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Mathe

10. Dez. 2025

1.406

5 Seiten

Einführung in Stochastik: Wahrscheinlichkeiten und Kombinatorik

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Sarah @sarah_lsdi

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik sind überall in deinem Alltag - vom Lottospielen bis hin zu fairen Spielen auf dem... Mehr anzeigen

Q3-Klausur 1
Begriffe 1 Definitionen
elc
Ergebnisraum = {A₁ Ã} = alle möglichen Ausgänge des Experiments
Ergebnis
ein möglicher Ausgang eine

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit

Du kennst das bestimmt Du wartest auf ein Paket und fragst dich, ob es heute ankommt. Genau solche Situationen beschreibt die Wahrscheinlichkeitsrechnung! Der Ergebnisraum Ω enthält alle möglichen Ausgänge - beim Paket wäre das angekommen, mitgenommen oder noch nicht da.

Das Gesetz der großen Zahlen zeigt dir, warum Statistiken bei großen Umfragen genauer werden. Je öfter du ein Experiment wiederholst, desto näher kommst du dem echten Wahrscheinlichkeitswert. Würfelst du nur 10 Mal, kann alles Mögliche passieren - bei 1000 Würfen wird das Ergebnis viel verlässlicher.

Bei Laplace-Experimenten wie dem Würfeln sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Formel P(E) = |E|/|Ω| hilft dir dann super Günstige Ergebnisse geteilt durch alle möglichen Ergebnisse. Beim Würfeln einer geraden Zahl wären das 3/6 = 1/2.

Merktipp Ereignis und Gegenereignis ergeben zusammen immer 1 (100%)!

Q3-Klausur 1
Begriffe 1 Definitionen
elc
Ergebnisraum = {A₁ Ã} = alle möglichen Ausgänge des Experiments
Ergebnis
ein möglicher Ausgang eine

Mehrstufige Experimente und Baumdiagramme

Stell dir vor, du ziehst zweimal hintereinander eine Socke aus der Schublade - das ist ein mehrstufiges Experiment! Mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten gleich, ohne Zurücklegen ändern sie sich nach jedem Zug.

Die wichtigste Regel Innerhalb eines Pfades multiplizierst du, zwischen verschiedenen Pfaden addierst du. Das Baumdiagramm ist dein bester Freund - es zeigt dir alle möglichen Wege übersichtlich auf.

Ein cleverer Trick bei komplexeren Aufgaben Erstelle ein vereinfachtes Baumdiagramm mit nur zwei Ästen (z.B. "rot" und "nicht rot"). Das spart dir oft viel Rechenarbeit und Verwirrung.

Faire Spiele erkennst du an der Formel Einsatz - (Wahrscheinlichkeit × Gewinn) = 0. Ist das Ergebnis größer null, verlierst du auf Dauer Geld!

Praxistipp Bei Sockenproblemen lohnt sich fast immer das vereinfachte Baumdiagramm mit nur dem gesuchten Merkmal.

Q3-Klausur 1
Begriffe 1 Definitionen
elc
Ergebnisraum = {A₁ Ã} = alle möglichen Ausgänge des Experiments
Ergebnis
ein möglicher Ausgang eine

Kombinatorik - Zählen wie ein Profi

Wie viele Outfit-Kombinationen hast du mit 5 Hosen, 3 T-Shirts und 4 Jacken? Ganz einfach 5 × 3 × 4 = 60! Das ist die Produktregel - sie funktioniert immer, wenn die Stufen unabhängig voneinander sind.

Mit Reihenfolge und Zurücklegen Beim Zahlenschloss mit n Möglichkeiten pro Stelle verwendest du n^k. Ohne Zurücklegen Beim 800m-Lauf mit 8 Läufern gibt es 8! = 40.320 mögliche Reihenfolgen für alle Plätze, aber nur 8×7×6 = 336 für die ersten drei Plätze.

