Grundlagen der Vektorrechnung

Vektorbetrag und Abstandsberechnung

Der Betrag eines Vektors gibt seine Länge an. Im zweidimensionalen Raum berechnen wir ihn mit $\|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$, im dreidimensionalen mit $\|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$. Dabei werden die Koordinaten quadriert, summiert und die Wurzel gezogen.

Willst du den Abstand zwischen zwei Punkten P und Q bestimmen, berechnest du den Betrag ihres Verbindungsvektors: $\|\overline{PQ}\| = \sqrt{(q_1 - p_1)^2 + (q_2 - p_2)^2 + (q_3 - p_3)^2}$. Dafür subtrahierst du die entsprechenden Koordinaten voneinander und wendest die Betragformel an.

Bei der Addition von Vektoren werden die Verschiebungen hintereinander ausgeführt, indem man die entsprechenden Koordinaten addiert. Bei der Subtraktion addierst du praktisch den Gegenvektor $-b$. Der Verbindungsvektor $\overline{PQ}$ repräsentiert die direkte Verschiebung von P nach Q.

💡 Merke: Vektorrechnung ist wie Navigation - die Addition zeigt dir den direkten Weg, wenn du zwei Strecken hintereinander gehst. Das Koordinatensystem ist dabei deine Landkarte!

Multiplikation und Vektoreigenschaften

Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl r multiplizierst du jede Koordinate mit dieser Zahl: $r \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} r \cdot a_1 \\ r \cdot a_2 \\ r \cdot a_3 \end{pmatrix}$. Positive Zahlen verlängern den Vektor, negative kehren zusätzlich seine Richtung um.

Kollineare Vektoren sind parallel zueinander und Vielfache voneinander. Um zu prüfen, ob Vektoren kollinear sind, setzt du einen als r-faches des anderen an und überprüfst, ob alle Koordinatengleichungen zur selben Lösung für r führen. Ist das der Fall, sind die Vektoren kollinear.

Für die Vektorrechnung gelten wichtige Rechengesetze:

• Das Kommutativgesetz: Die Reihenfolge bei der Addition spielt keine Rolle ($\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$)
• Das Assoziativgesetz: Die Gruppierung bei der Addition ist egal ($(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$)
• Das Distributivgesetz: $(r + s) \cdot \vec{a} = r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{a}$

🔑 Tipp: Stelle dir kollineare Vektoren wie Pfeile auf derselben Geraden vor. Wenn du einen Vektor skalierst (mit einer Zahl multiplizierst), ändert sich nur seine Länge und eventuell seine Richtung - nie aber seine Grundausrichtung!