Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Die drei Grundfunktionen

Die Seitenverhältnisse hängen direkt vom Winkel $\alpha$ ab.

• Sinus ($\sin$): Verhältnis von $\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• Kosinus ($\cos$): Verhältnis von $\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• Tangens ($\tan$): Verhältnis von $\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ oder auch $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Der Einheitskreis bis $90^\circ$

Ein Kreis mit dem Radius $r = 1$.

• Sinuswert: Entspricht der Höhe ($y$-Wert) des Punktes auf dem Kreis.
• Kosinuswert: Entspricht der Breite ($x$-Wert) des Punktes auf dem Kreis.

💡 Tipp: Merke dir die Identität $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Der erweiterte Einheitskreis

Winkel über $90^\circ$ und Symmetrien

Am Einheitskreis lassen sich Winkel bis $360^\circ$ und darüber hinaus darstellen.

• Quadrantensystem: Die Vorzeichen von $\sin$ und $\cos$ ändern sich je nach Quadrant.
• Winkel $> 360^\circ$: Ziehe einfach so oft $360^\circ$ ab, bis der Winkel im Intervall $[0^\circ, 360^\circ]$ liegt.
• Negative Winkel: Es gilt $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ und $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

Beispiel: Berechne $\sin(410^\circ)$: $410^\circ - 360^\circ = 50^\circ \Rightarrow \sin(410^\circ) = \sin(50^\circ) \approx 0,77$

💡 Tipp: Winkel im Bogenmaß ($x$) rechnest du mit $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{x}{2\pi}$ um.