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Mathematik

Faktorisierungsmethoden von Polynomen

Faktorisieren zum Lösen

Mathe903Aktualisiert 6. Okt. 20266 Seiten

Wiederholung der 9. Klasse: Quadratische und Lineare Funktionen

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Collien Keil :)@collienkeil_
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Lineare und quadratische Funktionen sind absolute Basics in der Mathe, die du für jeden Test brauchst. Mit den richtigen Tricks kannst du Funktionsgleichungen aufstellen, Schnittpunkte finden und Parabeln zeichnen - das ist gar nicht so kompliziert wie es aussieht!
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Lineare Funktionen - Die Grundlagen

Bei linearen Funktionen geht's immer um die Funktionsgleichung fxx = mx + b. Das m ist deine Steigung und das b ist der y-Achsenabschnitt - also wo deine Gerade die y-Achse schneidet.

Um eine Funktionsgleichung aus zwei Punkten zu bestimmen, rechnest du zuerst die Steigung: m = y2−y1y₂ - y₁/x2−x1x₂ - x₁. Mit den Punkten P−2/1-2/1 und Q2/72/7 wird das: m = 7−17-1/2−(−2)2-(-2) = 6/4 = 1,5.

Danach setzt du einen Punkt in fxx = mx + b ein und löst nach b auf. So kriegst du deine komplette Gleichung! Wenn du die Funktion zeichnen willst, markierst du erst den y-Achsenabschnitt und gehst dann entsprechend der Steigung weiter.

Tipp: Fehlende Koordinaten findest du, indem du den bekannten Wert einfach in die Gleichung einsetzt!

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Schnittpunkte und Nullstellen finden

Schnittpunkte zweier Funktionen findest du mega einfach: Setze beide Gleichungen gleich f(x)=g(x)f(x) = g(x), löse nach x auf und setze das Ergebnis in eine der Funktionen ein. Bei fxx = 2x - 1 und gxx = -2x + 11 ergibt das den Schnittpunkt 3/53/5.

Für Nullstellen setzt du die Funktion einfach gleich null: fxx = 0. Bei fxx = 2x - 3 wird das zu 2x - 3 = 0, also x = 1,5. Die Nullstelle ist dann 1,5/01,5/0.

Definitionsbereich (D) sind alle x-Werte, die du einsetzen darfst - bei linearen Funktionen ist das normalerweise ℝ (alle reellen Zahlen). Der Wertebereich (W) zeigt dir alle möglichen y-Werte.

Merkhilfe: Bei Nullstellen ist der y-Wert immer 0 - daher der Name!

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Quadratische Funktionen - Parabeln verstehen

Quadratische Funktionen haben drei verschiedene Formen, die alle ihre Vorteile haben. Die Normalform fxx = ax² + bx + c ist perfekt für die pq-Formel, die Scheitelpunktform fxx = ax−dx-d² + e zeigt dir direkt den Scheitelpunkt S(d/e).

Der Streckfaktor a bestimmt, wie deine Parabel aussieht: Bei a > 1 wird sie gestreckt, bei 0 < a < 1 gestaucht. Ist a negativ, öffnet sich die Parabel nach unten. In der Scheitelpunktform verschiebst du die Parabel um d auf der x-Achse und um e auf der y-Achse.

Für Nullstellen setzt du fxx = 0 und verwendest die pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2)2−q(p/2)² - q. Bei fxx = x² - 6x + 8 kriegst du die Nullstellen N₁4/04/0 und N₂2/02/0.

Pro-Tipp: Eine Wertetabelle hilft dir beim Zeichnen - nimm einfach ein paar x-Werte und rechne die y-Werte aus!

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Parabeln zeichnen und Scheitelpunkt bestimmen

Um eine Parabel zu zeichnen, erstellst du am besten eine Wertetabelle. Bei fxx = x² - 6x + 8 setzt du verschiedene x-Werte ein und rechnest die y-Werte aus. Dann zeichnest du die Punkte ein und verbindest sie zu einer glatten Kurve.

Den Scheitelpunkt kannst du direkt aus der Scheitelpunktform ablesen oder durch quadratische Ergänzung bestimmen. Bei fxx = x² - 6x + 8 liegt der Scheitelpunkt bei S3/−13/-1.

Die Scheitelpunktform fxx = ax−dx-d² + e zeigt dir sofort: Der Scheitelpunkt liegt bei (d/e), auch wenn das Vorzeichen in der Klammer "umgedreht" wird.

Achtung: Das Vorzeichen in der Klammer ist immer umgekehrt - bei x−3x-3 liegt der Scheitelpunkt bei x = +3!

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Zwischen den Formen umwandeln

Von Normalform zur Scheitelpunktform nutzt du die quadratische Ergänzung: Klammere den Faktor vor x² aus, halbiere den Koeffizienten vor x, quadriere ihn und addiere/subtrahiere ihn geschickt. Aus fxx = 2x² + 4x + 3 wird so fxx = 2x+1x+1² + 1.

Von Scheitelpunkt- zur Normalform multiplizierst du einfach aus. Bei fxx = 2x−2x-2² + 8 wird das zu fxx = 2x² - 8x + 16.

Für die faktorisierte Form brauchst du die Nullstellen. Mit der pq-Formel findest du x₁ = 5 und x₂ = 1, also wird fxx = x² - 6x + 5 zu fxx = x-5$$x-1.

Merkregel: Jede Form hat ihren Zweck - Normalform für pq-Formel, Scheitelpunktform zum Zeichnen, faktorisierte Form für Nullstellen!

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Schnittpunkte von Parabeln

Schnittpunkte zwischen Parabeln findest du genauso wie bei linearen Funktionen: Gleichsetzen und nach x auflösen. Bei fxx = 4x² - 3x - 5 und gxx = -2x² + x + 6 ergibt das die Gleichung 6x² - 4x - 11 = 0.

Jetzt verwendest du die Mitternachtsformel (abc-Formel): x = −b±√(b2−4ac)-b ± √(b² - 4ac)/(2a). Das gibt dir x₁ ≈ 1,73 und x₂ ≈ -1,06.

Diese x-Werte setzt du in eine der ursprünglichen Funktionen ein, um die y-Koordinaten zu bekommen. So erhältst du die Schnittpunkte Sp₁1,73/1,781,73/1,78 und Sp₂−1,06/2,67-1,06/2,67.

Wichtig: Bei quadratischen Gleichungen können bis zu zwei Schnittpunkte entstehen - manchmal auch gar keiner!

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