Ohne Reihenfolge (wie beim Lotto) nutzt du die Binomialkoeffizienten (n über k). Hier ist es egal, in welcher Reihenfolge du die Zahlen ziehst - 6 aus 49 bleibt 6 aus 49.

Die Wahl der richtigen Formel entscheidet alles Ist die Reihenfolge wichtig? Legst du zurück oder nicht?

Eselsbrücke Je mehr Einschränkungen (keine Reihenfolge, kein Zurücklegen), desto weniger Möglichkeiten hast du!

Q3-Klausur 1
Begriffe 1 Definitionen
elc
Ergebnisraum = {A₁ Ã} = alle möglichen Ausgänge des Experiments
Ergebnis
ein möglicher Ausgang eine

Das Lottomodell verstehen

Beim Lotto 6 aus 49 gibt es genau (49 über 6) = 13.983.816 mögliche Kombinationen - deshalb ist ein Sechser so unwahrscheinlich! Aber wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für genau 4 Richtige?

Du teilst das Problem auf 4 Richtige aus den 6 gezogenen Zahlen UND 2 Falsche aus den 43 nicht gezogenen Zahlen. Das rechnest du mit (6 über 4) × (43 über 2) und teilst durch alle möglichen Kombinationen.

Diese Methode funktioniert auch bei anderen Problemen 1000 Schrauben mit 2% Ausschuss, du ziehst 10 Stück - wie wahrscheinlich ist eine defekte dabei? Genauso aufteilen defekte aus defekten, intakte aus intakten.

Das Lottomodell ist überall Qualitätskontrolle, Umfragen, Medizintests. Du rechnest immer "Erfolg aus Erfolgen" mal "Misserfolg aus Misserfolgen".

Realitätscheck Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige liegt bei etwa 114 Millionen - du hast eine höhere Chance, vom Blitz getroffen zu werden!

Q3-Klausur 1
Begriffe 1 Definitionen
elc
Ergebnisraum = {A₁ Ã} = alle möglichen Ausgänge des Experiments
Ergebnis
ein möglicher Ausgang eine

Kombinatorik-Formeln im Überblick

Ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen - das klassische Lotto-Prinzip Du greifst "mit einem Griff" in die Lostrommel. Hier verwendest du immer (n über k). Bei 5 Richtigen im Lotto (6 über 5) × (43 über 1) mögliche Kombinationen.

Mit Reihenfolge, mit Zurücklegen - wie beim Zahlenschloss Jede Stelle kann jede Ziffer von 0-9 haben, völlig unabhängig. Formel n^k. Bei 3 Stellen mit Ziffern 0-5 sind das 6³ = 216 Möglichkeiten.

Mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen - Pferderennen oder Klassensprecherwahl Erst Platz 1, dann Platz 2, dann Platz 3, aber jedes Pferd nur einmal. Formel n!/nkn-k! Alle 9 Pferde auf alle Plätze 9!, nur Top 3 9×8×7.

Die Kunst liegt darin, die richtige Situation zu erkennen. KFZ-Kennzeichen mit 2 Buchstaben, 2 Ziffern, 1 Buchstabe? Jede Position ist unabhängig 26² × 10² × 26.

Faustregel Stelle dir die Situation konkret vor - ziehst du alles auf einmal oder Schritt für Schritt? Das hilft bei der Formelwahl!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit

Du kennst das bestimmt: Du wartest auf ein Paket und fragst dich, ob es heute ankommt. Genau solche Situationen beschreibt die Wahrscheinlichkeitsrechnung! Der Ergebnisraum Ω enthält alle möglichen Ausgänge - beim Paket wäre das: angekommen, mitgenommen oder noch nicht da.

Das Gesetz der großen Zahlen zeigt dir, warum Statistiken bei großen Umfragen genauer werden. Je öfter du ein Experiment wiederholst, desto näher kommst du dem echten Wahrscheinlichkeitswert. Würfelst du nur 10 Mal, kann alles Mögliche passieren - bei 1000 Würfen wird das Ergebnis viel verlässlicher.

