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Mathematik

Gleichungen der Kegelschnitte

Normalform einer Parabel

Mathe3.616Aktualisiert 21. Sept. 20263 Seiten

Quadratische Funktionen einfach erklärt

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Quadratische Funktionen sind überall um uns herum - von der Flugbahn eines Basketballs bis zur Form von Brücken. Du erkennst sie an ihrer charakteristischen U-Form, der sogenannten Parabel.
Quadratische Funktionen – Seite 1

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Quadratische Funktionen - Die Grundlagen

Quadratische Funktionen haben die allgemeine Form fxx = ax² + bx + c, wobei a ≠ 0 sein muss. Ihr Graph heißt Parabel und hat immer eine charakteristische U-Form mit einem tiefsten oder höchsten Punkt, dem Scheitelpunkt.

Die einfachste Form ist die Normalparabel fxx = x² mit dem Scheitelpunkt S(0|0). Sie ist perfekt symmetrisch zur y-Achse und öffnet sich nach oben.

Das absolute Glied c verschiebt deine Parabel einfach nach oben oder unten. Bei fxx = x² + 4 wandert der Graph um 4 Einheiten nach oben, bei fxx = x² - 2 um 2 Einheiten nach unten.

💡 Merktipp: Das c am Ende der Gleichung zeigt dir direkt, wo die Parabel die y-Achse schneidet!

Quadratische Funktionen – Seite 2

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Scheitelpunktform - Der Schlüssel zum Erfolg

Mit der Scheitelpunktform fxx = x+dx + d² + e kannst du den Scheitelpunkt sofort ablesen: S−d∣e-d|e. Viel praktischer als langes Rechnen!

Die quadratische Ergänzung bringt jede Funktion in diese Form. Bei fxx = x² + 8x - 5 nimmst du die Hälfte von 8 (also 4), quadrierst sie (16) und erhältst: fxx = x+4x + 4² - 21 mit Scheitelpunkt S−4∣−21-4|-21.

Der Streckungsfaktor a bestimmt, wie breit oder schmal deine Parabel wird. Bei a = 2 wird sie schmaler, bei a = 0,5 breiter. Ist a negativ, öffnet sich die Parabel nach unten - wie ein umgedrehter Regenschirm.

💡 Profi-Tipp: Die Scheitelpunktform zeigt dir auf einen Blick alle wichtigen Eigenschaften der Parabel!

Quadratische Funktionen – Seite 3

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Nullstellen und Schnittpunkte finden

Nullstellen sind die Punkte, wo deine Parabel die x-Achse schneidet. Hier gilt fxx = 0, und du löst die Gleichung ax² + bx + c = 0.

Den y-Achsen-Schnittpunkt findest du super einfach: Setze x = 0 ein, und du erhältst y = c. Das absolute Glied verrät dir also direkt diesen Schnittpunkt!

Je nach Lage der Parabel gibt es null, eine oder zwei Nullstellen. Liegt der Scheitelpunkt über der x-Achse (und öffnet sich nach oben), gibt es keine Nullstellen. Berührt die Parabel die x-Achse, gibt es genau eine Nullstelle.

💡 Clever gelöst: Bei "reinquadratischen" Gleichungen (ohne bx) kannst du einfach nach x² auflösen - das spart Zeit!

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