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Mathematik

Geometrische und funktionale Symmetrie

Spiegelung an der X-Achse

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30. Dez. 2025

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Alles über Quadratische Formeln

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Jessica

@sakuraj_

Quadratische Funktionen sind überall um dich herum - von der... Mehr anzeigen

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# QUADRATISCHE FUNKTIONEN Quadratische Funktionen erkennt man an $x²$ (nicht $x³, x⁴, x⁵$ usw.) Graph einer quadratischen Function: Parabel

Grundlagen quadratischer Funktionen

Quadratische Funktionen erkennst du sofort am x2x^2 - nicht x1x^1 oder x3x^3, sondern genau x2x^2. Der Graph ist immer eine Parabel, die wie ein U aussieht.

Die einfachste Form ist f(x)=x2f(x) = x^2, die sogenannte Normalparabel. Ihr Scheitelpunkt S liegt bei (0|0) - das ist der tiefste Punkt der Parabel.

Du kannst mit quadratischen Funktionen vier coole Sachen machen: die Parabel nach oben/unten oder links/rechts verschieben, sie schmaler oder breiter machen und sogar umdrehen. Das ist wie ein Baukasten für Parabeln!

Merktipp: Der Scheitelpunkt ist immer der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel - je nachdem, ob sie nach oben oder unten geöffnet ist.

# QUADRATISCHE FUNKTIONEN Quadratische Funktionen erkennt man an $x²$ (nicht $x³, x⁴, x⁵$ usw.) Graph einer quadratischen Function: Parabel

Verschiebungen der Parabel

Verschiebung nach oben/unten ist super einfach: Hängst du eine Zahl hinten dran, wandert die Parabel. f(x)=x2+3f(x) = x^2 + 3 schiebt sie 3 Einheiten nach oben, f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2 schiebt sie 2 Einheiten nach unten.

Verschiebung nach links/rechts funktioniert anders als erwartet! Bei f(x)=(x−2)2f(x) = (x-2)^2 geht die Parabel 2 Einheiten nach rechts. Bei f(x)=(x+3)2f(x) = (x+3)^2 geht sie 3 Einheiten nach links.

Das Verrückte: Plus in der Klammer bedeutet links, Minus bedeutet rechts - genau andersrum als man denkt! Merk dir: "Plus links, Minus rechts" bei Klammern.

Achtung: Die Verschiebung in x-Richtung funktioniert umgekehrt zu dem, was du erwarten würdest!

# QUADRATISCHE FUNKTIONEN Quadratische Funktionen erkennt man an $x²$ (nicht $x³, x⁴, x⁵$ usw.) Graph einer quadratischen Function: Parabel

Streckung, Stauchung und Spiegelung

Streckung und Stauchung machst du mit einem Faktor vor dem x2x^2. Bei f(x)=3x2f(x) = 3x^2 wird die Parabel schmaler (gestreckt), bei f(x)=0,25x2f(x) = 0,25x^2 wird sie breiter (gestaucht).

Die Regel ist einfach: Faktor größer als 1 = schmaler, Faktor zwischen 0 und 1 = breiter. Je größer der Faktor, desto schmaler wird deine Parabel.

Spiegelung passiert bei negativen Faktoren. f(x)=−x2f(x) = -x^2 dreht die Parabel um, sodass sie nach unten öffnet. f(x)=−3x2f(x) = -3x^2 spiegelt UND streckt gleichzeitig.

Cool: Du kannst alle diese Veränderungen kombinieren und so jede beliebige Parabel erstellen!

# QUADRATISCHE FUNKTIONEN Quadratische Funktionen erkennt man an $x²$ (nicht $x³, x⁴, x⁵$ usw.) Graph einer quadratischen Function: Parabel

Kombinationen und Formen

Du kannst alle Transformationen gleichzeitig anwenden! Bei f(x)=3(x−3)2−2f(x) = 3(x-3)^2 - 2 passiert folgendes: 3 Einheiten nach rechts, 2 nach unten und Streckung um Faktor 3.

Es gibt drei wichtige Formen quadratischer Funktionen: Die Scheitelpunktform f(x)=a(x−d)2+ef(x) = a(x-d)^2 + e zeigt dir den Scheitelpunkt S(d|e) direkt an. Die allgemeine Form f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c brauchst du für die Mitternachtsformel.

Die faktorisierte Form f(x)=(x−x1)(x−x2)f(x) = (x-x_1)(x-x_2) verrät dir sofort die Nullstellen. Jede Form hat ihre Vorteile - je nachdem, was du berechnen willst.

Profi-Tipp: Lerne alle drei Formen kennen - sie machen verschiedene Aufgaben viel einfacher!

# QUADRATISCHE FUNKTIONEN Quadratische Funktionen erkennt man an $x²$ (nicht $x³, x⁴, x⁵$ usw.) Graph einer quadratischen Function: Parabel

Funktionsgleichung bestimmen

Mit Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt findest du jede Funktionsgleichung. Schreib erst die Scheitelpunktform auf: f(x)=a(x−d)2+ef(x) = a(x-d)^2 + e.

Setz die Koordinaten des Scheitelpunkts für d und e ein. Dann nutzt du den anderen Punkt, um den Faktor a zu berechnen. Einfach die Koordinaten einsetzen und nach a auflösen.

