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15. Dez. 2025

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Einführung in die Stochastik

A

Annabell

@annabelltheisen

Stochastik kann echt kompliziert sein, aber wenn du die Grundlagen... Mehr anzeigen

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# Berechnung der Trefferwahrscheinlichkeit p x: Anzahl fehlerhafter Stücke (binomialverteilt) n=100 k≤10 $P(X≤10) ≥ 0,8$ → gesucht ist d

Trefferwahrscheinlichkeit und Binomialverteilung

Du kennst das Problem: Du hast eine Stichprobe und willst wissen, wie wahrscheinlich bestimmte Ergebnisse sind. Bei der Berechnung der Trefferwahrscheinlichkeit p arbeitest du mit der Binomialverteilung.

Das Wichtigste zuerst: Definiere immer deine Zufallsvariable x! Zum Beispiel "x: Anzahl fehlerhafter Stücke". Dann stellst du die Ungleichung auf, wie P(X≤10) ≥ 0,8, und suchst das größte p.

Mit dem GTR (Graphischer Taschenrechner) verwendest du den Befehl BinCD. Die Tabellenfunktion zeigt dir schnell die Werte - bei p=0,08 kriegst du P(X≤10) = 0,8243, bei p=0,09 nur noch 0,748.

Merkhilfe: Prüfe immer, ob du wirklich das kleinste k oder größte p gefunden hast! Vergiss nie den Antwortsatz mit korrekter Interpretation.

# Berechnung der Trefferwahrscheinlichkeit p x: Anzahl fehlerhafter Stücke (binomialverteilt) n=100 k≤10 $P(X≤10) ≥ 0,8$ → gesucht ist d

Hypothesentests: Links- oder rechtsseitig?

Die Entscheidung zwischen linkseitigem und rechtsseitigem Test ist eigentlich simpel! Du hast zwei bewährte Methoden zur Auswahl.

Bei der ersten Methode achtest du auf die Wörter "mindestens" oder "höchstens". Glaubst du, dass p₀ zu groß ist, machst du einen linksseitigen Test. Bei "höchstens" in der Nullhypothese, aber du vermutest p₀ ist zu klein? Dann rechtsseitig!

Noch einfacher ist die Erwartungswert-Methode: Berechne μ = n·p. Ist deine zu prüfende Anzahl kleiner als μ → linksseitiger Test. Ist sie größer → rechtsseitiger Test.

Fehler beim Testen passieren jedem. Fehler 1. Art bedeutet: Du verwirfst H₀, obwohl sie stimmt. Fehler 2. Art: Du behältst H₀, obwohl sie falsch ist. Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist die Chance, dass du H₀ fälschlicherweise verwirfst.

Tipp: Bei p=0,5 ist das Histogramm immer symmetrisch - das hilft dir bei der Zuordnung von Binomialverteilungen!

# Berechnung der Trefferwahrscheinlichkeit p x: Anzahl fehlerhafter Stücke (binomialverteilt) n=100 k≤10 $P(X≤10) ≥ 0,8$ → gesucht ist d

Stetige Verteilungen und Integrale

Jetzt wird's richtig interessant! Bei stetigen Zufallsgrößen kannst du nicht mehr einzelne Werte betrachten, sondern nur noch Intervalle. Die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert ist immer 0!

Die Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) f(x) ist dein neues Werkzeug. Sie muss zwei Bedingungen erfüllen: f(x) ≥ 0 für alle x, und das Integral über den gesamten Bereich ergibt 1.

Wahrscheinlichkeiten berechnest du jetzt durch Integration: P(c ≤ X ≤ d) = ∫f(x)dx von c bis d. Das ist wie die Fläche unter der Kurve zwischen den Grenzen c und d.

Für Erwartungswert und Standardabweichung brauchst du neue Formeln: μ = ∫x·f(x)dx und σ = √∫x−μx-μ²·f(x)dx. Die sehen komplizierter aus, funktionieren aber nach dem gleichen Prinzip.

