Lineare Funktionen: Kompakte Übersicht

Grundlagen linearer Funktionen

Eine lineare Funktion hat immer die Form f$x$ = mx + b. Das "m" ist die Steigung und zeigt dir, wie steil die Gerade ist. Das "b" ist der y-Achsen-Abschnitt - dort schneidet deine Gerade die y-Achse.

Zum Zeichnen gehst du ganz systematisch vor: Erst markierst du den y-Achsen-Abschnitt auf der y-Achse. Dann nutzt du die Steigung als "Steigungsdreieck" - bei einer Steigung von 2 gehst du 1 nach rechts und 2 nach oben.

Tipp: Die Steigung ist wie eine Anweisung - sie sagt dir genau, wie du vom y-Achsen-Abschnitt zum nächsten Punkt kommst!

Beim Ablesen einer Geraden machst du es umgekehrt: Erst liest du ab, wo die Gerade die y-Achse schneidet (das ist dein b-Wert). Dann bestimmst du die Steigung, indem du schaust, wie stark die Gerade steigt oder fällt.

Funktionsgleichung aus zwei Punkten berechnen

Wenn du zwei Punkte hast, kannst du daraus die komplette Funktionsgleichung basteln. Der Trick liegt in der richtigen Reihenfolge der Schritte.

Fall 1: Einer deiner Punkte hat x = 0? Super! Der y-Wert dieses Punktes ist automatisch dein y-Achsen-Abschnitt b. Dann berechnest du nur noch die Steigung mit der Formel m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$.

Fall 2: Keiner deiner Punkte hat x = 0? Dann berechnest du zuerst die Steigung mit derselben Formel. Danach setzt du einen der Punkte in f$x$ = mx + b ein und löst nach b auf.

Merkhilfe: Steigungsformel ist wie ein Bruch - oben die y-Differenz, unten die x-Differenz!

Nullstellen und Schnittpunkte finden

Die Nullstelle ist der Punkt, wo dein Graph die x-Achse schneidet. Du setzt einfach f$x$ = 0 und löst die Gleichung nach x auf. Bei f$x$ = 4x + 2 rechnest du: 0 = 4x + 2, dann -2 auf beiden Seiten, und schließlich durch 4 teilen.

Für Schnittpunkte zweier Geraden setzt du die beiden Funktionsgleichungen gleich: f$x$ = g$x$. Das gibt dir die x-Koordinate des Schnittpunkts.

Die Rechnung läuft so ab: Erst beide Seiten umformen, bis du x isoliert hast. Dann setzt du diesen x-Wert in eine der ursprünglichen Funktionen ein.

Wichtig: Schnittpunkte haben immer zwei Koordinaten - vergiss nicht die y-Koordinate zu berechnen!

Schnittpunkt vervollständigen

Sobald du die x-Koordinate des Schnittpunkts hast, musst du noch die y-Koordinate finden. Dazu setzt du den x-Wert in eine der beiden ursprünglichen Funktionen ein.

Bei unserem Beispiel mit x = 2/3 rechnest du: f$2/3$ = 4 · $2/3$ + 2 = 8/3 + 2 = 14/3. Der komplette Schnittpunkt ist also S$2/3 | 14/3$.

Du kannst zur Kontrolle auch die andere Funktion verwenden - das Ergebnis muss identisch sein. Falls nicht, hast du einen Rechenfehler gemacht.

Profi-Tipp: Verwende immer beide Funktionen zur Kontrolle - so vermeidest du peinliche Fehler in der Klausur!