Zum Schluss setzt du alles zusammen und multiplizierst aus - fertig ist deine Funktionsgleichung! Das klappt immer, solange du Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt hast.

Erfolgsrezept: Scheitelpunkt + ein Punkt = vollständige Funktionsgleichung. Das funktioniert in vier einfachen Schritten!

# QUADRATISCHE FUNKTIONEN Quadratische Funktionen erkennt man an $x²$ (nicht $x³, x⁴, x⁵$ usw.) Graph einer quadratischen Function: Parabel

Nullstellen berechnen

Nullstellen sind die x-Werte, wo deine Parabel die x-Achse schneidet. Quadratische Funktionen haben 0, 1 oder 2 Nullstellen - das siehst du am Graphen.

Bei der faktorisierten Form f(x)=(x−x1)(x−x2)f(x) = (x-x_1)(x-x_2) liest du die Nullstellen direkt ab. Sonst nutzt du die Mitternachtsformel: x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Für die Normalform x2+px+q=0x^2 + px + q = 0 geht auch die pq-Formel: x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}. Der Satz von Vieta gibt dir zusätzlich coole Zusammenhänge zwischen Nullstellen und Koeffizienten.

Formeltrick: Die Mitternachtsformel funktioniert immer - lern sie auswendig und du bist für alle Fälle gewappnet!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Geometrische und funktionale Symmetrie

Spiegelung an der X-Achse

 

Mathe

•

2.912

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Alles über Quadratische Formeln

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Jessica

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Quadratische Funktionen sind überall um dich herum - von der Flugbahn eines Basketballs bis zur Form von Brücken. Diese Funktionen erkennst du ganz einfach am $x^2$ und ihr Graph ist immer eine Parabel.

# QUADRATISCHE FUNKTIONEN Quadratische Funktionen erkennt man an $x²$ (nicht $x³, x⁴, x⁵$ usw.) Graph einer quadratischen Function: Parabel

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Grundlagen quadratischer Funktionen

Quadratische Funktionen erkennst du sofort am x2x^2 - nicht x1x^1 oder x3x^3, sondern genau x2x^2. Der Graph ist immer eine Parabel, die wie ein U aussieht.

Die einfachste Form ist f(x)=x2f(x) = x^2, die sogenannte Normalparabel. Ihr Scheitelpunkt S liegt bei (0|0) - das ist der tiefste Punkt der Parabel.

Du kannst mit quadratischen Funktionen vier coole Sachen machen: die Parabel nach oben/unten oder links/rechts verschieben, sie schmaler oder breiter machen und sogar umdrehen. Das ist wie ein Baukasten für Parabeln!

Merktipp: Der Scheitelpunkt ist immer der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel - je nachdem, ob sie nach oben oder unten geöffnet ist.

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Verschiebungen der Parabel

Verschiebung nach oben/unten ist super einfach: Hängst du eine Zahl hinten dran, wandert die Parabel. f(x)=x2+3f(x) = x^2 + 3 schiebt sie 3 Einheiten nach oben, f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2 schiebt sie 2 Einheiten nach unten.

Verschiebung nach links/rechts funktioniert anders als erwartet! Bei f(x)=(x−2)2f(x) = (x-2)^2 geht die Parabel 2 Einheiten nach rechts. Bei f(x)=(x+3)2f(x) = (x+3)^2 geht sie 3 Einheiten nach links.

Das Verrückte: Plus in der Klammer bedeutet links, Minus bedeutet rechts - genau andersrum als man denkt! Merk dir: "Plus links, Minus rechts" bei Klammern.

Achtung: Die Verschiebung in x-Richtung funktioniert umgekehrt zu dem, was du erwarten würdest!

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Streckung, Stauchung und Spiegelung

Streckung und Stauchung machst du mit einem Faktor vor dem x2x^2. Bei f(x)=3x2f(x) = 3x^2 wird die Parabel schmaler (gestreckt), bei f(x)=0,25x2f(x) = 0,25x^2 wird sie breiter (gestaucht).

Die Regel ist einfach: Faktor größer als 1 = schmaler, Faktor zwischen 0 und 1 = breiter. Je größer der Faktor, desto schmaler wird deine Parabel.

Spiegelung passiert bei negativen Faktoren. f(x)=−x2f(x) = -x^2 dreht die Parabel um, sodass sie nach unten öffnet. f(x)=−3x2f(x) = -3x^2 spiegelt UND streckt gleichzeitig.

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Für die Normalform x2+px+q=0x^2 + px + q = 0 geht auch die pq-Formel: x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}. Der Satz von Vieta gibt dir zusätzlich coole Zusammenhänge zwischen Nullstellen und Koeffizienten.

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Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Lineare Funktionen verstehen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über lineare Funktionen, einschließlich der allgemeinen Formel, der Bestimmung von Funktionsgleichungen, der Steigung und der Nullstellen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten. Enthält Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Berechnung von Schnittpunkten und zur Analyse von Graphen.

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Stochastik: Abiturwissen kompakt

Entdecke alle wichtigen Konzepte der Stochastik für das Abitur, einschließlich Binomialverteilung, Hypothesentests, Varianz, Standardabweichung und mehr. Ideal für die Prüfungsvorbereitung und das Verständnis stochastischer Probleme.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Stefan S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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