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MatheMathe2,926 aufrufe·Aktualisiert Jun 2, 2026·6 Seiten

Alles über Quadratische Formeln

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Jessica@sakuraj_

Quadratische Funktionen sind überall um dich herum - von der...

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# QUADRATISCHE FUNKTIONEN Quadratische Funktionen erkennt man an $x²$ (nicht $x³, x⁴, x⁵$ usw.) Graph einer quadratischen Function: Parabel

Grundlagen quadratischer Funktionen

Quadratische Funktionen erkennst du sofort am x2x^2 - nicht x1x^1 oder x3x^3, sondern genau x2x^2. Der Graph ist immer eine Parabel, die wie ein U aussieht.

Die einfachste Form ist f(x)=x2f(x) = x^2, die sogenannte Normalparabel. Ihr Scheitelpunkt S liegt bei (0|0) - das ist der tiefste Punkt der Parabel.

Du kannst mit quadratischen Funktionen vier coole Sachen machen: die Parabel nach oben/unten oder links/rechts verschieben, sie schmaler oder breiter machen und sogar umdrehen. Das ist wie ein Baukasten für Parabeln!

Merktipp: Der Scheitelpunkt ist immer der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel - je nachdem, ob sie nach oben oder unten geöffnet ist.

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# QUADRATISCHE FUNKTIONEN Quadratische Funktionen erkennt man an $x²$ (nicht $x³, x⁴, x⁵$ usw.) Graph einer quadratischen Function: Parabel

Verschiebungen der Parabel

Verschiebung nach oben/unten ist super einfach: Hängst du eine Zahl hinten dran, wandert die Parabel. f(x)=x2+3f(x) = x^2 + 3 schiebt sie 3 Einheiten nach oben, f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2 schiebt sie 2 Einheiten nach unten.

Verschiebung nach links/rechts funktioniert anders als erwartet! Bei f(x)=(x−2)2f(x) = (x-2)^2 geht die Parabel 2 Einheiten nach rechts. Bei f(x)=(x+3)2f(x) = (x+3)^2 geht sie 3 Einheiten nach links.

Das Verrückte: Plus in der Klammer bedeutet links, Minus bedeutet rechts - genau andersrum als man denkt! Merk dir: "Plus links, Minus rechts" bei Klammern.

Achtung: Die Verschiebung in x-Richtung funktioniert umgekehrt zu dem, was du erwarten würdest!

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# QUADRATISCHE FUNKTIONEN Quadratische Funktionen erkennt man an $x²$ (nicht $x³, x⁴, x⁵$ usw.) Graph einer quadratischen Function: Parabel

Streckung, Stauchung und Spiegelung

Streckung und Stauchung machst du mit einem Faktor vor dem x2x^2. Bei f(x)=3x2f(x) = 3x^2 wird die Parabel schmaler (gestreckt), bei f(x)=0,25x2f(x) = 0,25x^2 wird sie breiter (gestaucht).

Die Regel ist einfach: Faktor größer als 1 = schmaler, Faktor zwischen 0 und 1 = breiter. Je größer der Faktor, desto schmaler wird deine Parabel.

Spiegelung passiert bei negativen Faktoren. f(x)=−x2f(x) = -x^2 dreht die Parabel um, sodass sie nach unten öffnet. f(x)=−3x2f(x) = -3x^2 spiegelt UND streckt gleichzeitig.

Cool: Du kannst alle diese Veränderungen kombinieren und so jede beliebige Parabel erstellen!

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# QUADRATISCHE FUNKTIONEN Quadratische Funktionen erkennt man an $x²$ (nicht $x³, x⁴, x⁵$ usw.) Graph einer quadratischen Function: Parabel

Kombinationen und Formen

Du kannst alle Transformationen gleichzeitig anwenden! Bei f(x)=3(x−3)2−2f(x) = 3(x-3)^2 - 2 passiert folgendes: 3 Einheiten nach rechts, 2 nach unten und Streckung um Faktor 3.

Es gibt drei wichtige Formen quadratischer Funktionen: Die Scheitelpunktform f(x)=a(x−d)2+ef(x) = a(x-d)^2 + e zeigt dir den Scheitelpunkt S(d|e) direkt an. Die allgemeine Form f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c brauchst du für die Mitternachtsformel.

Die faktorisierte Form f(x)=(x−x1)(x−x2)f(x) = (x-x_1)(x-x_2) verrät dir sofort die Nullstellen. Jede Form hat ihre Vorteile - je nachdem, was du berechnen willst.

Profi-Tipp: Lerne alle drei Formen kennen - sie machen verschiedene Aufgaben viel einfacher!

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# QUADRATISCHE FUNKTIONEN Quadratische Funktionen erkennt man an $x²$ (nicht $x³, x⁴, x⁵$ usw.) Graph einer quadratischen Function: Parabel

Funktionsgleichung bestimmen

Mit Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt findest du jede Funktionsgleichung. Schreib erst die Scheitelpunktform auf: f(x)=a(x−d)2+ef(x) = a(x-d)^2 + e.

Setz die Koordinaten des Scheitelpunkts für d und e ein. Dann nutzt du den anderen Punkt, um den Faktor a zu berechnen. Einfach die Koordinaten einsetzen und nach a auflösen.

Zum Schluss setzt du alles zusammen und multiplizierst aus - fertig ist deine Funktionsgleichung! Das klappt immer, solange du Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt hast.

Erfolgsrezept: Scheitelpunkt + ein Punkt = vollständige Funktionsgleichung. Das funktioniert in vier einfachen Schritten!

