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Stetigkeit und Unstetigkeiten von Funktionen

Differenzierbarkeit

MatheMathe1,845 aufrufe·Aktualisiert Jun 7, 2026·2 Seiten

Grundlagen von Stetigkeit und Differenzierbarkeit

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mattea@mattteaaaa

Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind zwei wichtige Eigenschaften von Funktionen, die... Mehr anzeigen

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# STETIGKEIT Aus dem Bereich der Trassierung stetig (=sprung(rei) nicht Stetig (nicht sprung frei) nicht definiert xo entspricht der

Stetigkeit - Keine Sprünge erlaubt!

Stell dir vor, du zeichnest eine Funktion mit einem Stift, ohne ihn vom Papier zu nehmen. Wenn das klappt, ist die Funktion stetig. Bei abschnittsweise definierten Funktionen musst du besonders an den Übergangsstellen aufpassen.

Eine Funktion ist stetig, wenn sich die Funktionswerte von links und rechts an derselben Stelle demselben Wert nähern. Das schreibst du mathematisch als: lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).

Schauen wir uns ein Beispiel an: Bei f(x)={x2fu¨r x≤1 xfu¨r x>1f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{für } x \le 1\ x & \text{für } x > 1 \end{cases} prüfst du an der Übergangsstelle x0=1x_0 = 1. Von links kommend: 12=11^2 = 1, von rechts kommend: (1 = 1). Perfekt - die Funktion ist stetig!

Merktipp: Stetig = sprungfrei. Wenn du den Graphen ohne Absetzen zeichnen kannst, ist alles gut!

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# STETIGKEIT Aus dem Bereich der Trassierung stetig (=sprung(rei) nicht Stetig (nicht sprung frei) nicht definiert xo entspricht der

Differenzierbarkeit - Keine Knicke erlaubt!

Differenzierbarkeit geht einen Schritt weiter als Stetigkeit. Hier darf die Funktion nicht nur keine Sprünge haben, sondern auch keine Knicke. An jedem Punkt muss eine eindeutige Tangente existieren.

Mathematisch prüfst du das mit dem Differenzenquotienten: lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0). Die Steigung von links und rechts muss gleich sein.

Bei unserem Beispiel f(x)={x2fu¨r x≤1 2x−1fu¨r x>1f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{für } x \le 1 \ 2x - 1 & \text{für } x > 1 \end{cases} berechnest du die Ableitungen: Links f′(x)=2xf'(x) = 2x, also f′(1)=2f'(1) = 2. Rechts f′(x)=2f'(x) = 2. Beide Steigungen sind gleich - kein Knick vorhanden!

Wichtig: Jede differenzierbare Funktion ist automatisch stetig, aber nicht umgekehrt!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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Beliebtester Inhalt: Differenzierbarkeit

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Beliebtester Inhalt in Mathe

9

Beliebtester Inhalt

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4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

AnnaiOS-Nutzerin

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Stetigkeit und Unstetigkeiten von Funktionen

Differenzierbarkeit

MatheMathe1,845 aufrufe·Aktualisiert Jun 7, 2026·2 Seiten

Grundlagen von Stetigkeit und Differenzierbarkeit

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mattea@mattteaaaa

Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind zwei wichtige Eigenschaften von Funktionen, die du für dein Abi unbedingt draufhaben musst. Diese Konzepte helfen dir zu verstehen, wie "glatt" eine Funktion verläuft - ob sie Sprünge oder Knicke hat.

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Stetigkeit - Keine Sprünge erlaubt!

Stell dir vor, du zeichnest eine Funktion mit einem Stift, ohne ihn vom Papier zu nehmen. Wenn das klappt, ist die Funktion stetig. Bei abschnittsweise definierten Funktionen musst du besonders an den Übergangsstellen aufpassen.

Eine Funktion ist stetig, wenn sich die Funktionswerte von links und rechts an derselben Stelle demselben Wert nähern. Das schreibst du mathematisch als: lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).

Schauen wir uns ein Beispiel an: Bei f(x)={x2fu¨r x≤1 xfu¨r x>1f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{für } x \le 1\ x & \text{für } x > 1 \end{cases} prüfst du an der Übergangsstelle x0=1x_0 = 1. Von links kommend: 12=11^2 = 1, von rechts kommend: (1 = 1). Perfekt - die Funktion ist stetig!

Merktipp: Stetig = sprungfrei. Wenn du den Graphen ohne Absetzen zeichnen kannst, ist alles gut!

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# STETIGKEIT Aus dem Bereich der Trassierung stetig (=sprung(rei) nicht Stetig (nicht sprung frei) nicht definiert xo entspricht der

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Differenzierbarkeit - Keine Knicke erlaubt!

Differenzierbarkeit geht einen Schritt weiter als Stetigkeit. Hier darf die Funktion nicht nur keine Sprünge haben, sondern auch keine Knicke. An jedem Punkt muss eine eindeutige Tangente existieren.

Mathematisch prüfst du das mit dem Differenzenquotienten: lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0). Die Steigung von links und rechts muss gleich sein.

Bei unserem Beispiel f(x)={x2fu¨r x≤1 2x−1fu¨r x>1f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{für } x \le 1 \ 2x - 1 & \text{für } x > 1 \end{cases} berechnest du die Ableitungen: Links f′(x)=2xf'(x) = 2x, also f′(1)=2f'(1) = 2. Rechts f′(x)=2f'(x) = 2. Beide Steigungen sind gleich - kein Knick vorhanden!

Wichtig: Jede differenzierbare Funktion ist automatisch stetig, aber nicht umgekehrt!

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Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.

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Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

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