Ableitungen und Steigungen verstehen

Symmetrieeigenschaften und Differenzenquotient

Achsensymmetrie zur y-Achse erkennst du daran, dass f$x$ = f$-x$ gilt. Das heißt: Egal ob du 3 oder -3 einsetzt, das Ergebnis bleibt gleich. Bei x² funktioniert das perfekt - probier's mal aus!

Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn f$-x$ = -f$x$ ist. Hier kehrt sich das Vorzeichen um, wie bei der Funktion f$x$ = x.

Bei Funktionen 0. und 1. Grades ist die Steigung konstant. Du berechnest sie mit dem Differenzenquotienten: m = $y₂ - y₁$/$x₂ - x₁$. Bei allen anderen Funktionen gibt dir diese Formel nur die mittlere Steigung zwischen zwei Punkten.

Tipp: Zeichne dir die Funktionen auf - so siehst du die Symmetrien sofort!

Steigung an einer Stelle und Ableitungsfunktion

Die exakte Steigung an einem bestimmten Punkt bekommst du nur über die Tangentensteigung. Der Differenzenquotient gibt dir ja nur ungefähre Werte.

Dafür brauchst du den Grenzwert des Differentialquotienten: f'(x₀) = lim[h→0] $f(x₀+h) - f(x₀)$/h. Die h-Methode ist meist einfacher zu rechnen als die andere Variante.

Die Ableitungsfunktion f'$x$ ist mega praktisch: Sie zeigt dir die Steigung für jeden x-Wert an. Du kannst sie graphisch ableiten oder mit dem Differentialquotienten berechnen.

Merke dir: Die Ableitung ist wie ein Geschwindigkeitsmesser für Funktionen!

Ableitungsregeln

Zum Glück musst du nicht immer mit Grenzwerten rechnen! Die Ableitungsregeln machen alles viel schneller.

Potenzregel: f$x$ = xⁿ ⟹ f'$x$ = n·xⁿ⁻¹. Beispiel: x³ wird zu 3x².

Summenregel: Ableitungen werden einfach addiert oder subtrahiert. Faktorregel: Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten.

Das Beispiel zeigt's: f$x$ = 3/√x + 7x wird zu f'$x$ = 3·$-0,5$·x⁻¹'⁵ + 7. Du schreibst erst alles als Potenz um, dann wendest du die Regeln an.

Übung macht den Meister: Diese Regeln musst du automatisieren - dann läuft's in der Klausur!