TMS Vorbereitung: Quantitative/Formale Probleme Lernzettel

Grundrechenarten & Einheiten

Das kleine Einmaleins solltest du wirklich im Schlaf können – es spart dir in Klausuren unglaublich viel Zeit! Bei der schriftlichen Multiplikation hilft dir die "gegenläufige Kommaverschiebung": 3500 · 0,02 wird zu 35 · 2.

Beim schriftlichen Dividieren gehst du Schritt für Schritt vor. Falls eine Zahl nicht passt, ziehst du die nächste Ziffer runter. Wenn das Komma über zwei Stellen in der Lösung wandert, setzt du es dort.

Die wichtigsten Umrechnungen sind: 1 Tonne = 1000 kg, 1l = 1 dm³, 1ml = 1cm³. Von m/s zu km/h multiplizierst du mit 3,6, umgekehrt teilst du durch 3,6.

Quadratzahlen von 1² bis 20² solltest du auswendig können. Sie helfen dir bei vielen Aufgaben enorm weiter!

Merktipp: Minus × Minus = Plus – diese Regel gilt bei allen Rechenarten!

Wurzeln & Potenzen

Wurzelziehen ist das Gegenteil vom Quadrieren. √16 = 4, weil 4² = 16. Die wichtigsten Wurzelwerte bis √400 = 20 solltest du drauf haben.

Bei den Zweierpotenzen (2⁰ bis 2¹¹) siehst du schnell das Muster: Jede Potenz verdoppelt sich. 2¹⁰ = 1024 ist besonders wichtig in der Informatik!

Negative Basen funktionieren so: $-x$ⁿ mit geradem n ergibt xⁿ, mit ungeradem n ergibt -xⁿ. Also $-2$² = 4, aber $-2$³ = -8.

Negative Exponenten drehen den Bruch um: x⁻ⁿ = 1/xⁿ. Das bedeutet 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

Wichtig: Diese Grundlagen brauchst du später für komplexere Funktionen!

Potenzgesetze

Bei gleicher Basis addierst du beim Multiplizieren die Exponenten: x^a · x^b = x^$a+b$. Beim Dividieren subtrahierst du sie: x^a / x^b = x^$a-b$.

Potenzierung von Potenzen: $x^a$^b = x^(a·b). Also (2³)² = 2⁶, nicht 2⁹!

Bei gleichem Exponenten kannst du die Basen zusammenfassen: a^n · b^n = (ab)^n. Das gilt auch für Division: a^n / b^n = (a/b)^n.

Achtung bei Addition! Hier funktionieren die Potenzgesetze nicht. Du kannst nur x^n + x^n = 2x^n rechnen, wenn Basis und Exponent identisch sind.

Gebrochene Exponenten bedeuten Wurzeln: a^(n/m) = ᵐ√(aⁿ).

Häufiger Fehler: Die Potenzgesetze gelten NICHT für Addition und Subtraktion!

Bruchrechnung

Diese Grundbrüche solltest du sofort als Dezimalzahl und Prozent erkennen: 1/2 = 0,5 = 50%, 1/4 = 0,25 = 25%, 3/4 = 0,75 = 75%. Das spart Zeit in Klausuren!

Echte Brüche haben einen kleineren Zähler als Nenner, unechte Brüche einen größeren. Gemischte Brüche wie 2¾ bestehen aus einer ganzen Zahl plus einem Bruch.

Bei Addition und Subtraktion brauchst du den gleichen Nenner, dann addierst/subtrahierst du nur die Zähler. Bei Multiplikation rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

Division funktioniert durch Multiplikation mit dem Kehrbruch. Also 2/7 : 4/3 = 2/7 · 3/4 = 6/28 = 3/14.

Tipp: Kürze vor dem Rechnen, das macht die Zahlen kleiner und Fehler unwahrscheinlicher!

Brüche potenzieren & Funktionstypen

Brüche potenzieren ist einfach: Du potenzierst Zähler und Nenner getrennt. $3/4$² = 3²/4² = 9/16. Das gleiche Prinzip gilt bei Wurzeln!

Häufige Fehler bei Brüchen: $X+Y$/Z = X/Z + Y/Z ist richtig, aber (X·Y)/Z ≠ X/Z · Y/Z! Stattdessen gilt: (X·Y)/Z = X/Z · Y = X · Y/Z.

Lineares Wachstum bedeutet konstante Änderungsrate – in gleichen Zeitabständen kommt die gleiche Menge dazu. Das ergibt eine Gerade mit positiver Steigung.

Direkte Proportionalität ist ein Spezialfall der linearen Funktion und muss immer durch den Ursprung gehen. Indirekte Proportionalität ergibt eine Hyperbel.

Merke: "Linear" heißt nicht automatisch "durch den Ursprung"!

