 1 = breiter. Je größer der Faktor, desto schmaler wird deine Parabel.

Spiegelung passiert bei negativen Faktoren. f(x)=−x2f(x) = -x^2 dreht die Parabel um, sodass sie nach unten öffnet. f(x)=−3x2f(x) = -3x^2 spiegelt UND streckt gleichzeitig.

Cool: Du kannst alle diese Veränderungen kombinieren und so jede beliebige Parabel erstellen!

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Kombinationen und Formen

Du kannst alle Transformationen gleichzeitig anwenden! Bei f(x)=3(x−3)2−2f(x) = 3(x-3)^2 - 2 passiert folgendes: 3 Einheiten nach rechts, 2 nach unten und Streckung um Faktor 3.

Es gibt drei wichtige Formen quadratischer Funktionen: Die Scheitelpunktform f(x)=a(x−d)2+ef(x) = a(x-d)^2 + e zeigt dir den Scheitelpunkt S(d|e) direkt an. Die allgemeine Form f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c brauchst du für die Mitternachtsformel.

Die faktorisierte Form f(x)=(x−x1)(x−x2)f(x) = (x-x_1)(x-x_2) verrät dir sofort die Nullstellen. Jede Form hat ihre Vorteile - je nachdem, was du berechnen willst.

Profi-Tipp: Lerne alle drei Formen kennen - sie machen verschiedene Aufgaben viel einfacher!

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Funktionsgleichung bestimmen

Mit Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt findest du jede Funktionsgleichung. Schreib erst die Scheitelpunktform auf: f(x)=a(x−d)2+ef(x) = a(x-d)^2 + e.

Setz die Koordinaten des Scheitelpunkts für d und e ein. Dann nutzt du den anderen Punkt, um den Faktor a zu berechnen. Einfach die Koordinaten einsetzen und nach a auflösen.

Zum Schluss setzt du alles zusammen und multiplizierst aus - fertig ist deine Funktionsgleichung! Das klappt immer, solange du Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt hast.

Erfolgsrezept: Scheitelpunkt + ein Punkt = vollständige Funktionsgleichung. Das funktioniert in vier einfachen Schritten!

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Nullstellen berechnen

Nullstellen sind die x-Werte, wo deine Parabel die x-Achse schneidet. Quadratische Funktionen haben 0, 1 oder 2 Nullstellen - das siehst du am Graphen.

Bei der faktorisierten Form f(x)=(x−x1)(x−x2)f(x) = (x-x_1)(x-x_2) liest du die Nullstellen direkt ab. Sonst nutzt du die Mitternachtsformel: x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Für die Normalform x2+px+q=0x^2 + px + q = 0 geht auch die pq-Formel: x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}. Der Satz von Vieta gibt dir zusätzlich coole Zusammenhänge zwischen Nullstellen und Koeffizienten.

Formeltrick: Die Mitternachtsformel funktioniert immer - lern sie auswendig und du bist für alle Fälle gewappnet!

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