Bedingte Wahrscheinlichkeit und Grundlagen

Bedingte Wahrscheinlichkeit ist eigentlich ganz logisch: Wie wahrscheinlich ist B, wenn A schon eingetreten ist? Die Formel P(B|A) = P(A∩B)/P(A) sagt dir genau das.

Der Satz von Bayes dreht das Ganze um: P(B|A) = P(B)·P(A|B)/P(A). Das brauchst du, wenn du "rückwärts" rechnen willst - super nützlich bei Testaufgaben!

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn P(A)·P(B) = P(A∩B) gilt. Falls nicht, sind sie abhängig. Bei Glücksspielen definierst du eine Zufallsvariable X und berechnest den Erwartungswert μ - das ist dein durchschnittlicher Gewinn oder Verlust.

Merktipp: Bei fairen Glücksspielen entspricht dein Einsatz genau dem Erwartungswert!

Die Varianz V(X) und Standardabweichung σ zeigen dir, wie stark die Ergebnisse um den Erwartungswert schwanken. Je größer σ, desto unvorhersagbarer das Spiel.

Binomialkoeffizient und Binomialverteilung

Der Binomialkoeffizient (n über k) zeigt dir, auf wie viele Arten du k Objekte aus n auswählen kannst. Die Formel C(n,k) = n!/$n-k$!k! sieht kompliziert aus, aber mit dem Taschenrechner ist's easy.

Eine Bernoulli-Kette hat nur zwei mögliche Ausgänge - wie Münzwurf oder "Lampe an/aus". Die Binomialverteilung beschreibt dann, wie wahrscheinlich k Treffer bei n Versuchen sind.

Die Bernoulli-Formel P$X=k$ = C(n,k)·p^k·$1-p$^$n-k$ ist dein Werkzeug für exakte Berechnungen. Für "höchstens", "mindestens" oder "zwischen" Aufgaben nutzt du die kumulierte Binomialverteilung.

Praxistipp: "Höchstens 8" = P(X≤8), "mindestens 8" = 1-P(X≤7), "mehr als 8" = 1-P(X≤8)

Erweiterte Anwendungen und Sigma-Regeln

Wenn n gesucht ist, stellst du Ungleichungen auf und löst sie schrittweise - oft brauchst du den Logarithmus, weil P als Potenz vorkommt. Das Aufrunden nicht vergessen, da n eine ganze Zahl sein muss!

Histogramme visualisieren deine Binomialverteilung. Bei großem n und p um 0,5 wird die Verteilung schön symmetrisch um den Erwartungswert μ.

Die Sigma-Regeln sind mega praktisch: Mit 95%iger Wahrscheinlichkeit liegen deine Ergebnisse im 1,96σ-Intervall um μ. Das bedeutet: Liegt dein Stichprobenergebnis außerhalb, ist entweder ein seltener Zufall passiert oder p hat sich geändert.

Klausurtipp: 90% → 1,64σ, 95% → 1,96σ, 99% → 2,58σ - diese Werte solltest du auswendig können!

Je symmetrischer deine Verteilung, desto genauer funktionieren die Sigma-Intervalle. Das Intervall darf aber nicht zu groß sein, sonst "fängst" du auch die krassen Ausreißer ein.