Einführung in trigonometrische Funktionen – Sinus und Kosinus erklärt

Grundlagen: Bogenmaß, Gradmaß und Einheitskreis

Im rechtwinkligen Dreieck entstehen bei gleichem Winkel α immer die gleichen Verhältnisse: sin α = Gegenkathete/Hypotenuse, cos α = Ankathete/Hypotenuse und tan α = Gegenkathete/Ankathete. Diese Zusammenhänge bilden die Basis für trigonometrische Funktionen.

In der Mathematik arbeiten wir mit dem Bogenmaß statt dem Gradmaß. Im Einheitskreis (Radius = 1) entspricht der Winkel dem Bogenstück auf dem Kreisumfang. So wird aus dem gewohnten Vollwinkel von 360° der Wert 2π im Bogenmaß. Die Umrechnung funktioniert ganz einfach mit der Formel x = $π/180$ · α.

Für jeden Punkt P(u,v) auf dem Einheitskreis gilt: Die x-Koordinate u entspricht dem Kosinus des zugehörigen Winkels, die y-Koordinate v entspricht dem Sinus. So können wir die trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel definieren – auch für Winkel größer als 90° oder negative Winkel.

💡 Merke dir: Bei trigonometrischen Funktionen wiederholen sich die Werte nach 2π (oder 360°). Diese Eigenschaft nennt man Periodizität und ist der Grund, warum sich Sinus und Kosinus so gut zur Beschreibung von Kreisläufen eignen.

Eigenschaften von Sinus- und Kosinusfunktion

Die Sinusfunktion und Kosinusfunktion wiederholen sich alle 2π (oder 360°). Sie unterscheiden sich nur durch eine Verschiebung - der Kosinus ist nichts anderes als ein um π/2 nach links verschobener Sinus.

Beide Funktionen schwingen zwischen den Extremwerten +1 und -1. Präge dir die wichtigsten Werte ein:

• Bei x = 0 ist sin$x$ = 0 und cos$x$ = 1
• Bei x = π/2 ist sin$x$ = 1 und cos$x$ = 0
• Bei x = π ist sin$x$ = 0 und cos$x$ = -1
• Bei x = 3π/2 ist sin$x$ = -1 und cos$x$ = 0

Mit der Funktionsgleichung f$x$ = a · sin$b(x-c)$ + d kannst du die Grundform der Sinusfunktion verändern:

• a ist die Amplitude - sie bestimmt, wie stark die Funktion ausschlägt
• b beeinflusst die Wellenlänge - größere Werte stauchen die Funktion
• c bewirkt eine Phasenverschiebung nach rechts oder links
• d verschiebt die gesamte Funktion nach oben oder unten

💡 Tipp: Du kannst dir die Beziehung zwischen Sinus und Kosinus leicht merken: cos$x$ = sin$x + π/2$. Der Kosinus ist also die Ableitung der Sinusfunktion!

Anwendung und Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Anhand konkreter Funktionsgraphen kannst du die Parameter a, b, c und d bestimmen:

• a berechnest du als (Hochpunkt - Tiefpunkt) : 2
• b entspricht 2π geteilt durch die Periodenlänge
• c ist der x-Wert des Wendepunkts
• d ist der y-Wert des Wendepunkts

Bei Ableitungen trigonometrischer Funktionen entsteht ein interessanter Kreislauf: Leitet man die Sinusfunktion viermal ab, erhält man wieder die Ausgangsfunktion. Die erste Ableitung von sin$x$ ist cos$x$, die zweite -sin$x$, die dritte -cos$x$ und die vierte wieder sin$x$.

Für Ableitungen trigonometrischer Funktionen gelten die üblichen Regeln:

• Potenzregel: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
• Konstantenregel: $g(x) + c$' = g'$x$
• Faktorregel: (a·g$x$)' = a·g'$x$
• Summenregel: $g(x) + h(x)$' = g'$x$ + h'$x$

💡 Prüfungstipp: Lerne die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus auswendig: (sin$x$)' = cos$x$ und (cos$x$)' = -sin$x$. Bei komplexeren Ausdrücken wie sin$x+1$ musst du zusätzlich die Kettenregel beachten!