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Mathematik

Stetigkeit und Unstetigkeiten von Funktionen

Differenzierbarkeit

Mathe1.939Aktualisiert 17. Sept. 20262 Seiten

Grundlagen von Stetigkeit und Differenzierbarkeit

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Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind zwei wichtige Eigenschaften von Funktionen, die du für dein Abi unbedingt draufhaben musst. Diese Konzepte helfen dir zu verstehen, wie "glatt" eine Funktion verläuft - ob sie Sprünge oder Knicke hat.
Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen – Seite 1

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Stetigkeit - Keine Sprünge erlaubt!

Stell dir vor, du zeichnest eine Funktion mit einem Stift, ohne ihn vom Papier zu nehmen. Wenn das klappt, ist die Funktion stetig. Bei abschnittsweise definierten Funktionen musst du besonders an den Übergangsstellen aufpassen.

Eine Funktion ist stetig, wenn sich die Funktionswerte von links und rechts an derselben Stelle demselben Wert nähern. Das schreibst du mathematisch als: lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).

Schauen wir uns ein Beispiel an: Bei f(x)={x2fu¨r x≤1xfu¨r x>1f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{für } x \le 1\\ x & \text{für } x > 1 \end{cases} prüfst du an der Übergangsstelle x0=1x_0 = 1. Von links kommend: 12=11^2 = 1, von rechts kommend: 1=11 = 1. Perfekt - die Funktion ist stetig!

Merktipp: Stetig = sprungfrei. Wenn du den Graphen ohne Absetzen zeichnen kannst, ist alles gut!

Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen – Seite 2

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Differenzierbarkeit - Keine Knicke erlaubt!

Differenzierbarkeit geht einen Schritt weiter als Stetigkeit. Hier darf die Funktion nicht nur keine Sprünge haben, sondern auch keine Knicke. An jedem Punkt muss eine eindeutige Tangente existieren.

Mathematisch prüfst du das mit dem Differenzenquotienten: lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0). Die Steigung von links und rechts muss gleich sein.

Bei unserem Beispiel f(x)={x2fu¨r x≤12x−1fu¨r x>1f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{für } x \le 1 \\ 2x - 1 & \text{für } x > 1 \end{cases} berechnest du die Ableitungen: Links f′(x)=2xf'(x) = 2x, also f′(1)=2f'(1) = 2. Rechts f′(x)=2f'(x) = 2. Beide Steigungen sind gleich - kein Knick vorhanden!

Wichtig: Jede differenzierbare Funktion ist automatisch stetig, aber nicht umgekehrt!

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