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Grundlagen der Vektorenrechnung: Einfach erklärt

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Lisa Müller

12.12.2025

Mathe

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Flächeninhalt dreieck vektoren

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12. Dez. 2025

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Grundlagen der Vektorenrechnung: Einfach erklärt

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Lisa Müller

@lisamller_lehm

Vektoren sind wie Pfeile im Raum - sie haben eine... Mehr anzeigen

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# VEKTOREN BASICS 3D-Vektorengeometrie Gegenventor ()()() Repräsentanten: $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{OA}$ = Ofsvektor zu

Grundlagen der Vektorgeometrie

Stell dir vor, du willst jemandem den Weg zu einem bestimmten Punkt beschreiben - genau das machen Vektoren! Der Ortsvektor OP→\overrightarrow{OP} zeigt vom Koordinatenursprung zu einem Punkt P, während der Richtungsvektor AB→=b→−a→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} die Richtung von einem Punkt zum anderen angibt.

Das Rechnen mit Vektoren funktioniert komponentenweise: Du addierst einfach die entsprechenden Komponenten. Bei der Multiplikation mit einer Zahl (Skalar) multiplizierst du jede Komponente einzeln.

Das Skalarprodukt ist besonders wichtig: a→⋅b→=a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3. Wenn das Ergebnis null ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander - das ist super praktisch zum Prüfen von Rechtwinkeln!

Die Länge eines Vektors berechnest du mit dem Satz des Pythagoras: ∣v→∣=v12+v22+v32|\overrightarrow{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}. Ein Einheitsvektor hat die Länge 1 und zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Vektor.

💡 Merktipp: Bei orthogonalen (senkrechten) Vektoren ist das Skalarprodukt immer null - das ist ein echter Lebensretter bei Prüfungen!

# VEKTOREN BASICS 3D-Vektorengeometrie Gegenventor ()()() Repräsentanten: $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{OA}$ = Ofsvektor zu

Vielfache Vektoren und geometrische Anwendungen

Manchmal brauchst du einen Vektor mit derselben Richtung, aber einer anderen Länge - das sind vielfache Vektoren. Sie entstehen durch Multiplikation mit einem Skalar k: k⋅v→=(k⋅v1k⋅v2)k⋅v3k \cdot \overrightarrow{v} = \binom{k \cdot v_1}{k \cdot v_2}{k \cdot v_3}.

Bei Dreiecken kannst du mit Vektorlängen schnell prüfen, ob sie gleichschenklig (zwei gleiche Seiten) oder gleichseitig (drei gleiche Seiten) sind. Berechne einfach die Beträge aller Seitenvektoren und vergleiche sie.

Für Parallelogramme gilt die praktische Regel: AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}. Das bedeutet, gegenüberliegende Seiten sind gleich. So kannst du den vierten Punkt D berechnen, wenn du die anderen drei kennst.

💡 Praxistipp: Um einen Vektor mit einer bestimmten Länge zu finden, stellst du die Gleichung ∣k⋅v→∣=gewu¨nschte La¨nge|k \cdot \overrightarrow{v}| = \text{gewünschte Länge} auf und löst nach k auf.

# VEKTOREN BASICS 3D-Vektorengeometrie Gegenventor ()()() Repräsentanten: $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{OA}$ = Ofsvektor zu

Geraden und Anwendungsaufgaben

Geradengleichungen in Parameterform sehen so aus: x→=a→+t⋅v→\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + t \cdot \overrightarrow{v}. Dabei ist a→\overrightarrow{a} der Aufpunkt und v→\overrightarrow{v} der Richtungsvektor. Der Parameter t bestimmt, wo auf der Geraden du dich befindest.

Bei Flugzeugaufgaben setzt du die gewünschte Höhe in die z-Komponente ein und löst nach t auf. Dann kannst du die x- und y-Koordinaten berechnen und weißt, wo sich das Flugzeug befindet.

Geschwindigkeitsaufgaben sind etwas tricky: Wenn die Geschwindigkeit gegeben ist, musst du oft den Richtungsvektor normieren (zum Einheitsvektor machen) und dann mit der gewünschten Geschwindigkeit multiplizieren.

💡 Zeitumrechnung: 40 Minuten sind 2/3 einer Stunde. Bei 30 km/h legst du in 40 Minuten also 20 km zurück - rechne das in deine Parametergleichung ein!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Grundlagen der Vektorenrechnung: Einfach erklärt

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Lisa Müller

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Vektoren sind wie Pfeile im Raum - sie haben eine Richtung und eine Länge. In der 3D-Vektorgeometrie lernst du, wie man mit diesen mathematischen Objekten rechnet und sie für praktische Probleme einsetzt.

# VEKTOREN BASICS 3D-Vektorengeometrie Gegenventor ()()() Repräsentanten: $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{OA}$ = Ofsvektor zu

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Grundlagen der Vektorgeometrie

Stell dir vor, du willst jemandem den Weg zu einem bestimmten Punkt beschreiben - genau das machen Vektoren! Der Ortsvektor OP→\overrightarrow{OP} zeigt vom Koordinatenursprung zu einem Punkt P, während der Richtungsvektor AB→=b→−a→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} die Richtung von einem Punkt zum anderen angibt.

Das Rechnen mit Vektoren funktioniert komponentenweise: Du addierst einfach die entsprechenden Komponenten. Bei der Multiplikation mit einer Zahl (Skalar) multiplizierst du jede Komponente einzeln.

Das Skalarprodukt ist besonders wichtig: a→⋅b→=a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3. Wenn das Ergebnis null ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander - das ist super praktisch zum Prüfen von Rechtwinkeln!

Die Länge eines Vektors berechnest du mit dem Satz des Pythagoras: ∣v→∣=v12+v22+v32|\overrightarrow{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}. Ein Einheitsvektor hat die Länge 1 und zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Vektor.

💡 Merktipp: Bei orthogonalen (senkrechten) Vektoren ist das Skalarprodukt immer null - das ist ein echter Lebensretter bei Prüfungen!

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Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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