Was sind Schnittpunkte?

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind ganz besondere Stellen deines Funktionsgraphen. Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, wo dein Graph die y-Achse berührt. Die Nullstellen sind die Punkte, wo der Graph die x-Achse schneidet.

Bei linearen Funktionen gibt's immer genau einen y-Achsenabschnitt und eine Nullstelle. Quadratische Funktionen haben auch einen y-Achsenabschnitt, aber können null, eine oder zwei Nullstellen haben.

Merktipp: y-Achse = x ist 0, x-Achse = y ist 0

Lineare Funktion - y-Achsenabschnitt

Bei linearen Funktionen der Form y = mx + b ist der y-Achsenabschnitt super einfach zu finden. Du setzt einfach x = 0 ein und rechnest aus!

Beispiel: f$x$ = 5,5x - 10

• Setze x = 0 ein: f(0) = 5,5 · 0 - 10
• Rechne aus: f(0) = 0 - 10 = -10
• Der y-Achsenabschnitt ist bei -10, also Punkt P$0|-10$

Das war's schon! Bei linearen Funktionen ist der y-Achsenabschnitt immer das konstante Glied (das "b" in der Gleichung).

Lineare Funktion - Nullstellen

Für die Nullstellen setzt du y = 0 $oder f(x) = 0$ und löst nach x auf. Das bedeutet, du stellst die Gleichung nach x um.

Beispiel: f$x$ = 5,5x - 10

• Setze f$x$ = 0: 0 = 5,5x - 10
• Löse nach x auf: 10 = 5,5x
• Teile durch 5,5: x ≈ 1,82
• Die Nullstelle liegt bei x ≈ 1,82, also Punkt P(1,82|0)

Praxis-Tipp: Immer erst +/- rechnen, dann mal/geteilt - so machst du keine Vorzeichenfehler!

Quadratische Funktion - y-Achsenabschnitt

Bei quadratischen Funktionen der Form f$x$ = ax² + px + q funktioniert der y-Achsenabschnitt genauso wie bei linearen Funktionen: x = 0 einsetzen!

Beispiel: f$x$ = 2x² - 4x - 6

• Setze x = 0 ein: f(0) = 2 · 0² - 4 · 0 - 6
• Rechne aus: f(0) = 0 - 0 - 6 = -6
• Der y-Achsenabschnitt ist bei -6, also Punkt P$0|-6$

Das konstante Glied (hier die -6) ist immer dein y-Achsenabschnitt. Easy!

Quadratische Funktion - Nullstellen mit pq-Formel

Für Nullstellen bei quadratischen Funktionen setzt du f$x$ = 0 und verwendest meist die pq-Formel: x₁/₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$

Beispiel: f$x$ = 2x² - 4x - 6

• Bringe in Normalform: x² - 2x - 3 = 0 (durch 2 geteilt)
• Erkenne p = -2 und q = -3
• Setze in pq-Formel ein: x₁/₂ = 1 ± √$1 + 3$ = 1 ± 2
• Nullstellen: x₁ = 3 und x₂ = -1, also P₁(3|0) und P₂$-1|0$

Wichtig: Parabeln können zwei, eine oder gar keine Nullstelle haben - je nachdem, was unter der Wurzel steht!

Quadratische Funktion - Nullstellen ohne pq-Formel

Manchmal geht's auch ohne pq-Formel! Wenn nur p oder nur q in der Gleichung steht, kannst du dir die Formel sparen.

Nur q-Zahl: f$x$ = x² - 25

• Setze 0: x² - 25 = 0
• Stelle um: x² = 25
• Wurzel ziehen: x₁ = 5, x₂ = -5

Nur p-Zahl: f$x$ = x² - 5x

• Klammere x aus: x$x - 5$ = 0
• Nullstellen: x₁ = 0, x₂ = 5

Diese Abkürzungen sparen dir Zeit in der Klassenarbeit!