Mathematik

Nullstellen und Wurzeln von Polynomen

Nullstelle/Wurzel eines Polynoms

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4. Feb. 2026

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5 Seiten

Nullstellen Berechnen leicht gemacht: Methoden und Beispiele

Virginia Koden

@virginia.marlene

Nullstellen sind die x-Werte, an denen eine Funktion die x-Achse... Mehr anzeigen

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# Mathe

Nullstellen: Die Bedingung für die Nullstellen $x_N$, einer Funktion f lautet: $f (x_N) = 0$

УЛ
+3
+2

f(x) = x-2

-4
T-1

1-2
+
1

Was sind Nullstellen und welche Arten gibt es?

Nullstellen findest du überall dort, wo der Graph einer Funktion die x-Achse trifft. Die Grundregel ist einfach: f $x_N$ = 0.

Je nachdem, wie oft eine Nullstelle vorkommt, verhält sich der Graph unterschiedlich. Bei einfachen Nullstellen wie f(x) = x - 2 schneidet der Graph die x-Achse geradewegs durch.

Zweifache Nullstellen wie bei f(x) = $x-2$ ² erzeugen einen Berührpunkt - der Graph "küsst" die x-Achse und wendet dann um. Bei dreifachen Nullstellen hast du einen Schnittpunkt mit Wendepunkt, während vierfache Nullstellen wieder Berührpunkte sind.

Merktipp: Gerade Exponenten = Berührung, ungerade Exponenten = Schnitt durch die Achse.

Nullstellen durch Wurzelziehen finden

Wenn du Gleichungen der Form x² = z lösen musst, ist Wurzelziehen dein Freund. Das funktioniert super bei einfachen quadratischen Gleichungen ohne x-Term in der Mitte.

Bei x² - 30 = 6 rechnest du zuerst x² = 36. Dann ziehst du die Wurzel und bekommst x = ±6. Das Plusminus-Zeichen ist wichtig - vergiss es nie!

Wichtig: Du kannst nur aus positiven Zahlen die Wurzel ziehen. Ist z negativ, gibt es keine reellen Lösungen. Die Nullstellen sind dann x₁ = -6 und x₂ = 6.

Achtung: Jede Gleichung x² = z mit z > 0 hat immer zwei Lösungen!

Die p-q-Formel meistern

Die p-q-Formel ist dein Allzweckwerkzeug für quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0. Sie funktioniert immer, wenn Wurzelziehen nicht klappt.

Bei f(x) = x² - 4x - 5 erkennst du p = -4 und q = -5. Dann setzt du in die Formel ein: x = -p/2 ± √ $(p/2)² - q$ . Das ergibt x = 2 ± 3, also x₁ = -1 und x₂ = 5.

Profi-Tipp: Achte auf das Vorzeichen von p! Bei x² - 4x ist p = -4, nicht +4. Die Nullstellen sind N₁(-1|0) und N₂(5|0).

Merke dir: Erst Normalform herstellen, dann p und q ablesen, schließlich in die Formel einsetzen.

Ausklammern als elegante Lösung

Ausklammern verwandelt Summen in Produkte - und das macht Nullstellen oft viel einfacher zu finden. Du suchst nach gemeinsamen Faktoren in allen Termen.

Bei x² - 3x = 0 siehst du, dass beide Terme ein x enthalten. Du klammerst es aus: x $x - 3$ = 0. Jetzt kannst du direkt ablesen: x = 0 oder x - 3 = 0, also x = 3.

Diese Methode ist besonders praktisch, wenn ein Term ohne Konstante da ist. Faktorisieren (so nennt man das Umwandeln in ein Produkt) spart dir oft komplizierte Rechnungen.

Faustregel: Siehst du gemeinsame Faktoren, klammer sie sofort aus - das ist meist der schnellste Weg!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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