Trigonometrie leicht erklärt: Sätze und Beweise

Trigonometrie in rechtwinkligen Dreiecken

In einem rechtwinkligen Dreieck kannst du die trigonometrischen Funktionen nutzen, um Winkel und Seiten zu berechnen. Merke dir diese Grundformeln:

• Sinus: $sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ → Umstellung: $\alpha = arcsin(\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse})$
• Kosinus: $cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ → Umstellung: $\alpha = arccos(\frac{Ankathete}{Hypotenuse})$
• Tangens: $tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ → Umstellung: $\alpha = arctan(\frac{Gegenkathete}{Ankathete})$

Bei Steigungswinkeln ist der Tangens besonders nützlich. Die Steigung berechnest du als Verhältnis von Höhe zu Entfernung: $tan(\alpha) = \frac{h}{e}$. Dieses Verhältnis kannst du auch als Prozent ausdrücken.

💡 Praxistipp: Bei Steigungen im Alltag (z.B. Straßen, Rampen) wird die Steigung oft in Prozent angegeben. Ein Steigungswinkel von etwa 26,6° entspricht einer 50% Steigung!

Trigonometrie in allgemeinen Dreiecken

Wenn dein Dreieck nicht rechtwinklig ist, helfen dir der Sinussatz und der Kosinussatz. Der Sinussatz stellt eine Beziehung zwischen Seiten und Winkeln her:

$\frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c}$

Du kannst auch den Kehrwert verwenden: $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Der Kosinussatz ist eine Erweiterung des Satzes des Pythagoras:

• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(\alpha)$
• $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot cos(\beta)$
• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$

🔑 Entscheidungshilfe: Sind ein Winkel und zwei Seiten bekannt? Wende den Kosinussatz an, wenn der Winkel zwischen den beiden Seiten liegt. Nutze den Sinussatz, wenn der Winkel gegenüber einer der beiden Seiten liegt!