Lineare und quadratische Funktionen sind absolute Basics in der Mathe,...
Mathe902 aufrufe·Aktualisiert 13. Juli 2026·6 SeitenWiederholung der 9. Klasse: Quadratische und Lineare Funktionen
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Collien Keil :)@collienkeil_
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Lineare Funktionen - Die Grundlagen
Bei linearen Funktionen geht's immer um die Funktionsgleichung f = mx + b. Das m ist deine Steigung und das b ist der y-Achsenabschnitt - also wo deine Gerade die y-Achse schneidet.
Um eine Funktionsgleichung aus zwei Punkten zu bestimmen, rechnest du zuerst die Steigung: m = /. Mit den Punkten P und Q wird das: m = / = 6/4 = 1,5.
Danach setzt du einen Punkt in f = mx + b ein und löst nach b auf. So kriegst du deine komplette Gleichung! Wenn du die Funktion zeichnen willst, markierst du erst den y-Achsenabschnitt und gehst dann entsprechend der Steigung weiter.
Tipp: Fehlende Koordinaten findest du, indem du den bekannten Wert einfach in die Gleichung einsetzt!
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Schnittpunkte und Nullstellen finden
Schnittpunkte zweier Funktionen findest du mega einfach: Setze beide Gleichungen gleich , löse nach x auf und setze das Ergebnis in eine der Funktionen ein. Bei f = 2x - 1 und g = -2x + 11 ergibt das den Schnittpunkt .
Für Nullstellen setzt du die Funktion einfach gleich null: f = 0. Bei f = 2x - 3 wird das zu 2x - 3 = 0, also x = 1,5. Die Nullstelle ist dann .
Definitionsbereich (D) sind alle x-Werte, die du einsetzen darfst - bei linearen Funktionen ist das normalerweise ℝ (alle reellen Zahlen). Der Wertebereich (W) zeigt dir alle möglichen y-Werte.
Merkhilfe: Bei Nullstellen ist der y-Wert immer 0 - daher der Name!
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Quadratische Funktionen - Parabeln verstehen
Quadratische Funktionen haben drei verschiedene Formen, die alle ihre Vorteile haben. Die Normalform f = ax² + bx + c ist perfekt für die pq-Formel, die Scheitelpunktform f = a² + e zeigt dir direkt den Scheitelpunkt S(d/e).
Der Streckfaktor a bestimmt, wie deine Parabel aussieht: Bei a > 1 wird sie gestreckt, bei 0 < a < 1 gestaucht. Ist a negativ, öffnet sich die Parabel nach unten. In der Scheitelpunktform verschiebst du die Parabel um d auf der x-Achse und um e auf der y-Achse.
Für Nullstellen setzt du f = 0 und verwendest die pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √. Bei f = x² - 6x + 8 kriegst du die Nullstellen N₁ und N₂.
Pro-Tipp: Eine Wertetabelle hilft dir beim Zeichnen - nimm einfach ein paar x-Werte und rechne die y-Werte aus!
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Parabeln zeichnen und Scheitelpunkt bestimmen
Um eine Parabel zu zeichnen, erstellst du am besten eine Wertetabelle. Bei f = x² - 6x + 8 setzt du verschiedene x-Werte ein und rechnest die y-Werte aus. Dann zeichnest du die Punkte ein und verbindest sie zu einer glatten Kurve.
Den Scheitelpunkt kannst du direkt aus der Scheitelpunktform ablesen oder durch quadratische Ergänzung bestimmen. Bei f = x² - 6x + 8 liegt der Scheitelpunkt bei S.
Die Scheitelpunktform f = a² + e zeigt dir sofort: Der Scheitelpunkt liegt bei (d/e), auch wenn das Vorzeichen in der Klammer "umgedreht" wird.
Achtung: Das Vorzeichen in der Klammer ist immer umgekehrt - bei liegt der Scheitelpunkt bei x = +3!
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Zwischen den Formen umwandeln
Von Normalform zur Scheitelpunktform nutzt du die quadratische Ergänzung: Klammere den Faktor vor x² aus, halbiere den Koeffizienten vor x, quadriere ihn und addiere/subtrahiere ihn geschickt. Aus f = 2x² + 4x + 3 wird so f = 2² + 1.
Von Scheitelpunkt- zur Normalform multiplizierst du einfach aus. Bei f = 2² + 8 wird das zu f = 2x² - 8x + 16.
Für die faktorisierte Form brauchst du die Nullstellen. Mit der pq-Formel findest du x₁ = 5 und x₂ = 1, also wird f = x² - 6x + 5 zu f = x-5$$x-1.
Merkregel: Jede Form hat ihren Zweck - Normalform für pq-Formel, Scheitelpunktform zum Zeichnen, faktorisierte Form für Nullstellen!
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Schnittpunkte von Parabeln
Schnittpunkte zwischen Parabeln findest du genauso wie bei linearen Funktionen: Gleichsetzen und nach x auflösen. Bei f = 4x² - 3x - 5 und g = -2x² + x + 6 ergibt das die Gleichung 6x² - 4x - 11 = 0.
Jetzt verwendest du die Mitternachtsformel (abc-Formel): x = /(2a). Das gibt dir x₁ ≈ 1,73 und x₂ ≈ -1,06.