Wichtig: Anders als bei diskreten Verteilungen sind die Funktionswerte f(x) keine Wahrscheinlichkeiten mehr, sondern Dichten!

# Berechnung der Trefferwahrscheinlichkeit p x: Anzahl fehlerhafter Stücke (binomialverteilt) n=100 k≤10 $P(X≤10) ≥ 0,8$ → gesucht ist d

Normalverteilung meistern

Die Normalverteilung ist der Star unter den Verteilungen! Die Standard-Glockenfunktion φ(x) = (1/√(2π))·e^−x2/2-x²/2 kennzeichnet diese berühmte Glockenform, die du bestimmt schon mal gesehen hast.

Die allgemeine Gauß'sche Glockenfunktion φμ,σ(x) passt sich durch die Parameter μ (Erwartungswert) und σ (Standardabweichung) an jeden Sachverhalt an. Das Maximum liegt bei x = μ, die Wendestellen bei x = μ ± σ.

Für Wahrscheinlichkeitsberechnungen brauchst du die Gauß'sche Integralfunktion Φ Groß−PhiGroß-Phi. Sie gibt dir die Fläche links von einer bestimmten Stelle an. Wegen der Symmetrie gilt: Φ−x-x = 1 - Φ(x).

Mit dem GTR wird alles viel einfacher: 5 GRAPH → OPTN → F6 → F3 STAT → F5 DIST → F1 NORM. Dann den passenden Befehl eingeben und DRAW drücken.

Praxistipp: Die Normalverteilung approximiert Binomialverteilungen bei großen n-Werten super gut - das spart dir in der Klausur viel Zeit!

# Berechnung der Trefferwahrscheinlichkeit p x: Anzahl fehlerhafter Stücke (binomialverteilt) n=100 k≤10 $P(X≤10) ≥ 0,8$ → gesucht ist d
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Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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521

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15. Dez. 2025

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Einführung in die Stochastik

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Annabell

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Stochastik kann echt kompliziert sein, aber wenn du die Grundlagen der Binomialverteilung und Normalverteilung verstehst, meisterst du jede Klausur! Hier lernst du, wie du Wahrscheinlichkeiten berechnest und statistische Tests durchführst.

# Berechnung der Trefferwahrscheinlichkeit p x: Anzahl fehlerhafter Stücke (binomialverteilt) n=100 k≤10 $P(X≤10) ≥ 0,8$ → gesucht ist d

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Trefferwahrscheinlichkeit und Binomialverteilung

Du kennst das Problem: Du hast eine Stichprobe und willst wissen, wie wahrscheinlich bestimmte Ergebnisse sind. Bei der Berechnung der Trefferwahrscheinlichkeit p arbeitest du mit der Binomialverteilung.

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Hypothesentests: Links- oder rechtsseitig?

Die Entscheidung zwischen linkseitigem und rechtsseitigem Test ist eigentlich simpel! Du hast zwei bewährte Methoden zur Auswahl.

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Noch einfacher ist die Erwartungswert-Methode: Berechne μ = n·p. Ist deine zu prüfende Anzahl kleiner als μ → linksseitiger Test. Ist sie größer → rechtsseitiger Test.

Fehler beim Testen passieren jedem. Fehler 1. Art bedeutet: Du verwirfst H₀, obwohl sie stimmt. Fehler 2. Art: Du behältst H₀, obwohl sie falsch ist. Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist die Chance, dass du H₀ fälschlicherweise verwirfst.

Tipp: Bei p=0,5 ist das Histogramm immer symmetrisch - das hilft dir bei der Zuordnung von Binomialverteilungen!

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Stetige Verteilungen und Integrale

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Für Erwartungswert und Standardabweichung brauchst du neue Formeln: μ = ∫x·f(x)dx und σ = √∫x−μx-μ²·f(x)dx. Die sehen komplizierter aus, funktionieren aber nach dem gleichen Prinzip.

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Der zerbrochene Krug: Analyse

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Neurobiologie: Synapsen & Aktionspotentiale

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

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Zusammenfassung Schreiben

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Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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