Exponentielles Wachstum und Zerfall

Exponentielles Wachstum erkennst du daran, dass sich der Bestand in gleichen Zeitintervallen um denselben Faktor vergrößert. Beispiel: Verdopplung alle 2 Stunden.

Der Bestand nimmt mit der Zeit immer stärker zu – die Kurve wird immer steiler. Das ist typisch für Bakterienwachstum oder Zinsen.

Exponentieller Zerfall funktioniert umgekehrt: Der Bestand verkleinert sich um denselben Faktor, etwa Halbierung alle 2 Stunden. Typisch bei radioaktivem Zerfall.

Beim Zerfall nimmt der Bestand immer langsamer ab – er nähert sich asymptotisch der Null, erreicht sie aber nie ganz.

Erkennungsmerkmal: Konstante Faktoren (nicht konstante Differenzen) kennzeichnen exponentielles Verhalten!

Dreisatz und Proportionalität

Den Dreisatz brauchst du, wenn drei Größen in einem bestimmten Verhältnis stehen und du die vierte suchst. Wichtig ist die Unterscheidung zwischen direkter und indirekter Proportionalität!

Direkte Proportionalität bedeutet "mehr ist mehr": Verdoppelt sich eine Größe, verdoppelt sich auch die andere. Beispiel: doppeltes Gewicht = doppelter Preis.

Lösungsweg 1: Auf 1 herunterrechnen, dann hochrechnen. Bei 20 Seiten in 30 min: 20 Seiten ÷ 20 = 1 Seite in 1,5 min. Für 120 Seiten: 120 × 1,5 = 180 min.

Lösungsweg 2: Quotientenregel a₁/b₁ = a₂/b₂. Das ist oft schneller! Du kannst auch "überkreuz rechnen": Die zwei gegebenen Werte multiplizieren und durch den dritten teilen.

Faustregel: Direkte Proportionalität = Quotientengleichheit, indirekte = Produktgleichheit!

Indirekte Proportionalität

Bei indirekter Proportionalität gilt "mehr ist weniger": Mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit für dieselbe Arbeit. Das Produkt bleibt konstant: a · b = konstant.

Die Produktregel lautet: a₁ · b₁ = a₂ · b₂. Beispiel: 5 Pfleger arbeiten 8 Stunden, wie lange brauchen 20 Pfleger? 5 × 8 = 20 × ?, also 40 = 20 × ?, ergo 2 Stunden.

Grafisch ergibt indirekte Proportionalität eine Hyperbel. Je größer a wird, desto kleiner wird b, aber sie nähern sich nur den Achsen an.

Bei höherer Geschwindigkeit brauchst du weniger Zeit: 140 km/h für 24 min bedeutet bei 160 km/h nur noch 140 × 24 ÷ 160 = 21 min.

Erkennungszeichen: Wenn eine Größe steigt und die andere fällt, ist es meist indirekte Proportionalität!

Prozentrechnung Grundlagen

Prozent bedeutet "von hundert" – es zeigt das Verhältnis zu 100%. Du kannst Prozente als Bruch $25/100$, Dezimalzahl (0,25) oder Prozentzeichen (25%) schreiben.

Diese Umwandlungen solltest du auswendig können: 1/2 = 0,5 = 50%, 1/4 = 0,25 = 25%, 1/8 = 0,125 = 12,5%, 1/3 = 0,333... = 33,3%.

Promille funktioniert genauso, nur "von tausend": 1‰ = 0,1%. Das brauchst du bei Alkoholgehalt oder sehr kleinen Anteilen.

Die wichtigsten Brüche wie 3/8 = 37,5% oder 5/8 = 62,5% kommen in Klausuren häufig vor. Je mehr du davon kennst, desto schneller rechnest du!

Trick: 8tel-Brüche sind super praktisch – sie teilen 100% in handliche Stücke!

Prozentrechnung Anwendung

Prozentrechnung ist direkte Proportionalität! Du kannst die Quotientenregel verwenden: Wenn 10% = 1,20€, dann 100% = ? → 100 × 1,20 ÷ 10 = 12€.

Überkreuzrechnen ist die vereinfachte Quotientenregel: Die beiden bekannten Werte multiplizieren und durch den dritten teilen. Super schnell in Klausuren!

"Von" bedeutet "mal": 80% von 200 Patienten = 0,8 × 200 = 160 Patienten. Denk dran, Prozent als Dezimalzahl zu schreiben!

"Um" vs. "auf" macht einen riesigen Unterschied: Anstieg UM 300% = von 100% auf 400% (Faktor 4). Anstieg AUF 300% = von 100% auf 300% (Faktor 3).

Klausurtipp: Bei Textaufgaben genau lesen – "um" oder "auf" entscheidet über die richtige Lösung!