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Mathe1.338Aktualisiert 25. Sept. 20262 Seiten

Lernen: Quadratische Gleichungen verstehen und lösen

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Hedi@hedi_vlkb
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Quadratische Gleichungen begegnen dir in Mathe ständig - sie sehen kompliziert aus, sind aber eigentlich ganz logisch zu lösen. Je nachdem, welche Teile in der Gleichung stehen, gibt es verschiedene clevere Methoden, um die Lösungen zu finden.
Quadratische Gleichungen – Seite 1

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Arten von quadratischen Gleichungen

Jede quadratische Gleichung hat drei mögliche Bestandteile: das quadratische Glied (mit x²), das lineare Glied (mit x) und das absolute Glied (die Zahl ohne x). Bei 3x2+21x+30=03x^2 + 21x + 30 = 0 sind alle drei dabei.

Reinquadratische Gleichungen haben kein lineares Glied, also nur x² und eine Zahl: 2x2−3=02x^2 - 3 = 0 oder x2=9x^2 = 9. Die sind am einfachsten zu lösen.

Gemischtquadratische Gleichungen haben sowohl x² als auch x: 3x2+21x+30=03x^2 + 21x + 30 = 0. Hier brauchst du spezielle Tricks.

Tipp: Schau dir zuerst an, welche Teile fehlen - das verrät dir, welche Lösungsmethode am schnellsten funktioniert!

Du kannst Gleichungen mit Tabellen lösen (Werte einsetzen bis es passt) oder grafisch (Parabel und Gerade zeichnen und Schnittpunkte ablesen). Je nach Wert unter der Wurzel gibt es zwei, eine oder gar keine Lösung.

Quadratische Gleichungen – Seite 2

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Rechnerische Lösungsmethoden

Für reinquadratische Gleichungen wie 9x2−16=09x^2 - 16 = 0 stellst du einfach nach x² um und ziehst die Wurzel. Vergiss nicht: Es gibt immer eine positive UND eine negative Lösung! Also x=±43x = \pm\frac{4}{3}.

Die quadratische Ergänzung funktioniert super, wenn du eine binomische Formel basteln kannst. Bei x2+6x=−5x^2 + 6x = -5 addierst du (62)2=9(\frac{6}{2})^2 = 9 auf beiden Seiten und bekommst (x+3)2=4(x + 3)^2 = 4. Dann Wurzel ziehen und fertig!

Die pq-Formel ist dein Allzweck-Werkzeug: x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}. Bringe deine Gleichung erst in die Form x2+px+q=0x^2 + px + q = 0, dann p und q einsetzen.

Merkhilfe: Kein lineares Glied = Wurzel ziehen, kein absolutes Glied = quadratische Ergänzung, alles da = pq-Formel!

Die Strategie ist einfach: Schau, was gegeben ist, und wähle die passende Methode. Mit etwas Übung erkennst du sofort, welcher Weg der schnellste ist.

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