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# QUADRATISCHE FUNKTIONEN Quadratische Funktionen erkennt man an $x²$ (nicht $x³, x⁴, x⁵$ usw.) Graph einer quadratischen Function: Parabel

Nullstellen berechnen

Nullstellen sind die x-Werte, wo deine Parabel die x-Achse schneidet. Quadratische Funktionen haben 0, 1 oder 2 Nullstellen - das siehst du am Graphen.

Bei der faktorisierten Form f(x)=(x−x1)(x−x2)f(x) = (x-x_1)(x-x_2) liest du die Nullstellen direkt ab. Sonst nutzt du die Mitternachtsformel: x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Für die Normalform x2+px+q=0x^2 + px + q = 0 geht auch die pq-Formel: x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}. Der Satz von Vieta gibt dir zusätzlich coole Zusammenhänge zwischen Nullstellen und Koeffizienten.

Formeltrick: Die Mitternachtsformel funktioniert immer - lern sie auswendig und du bist für alle Fälle gewappnet!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

AnnaiOS-Nutzerin

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Quadratische Funktionen sind überall um dich herum - von der Flugbahn eines Basketballs bis zur Form von Brücken. Diese Funktionen erkennst du ganz einfach am $x^2$ und ihr Graph ist immer eine Parabel.

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Grundlagen quadratischer Funktionen

Quadratische Funktionen erkennst du sofort am x2x^2 - nicht x1x^1 oder x3x^3, sondern genau x2x^2. Der Graph ist immer eine Parabel, die wie ein U aussieht.

Die einfachste Form ist f(x)=x2f(x) = x^2, die sogenannte Normalparabel. Ihr Scheitelpunkt S liegt bei (0|0) - das ist der tiefste Punkt der Parabel.

Du kannst mit quadratischen Funktionen vier coole Sachen machen: die Parabel nach oben/unten oder links/rechts verschieben, sie schmaler oder breiter machen und sogar umdrehen. Das ist wie ein Baukasten für Parabeln!

Merktipp: Der Scheitelpunkt ist immer der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel - je nachdem, ob sie nach oben oder unten geöffnet ist.

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Verschiebungen der Parabel

Verschiebung nach oben/unten ist super einfach: Hängst du eine Zahl hinten dran, wandert die Parabel. f(x)=x2+3f(x) = x^2 + 3 schiebt sie 3 Einheiten nach oben, f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2 schiebt sie 2 Einheiten nach unten.

Verschiebung nach links/rechts funktioniert anders als erwartet! Bei f(x)=(x−2)2f(x) = (x-2)^2 geht die Parabel 2 Einheiten nach rechts. Bei f(x)=(x+3)2f(x) = (x+3)^2 geht sie 3 Einheiten nach links.

Das Verrückte: Plus in der Klammer bedeutet links, Minus bedeutet rechts - genau andersrum als man denkt! Merk dir: "Plus links, Minus rechts" bei Klammern.

Achtung: Die Verschiebung in x-Richtung funktioniert umgekehrt zu dem, was du erwarten würdest!

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Streckung, Stauchung und Spiegelung

Streckung und Stauchung machst du mit einem Faktor vor dem x2x^2. Bei f(x)=3x2f(x) = 3x^2 wird die Parabel schmaler (gestreckt), bei f(x)=0,25x2f(x) = 0,25x^2 wird sie breiter (gestaucht).

Die Regel ist einfach: Faktor größer als 1 = schmaler, Faktor zwischen 0 und 1 = breiter. Je größer der Faktor, desto schmaler wird deine Parabel.

Spiegelung passiert bei negativen Faktoren. f(x)=−x2f(x) = -x^2 dreht die Parabel um, sodass sie nach unten öffnet. f(x)=−3x2f(x) = -3x^2 spiegelt UND streckt gleichzeitig.

Cool: Du kannst alle diese Veränderungen kombinieren und so jede beliebige Parabel erstellen!

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Kombinationen und Formen

Du kannst alle Transformationen gleichzeitig anwenden! Bei f(x)=3(x−3)2−2f(x) = 3(x-3)^2 - 2 passiert folgendes: 3 Einheiten nach rechts, 2 nach unten und Streckung um Faktor 3.

Es gibt drei wichtige Formen quadratischer Funktionen: Die Scheitelpunktform f(x)=a(x−d)2+ef(x) = a(x-d)^2 + e zeigt dir den Scheitelpunkt S(d|e) direkt an. Die allgemeine Form f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c brauchst du für die Mitternachtsformel.

Die faktorisierte Form f(x)=(x−x1)(x−x2)f(x) = (x-x_1)(x-x_2) verrät dir sofort die Nullstellen. Jede Form hat ihre Vorteile - je nachdem, was du berechnen willst.

Profi-Tipp: Lerne alle drei Formen kennen - sie machen verschiedene Aufgaben viel einfacher!

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Funktionsgleichung bestimmen

Mit Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt findest du jede Funktionsgleichung. Schreib erst die Scheitelpunktform auf: f(x)=a(x−d)2+ef(x) = a(x-d)^2 + e.

Setz die Koordinaten des Scheitelpunkts für d und e ein. Dann nutzt du den anderen Punkt, um den Faktor a zu berechnen. Einfach die Koordinaten einsetzen und nach a auflösen.

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Nullstellen berechnen

Nullstellen sind die x-Werte, wo deine Parabel die x-Achse schneidet. Quadratische Funktionen haben 0, 1 oder 2 Nullstellen - das siehst du am Graphen.

Bei der faktorisierten Form f(x)=(x−x1)(x−x2)f(x) = (x-x_1)(x-x_2) liest du die Nullstellen direkt ab. Sonst nutzt du die Mitternachtsformel: x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Für die Normalform x2+px+q=0x^2 + px + q = 0 geht auch die pq-Formel: x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}. Der Satz von Vieta gibt dir zusätzlich coole Zusammenhänge zwischen Nullstellen und Koeffizienten.

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