Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind zwei wichtige Eigenschaften von Funktionen, die...
Mathe1.848 aufrufe·Aktualisiert 11. Aug. 2026·2 SeitenGrundlagen von Stetigkeit und Differenzierbarkeit
mattea@mattteaaaa
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Stetigkeit - Keine Sprünge erlaubt!
Stell dir vor, du zeichnest eine Funktion mit einem Stift, ohne ihn vom Papier zu nehmen. Wenn das klappt, ist die Funktion stetig. Bei abschnittsweise definierten Funktionen musst du besonders an den Übergangsstellen aufpassen.
Eine Funktion ist stetig, wenn sich die Funktionswerte von links und rechts an derselben Stelle demselben Wert nähern. Das schreibst du mathematisch als: .
Schauen wir uns ein Beispiel an: Bei prüfst du an der Übergangsstelle . Von links kommend: , von rechts kommend: . Perfekt - die Funktion ist stetig!
Merktipp: Stetig = sprungfrei. Wenn du den Graphen ohne Absetzen zeichnen kannst, ist alles gut!
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Differenzierbarkeit - Keine Knicke erlaubt!
Differenzierbarkeit geht einen Schritt weiter als Stetigkeit. Hier darf die Funktion nicht nur keine Sprünge haben, sondern auch keine Knicke. An jedem Punkt muss eine eindeutige Tangente existieren.
Mathematisch prüfst du das mit dem Differenzenquotienten: . Die Steigung von links und rechts muss gleich sein.
Bei unserem Beispiel berechnest du die Ableitungen: Links , also . Rechts . Beide Steigungen sind gleich - kein Knick vorhanden!
Wichtig: Jede differenzierbare Funktion ist automatisch stetig, aber nicht umgekehrt!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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