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Mathematik

Nullstellen und Wurzeln von Polynomen

Nullstellen/Wurzeln

Mathe650Aktualisiert 7. Sept. 20265 Seiten

Quadratische Funktionen und ihre Eigenschaften

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Funktionen sind das A und O der Mathematik! Sie beschreiben, wie sich Werte verändern und helfen dir dabei, Zusammenhänge zwischen verschiedenen Größen zu verstehen. Von einfachen linearen Funktionen bis hin zu quadratischen Parabeln – hier lernst du alles, was du für deine Klausuren brauchst.
Quadratische Funktionen – Seite 1

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Lineare Funktionen verstehen

Lineare Funktionen zeigen dir, wie etwas gleichmäßig steigt oder fällt. Die Steigung mm verrät dir, um wie viele Schritte es nach oben oder unten geht, wenn du einen Schritt nach rechts machst.

Die allgemeine Funktionsgleichung lautet: fxx = m·x + b. Hier ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt (wo die Gerade die y-Achse schneidet).

Um eine Funktionsgleichung aus zwei Punkten zu berechnen, brauchst du die Steigungsformel: m = y2−y1y₂ - y₁/x2−x1x₂ - x₁. Dann setzt du einen Punkt in fxx = m·x + b ein, um b zu finden.

Tipp: Mit einer Wertetabelle kannst du immer prüfen, ob deine Funktionsgleichung stimmt!

Quadratische Funktionen – Seite 2

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Quadratische Funktionen meistern

Quadratische Funktionen erkennst du an der typischen Parabelform. Es gibt zwei wichtige Darstellungsformen: die Normalform fxx = ax² + bx + c und die Scheitelpunktform fxx = ax−dx-d² + e.

Die Scheitelpunktform zeigt dir sofort den Scheitelpunkt (d|e) und Verschiebungen der Parabel. Um zwischen den Formen zu wechseln, nutzt du binomische Formeln oder die quadratische Ergänzung.

Für Nullstellen verwendest du die pq-Formel: x₁/₂ = -p/2 ± √(p/2)2−q(p/2)² - q. Dabei ist p der Koeffizient vor x und q der konstante Term in der Form x² + px + q = 0.

Merkhilfe: Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt deiner Parabel!

Quadratische Funktionen – Seite 3

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Quadratische Funktionen durch Punkte bestimmen

Wenn du drei Punkte einer Parabel kennst, kannst du die Funktionsgleichung komplett bestimmen. Du setzt alle Punkte in die Normalform fxx = ax² + bx + c ein und erhältst ein Gleichungssystem.

Mit dem Additions- oder Subtraktionsverfahren löst du das System schrittweise auf. Zuerst berechnest du die Parameter a, b und c, dann hast du deine fertige Funktionsgleichung.

Das systematische Vorgehen ist wichtig: Punkte einsetzen → vereinfachen → sortieren → Gleichungssystem lösen. So kommst du sicher zum Ziel.

Praxis-Tipp: Prüfe dein Ergebnis, indem du die ursprünglichen Punkte in deine Funktionsgleichung einsetzt!

Quadratische Funktionen – Seite 4

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Definitionsbereich und Wertebereich

Der Definitionsbereich (D) umfasst alle x-Werte, die du in eine Funktion einsetzen darfst. Meistens ist das ℝ (alle reellen Zahlen), außer wenn ein Nenner null werden würde.

Die Schreibweise D = ℝ{0} bedeutet "alle reellen Zahlen außer null". Mit ℝ⁺ bezeichnest du positive Zahlen, ℝ₀⁺ schließt die null mit ein.

Der Wertebereich (W) zeigt alle möglichen y-Werte (Funktionswerte) einer Funktion. Bei Parabeln ist das oft nach oben oder unten begrenzt, bei Geraden meist unbegrenzt.

Wichtig: Achte besonders auf Brüche und Wurzeln – hier lauern die häufigsten Einschränkungen!

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