Uneigentliche Integrale
Stell dir vor, du willst die Fläche unter einer Kurve berechnen, aber die Fläche erstreckt sich bis ins Unendliche. Klingt unmöglich? Ist es aber nicht! Uneigentliche Integrale helfen dir dabei, auch solche "unendlichen" Flächen zu berechnen.
Die Fläche kann entweder in x-Richtung oder in y-Richtung unbegrenzt sein. Das bedeutet, eine deiner Integrationsgrenzen läuft gegen ∞ oder -∞, während die andere eine normale Zahl ist.
So gehst du vor:
- Bilde die Stammfunktion F von deiner Funktion f
- Ersetze die unendliche Grenze durch eine Variable (z.B. "z")
- Berechne das Integral wie gewohnt: F(Obergrenze) - F(Untergrenze)
- Bestimme den Grenzwert, wenn z gegen ∞ geht
Achtung: Nicht jede unbegrenzte Fläche hat einen endlichen Inhalt! Manchmal existiert das uneigentliche Integral einfach nicht.
Im Beispiel mit ∫₁^∞ 6/x³ dx erhältst du als Stammfunktion -3/x². Nach Einsetzen der Grenzen und Grenzwertbildung kommt 3 Flächeneinheiten raus - obwohl die Fläche unendlich weit reicht!