Diese x-Werte setzt du in eine der ursprünglichen Funktionen ein, um die y-Koordinaten zu bekommen. So erhältst du die Schnittpunkte Sp₁ und Sp₂.
Wichtig: Bei quadratischen Gleichungen können bis zu zwei Schnittpunkte entstehen - manchmal auch gar keiner!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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AnnaiOS-Nutzerin
Mathe902 aufrufe·Aktualisiert 13. Juli 2026·6 SeitenWiederholung der 9. Klasse: Quadratische und Lineare Funktionen
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Collien Keil :)@collienkeil_
Lineare und quadratische Funktionen sind absolute Basics in der Mathe, die du für jeden Test brauchst. Mit den richtigen Tricks kannst du Funktionsgleichungen aufstellen, Schnittpunkte finden und Parabeln zeichnen - das ist gar nicht so kompliziert wie es aussieht!
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Lineare Funktionen - Die Grundlagen
Bei linearen Funktionen geht's immer um die Funktionsgleichung f = mx + b. Das m ist deine Steigung und das b ist der y-Achsenabschnitt - also wo deine Gerade die y-Achse schneidet.
Um eine Funktionsgleichung aus zwei Punkten zu bestimmen, rechnest du zuerst die Steigung: m = /. Mit den Punkten P und Q wird das: m = / = 6/4 = 1,5.
Danach setzt du einen Punkt in f = mx + b ein und löst nach b auf. So kriegst du deine komplette Gleichung! Wenn du die Funktion zeichnen willst, markierst du erst den y-Achsenabschnitt und gehst dann entsprechend der Steigung weiter.
Tipp: Fehlende Koordinaten findest du, indem du den bekannten Wert einfach in die Gleichung einsetzt!
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Schnittpunkte und Nullstellen finden
Schnittpunkte zweier Funktionen findest du mega einfach: Setze beide Gleichungen gleich , löse nach x auf und setze das Ergebnis in eine der Funktionen ein. Bei f = 2x - 1 und g = -2x + 11 ergibt das den Schnittpunkt .
Für Nullstellen setzt du die Funktion einfach gleich null: f = 0. Bei f = 2x - 3 wird das zu 2x - 3 = 0, also x = 1,5. Die Nullstelle ist dann .
Definitionsbereich (D) sind alle x-Werte, die du einsetzen darfst - bei linearen Funktionen ist das normalerweise ℝ (alle reellen Zahlen). Der Wertebereich (W) zeigt dir alle möglichen y-Werte.
Merkhilfe: Bei Nullstellen ist der y-Wert immer 0 - daher der Name!
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Quadratische Funktionen - Parabeln verstehen
Quadratische Funktionen haben drei verschiedene Formen, die alle ihre Vorteile haben. Die Normalform f = ax² + bx + c ist perfekt für die pq-Formel, die Scheitelpunktform f = a² + e zeigt dir direkt den Scheitelpunkt S(d/e).
Der Streckfaktor a bestimmt, wie deine Parabel aussieht: Bei a > 1 wird sie gestreckt, bei 0 < a < 1 gestaucht. Ist a negativ, öffnet sich die Parabel nach unten. In der Scheitelpunktform verschiebst du die Parabel um d auf der x-Achse und um e auf der y-Achse.
Für Nullstellen setzt du f = 0 und verwendest die pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √. Bei f = x² - 6x + 8 kriegst du die Nullstellen N₁ und N₂.
Pro-Tipp: Eine Wertetabelle hilft dir beim Zeichnen - nimm einfach ein paar x-Werte und rechne die y-Werte aus!
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Parabeln zeichnen und Scheitelpunkt bestimmen
Um eine Parabel zu zeichnen, erstellst du am besten eine Wertetabelle. Bei f = x² - 6x + 8 setzt du verschiedene x-Werte ein und rechnest die y-Werte aus. Dann zeichnest du die Punkte ein und verbindest sie zu einer glatten Kurve.
Den Scheitelpunkt kannst du direkt aus der Scheitelpunktform ablesen oder durch quadratische Ergänzung bestimmen. Bei f = x² - 6x + 8 liegt der Scheitelpunkt bei S.
Die Scheitelpunktform f = a² + e zeigt dir sofort: Der Scheitelpunkt liegt bei (d/e), auch wenn das Vorzeichen in der Klammer "umgedreht" wird.
Achtung: Das Vorzeichen in der Klammer ist immer umgekehrt - bei liegt der Scheitelpunkt bei x = +3!
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Zwischen den Formen umwandeln
Von Normalform zur Scheitelpunktform nutzt du die quadratische Ergänzung: Klammere den Faktor vor x² aus, halbiere den Koeffizienten vor x, quadriere ihn und addiere/subtrahiere ihn geschickt. Aus f = 2x² + 4x + 3 wird so f = 2² + 1.
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Schnittpunkte von Parabeln
Schnittpunkte zwischen Parabeln findest du genauso wie bei linearen Funktionen: Gleichsetzen und nach x auflösen. Bei f = 4x² - 3x - 5 und g = -2x² + x + 6 ergibt das die Gleichung 6x² - 4x - 11 = 0.
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