Bei Laplace-Experimenten wie dem Würfeln sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Formel P(E) = |E|/|Ω| hilft dir dann super: Günstige Ergebnisse geteilt durch alle möglichen Ergebnisse. Beim Würfeln einer geraden Zahl wären das 3/6 = 1/2.

Merktipp: Ereignis und Gegenereignis ergeben zusammen immer 1 (100%)!

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Stell dir vor, du ziehst zweimal hintereinander eine Socke aus der Schublade - das ist ein mehrstufiges Experiment! Mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten gleich, ohne Zurücklegen ändern sie sich nach jedem Zug.

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Ein cleverer Trick bei komplexeren Aufgaben: Erstelle ein vereinfachtes Baumdiagramm mit nur zwei Ästen (z.B. "rot" und "nicht rot"). Das spart dir oft viel Rechenarbeit und Verwirrung.

Faire Spiele erkennst du an der Formel: Einsatz - (Wahrscheinlichkeit × Gewinn) = 0. Ist das Ergebnis größer null, verlierst du auf Dauer Geld!

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Mit Reihenfolge und Zurücklegen: Beim Zahlenschloss mit n Möglichkeiten pro Stelle verwendest du n^k. Ohne Zurücklegen: Beim 800m-Lauf mit 8 Läufern gibt es 8! = 40.320 mögliche Reihenfolgen für alle Plätze, aber nur 8×7×6 = 336 für die ersten drei Plätze.

Ohne Reihenfolge (wie beim Lotto) nutzt du die Binomialkoeffizienten: (n über k). Hier ist es egal, in welcher Reihenfolge du die Zahlen ziehst - 6 aus 49 bleibt 6 aus 49.

Die Wahl der richtigen Formel entscheidet alles: Ist die Reihenfolge wichtig? Legst du zurück oder nicht?

Eselsbrücke: Je mehr Einschränkungen (keine Reihenfolge, kein Zurücklegen), desto weniger Möglichkeiten hast du!

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Beim Lotto 6 aus 49 gibt es genau (49 über 6) = 13.983.816 mögliche Kombinationen - deshalb ist ein Sechser so unwahrscheinlich! Aber wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für genau 4 Richtige?

Du teilst das Problem auf: 4 Richtige aus den 6 gezogenen Zahlen UND 2 Falsche aus den 43 nicht gezogenen Zahlen. Das rechnest du mit (6 über 4) × (43 über 2) und teilst durch alle möglichen Kombinationen.

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Kombinatorik-Formeln im Überblick

Ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen - das klassische Lotto-Prinzip: Du greifst "mit einem Griff" in die Lostrommel. Hier verwendest du immer (n über k). Bei 5 Richtigen im Lotto: (6 über 5) × (43 über 1) mögliche Kombinationen.

Mit Reihenfolge, mit Zurücklegen - wie beim Zahlenschloss: Jede Stelle kann jede Ziffer von 0-9 haben, völlig unabhängig. Formel: n^k. Bei 3 Stellen mit Ziffern 0-5 sind das 6³ = 216 Möglichkeiten.

Mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen - Pferderennen oder Klassensprecherwahl: Erst Platz 1, dann Platz 2, dann Platz 3, aber jedes Pferd nur einmal. Formel: n!/nkn-k! Alle 9 Pferde auf alle Plätze: 9!, nur Top 3: 9×8×7.

Die Kunst liegt darin, die richtige Situation zu erkennen. KFZ-Kennzeichen mit 2 Buchstaben, 2 Ziffern, 1 Buchstabe? Jede Position ist unabhängig: 26² × 10² × 26.

Faustregel: Stelle dir die Situation konkret vor - ziehst du alles auf einmal oder Schritt für Schritt? Das hilft bei der Formelwahl!

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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