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Mathe
27. Nov. 2025
259
6 Seiten
Antonia @antonia_hgkm
Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen sind fundamentale mathematische Konzepte, die dir in der Analysis immer wieder begegnen werden. Du... Mehr anzeigen
Potenzfunktionen haben die Form f(x) = x^n und verhalten sich je nach Exponenten unterschiedlich. Bei geraden Exponenten ist der Graph achsensymmetrisch, bei ungeraden punktsymmetrisch zur y-Achse.
Ganzrationale Funktionen entstehen, wenn du Potenzfunktionen addierst oder subtrahierst f(x) = a_n·x^n + ... + a_1·x + a_0. Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion - das ist super wichtig für das Verhalten der Funktion!
Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt. Je nach Vielfachheit verhalten sie sich anders einfache Nullstellen durchstoßen die x-Achse, doppelte berühren sie nur. Nutze Ausklammern, die p-q-Formel oder Substitution - je nachdem, was am besten passt.
Merktipp Bei der Substitution ersetzt du x² durch z, um komplizierte Gleichungen zu vereinfachen!
Das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion hängt nur vom höchsten Term ab. Bei geradem Grad geht die Funktion nach +∞ oder -∞, bei ungeradem Grad in entgegengesetzte Richtungen.
Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Streng monoton steigend bedeutet größere x-Werte führen immer zu größeren y-Werten. Das erkennst du grafisch an der Steigung!
Symmetrie erkennst du am Funktionsterm Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch zur y-Achse, nur ungerade Exponenten = punktsymmetrisch zum Ursprung. Extrema sind die höchsten und tiefsten Punkte - entweder lokal (in der Umgebung) oder global (im gesamten Graph).
Praxistipp Checke bei Hausaufgaben immer zuerst die Symmetrie - das spart dir oft die Hälfte der Rechenarbeit!
Transformationen verschieben, strecken oder spiegeln Funktionsgraphen. Bei g(x) = f(x) + d verschiebst du um d nach oben/unten, bei g(x) = f um c nach rechts/links. Streckungen funktionieren mit Faktoren |a| > 1 streckt, 0 < |a| < 1 staucht.
Änderungsraten messen, wie schnell sich etwas verändert. Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten - rechne mit dem Differenzenquotienten /.
Die lokale Änderungsrate ist die momentane Steigung in einem Punkt. Du berechnest sie mit dem Differenzialquotienten dem Grenzwert von /h für h→0. Das ist die Grundlage für Ableitungen!
Aha-Moment Die Ableitung gibt dir in jedem Punkt die exakte Steigung - wie das Tacho im Auto die momentane Geschwindigkeit anzeigt!
Grafisches Ableiten folgt klaren Regeln Extrema der ursprünglichen Funktion werden zu Nullstellen der Ableitung, Wendestellen zu Extrema. Steigt f, ist f' positiv - fällt f, ist f' negativ.
Die wichtigsten Ableitungsregeln sind schnell gelernt Potenzregel f(x) = x^n → f'(x) = n·x^, Faktorregel und Summenregel. Konstante Faktoren bleiben stehen, Exponenten "wandern" nach vorn.
Tangenten haben die Steigung f'(x₀) im Berührpunkt. Berechne zuerst die Ableitung, dann die Steigung im gewünschten Punkt, schließlich die Geradengleichung y = mx + b. Normalen stehen senkrecht zur Tangente - ihre Steigung ist -1/f'(x₀).
Den Steigungswinkel findest du mit α = arctan(f'(x₀)). Dein CAS-Rechner macht das automatisch!
Profi-Trick Bei Ableitungen mit mehreren Variablen bleibt alles stehen, was nicht nach der gewünschten Variable abgeleitet wird!
Monotonie bestimmst du über f'(x) ist f'(x) > 0, steigt die Funktion streng monoton. Berechne die Nullstellen von f', teile den Definitionsbereich in Intervalle und teste je eine Stelle.
Für Extrema brauchst du f'(x) = 0 (notwendige Bedingung) und einen Vorzeichenwechsel von f' (hinreichende Bedingung). Wechsel von + nach - bedeutet Hochpunkt, von - nach + Tiefpunkt. Alternativ nutze f''(x) f''(x) < 0 = Hochpunkt, f''(x) > 0 = Tiefpunkt.
Wendestellen findest du mit f''(x) = 0 und Vorzeichenwechsel von f''. Links-Rechts-Wendepunkte haben praktische Bedeutung Sie zeigen dir, wo Änderungsraten maximal oder minimal sind - also wo es am steilsten berg-auf oder berg-ab geht!
Krümmung erkennst du an f''(x) f''(x) > 0 bedeutet Linkskrümmung (wie ein Lächeln), f''(x) < 0 Rechtskrümmung.
Klausurtipp Vergiss nie, die y-Koordinaten durch Einsetzen in f(x) zu berechnen - ohne sie sind deine Punkte unvollständig!
Vektoren beschreiben Richtung und Länge im Raum. Ein Ortsvektor zeigt vom Ursprung zu einem Punkt, ein Verbindungsvektor von einem Punkt zum anderen mit der Formel AB⃗ = B⃗ - A⃗.
Die Länge eines Vektors berechnest du mit |v⃗| = √ - das ist der 3D-Pythagoras! Addition und Subtraktion funktionieren komponentenweise, Vielfache bildest du durch Multiplikation jeder Komponente.
Kollinearität bedeutet, dass Vektoren parallel sind - einer ist ein Vielfaches des anderen. Prüfe das, indem du schaust, ob r·a⃗ = b⃗ für alle Komponenten das gleiche r ergibt.
Linearkombinationen entstehen, wenn du Vektoren mit verschiedenen Faktoren addierst r⃗ = s·a⃗ + t·b⃗. Das ist die Basis für Geraden- und Ebenengleichungen!
Visualisierungstipp Stelle dir Vektoren als Pfeile vor - das macht Richtung und Länge sofort anschaulich!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Antonia
@antonia_hgkm
Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen sind fundamentale mathematische Konzepte, die dir in der Analysis immer wieder begegnen werden. Du lernst hier, wie du mit Funktionen arbeitest, sie analysierst und ihre Eigenschaften bestimmst - von Nullstellen bis hin zu Ableitungen und Vektoren.
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Potenzfunktionen haben die Form f(x) = x^n und verhalten sich je nach Exponenten unterschiedlich. Bei geraden Exponenten ist der Graph achsensymmetrisch, bei ungeraden punktsymmetrisch zur y-Achse.
Ganzrationale Funktionen entstehen, wenn du Potenzfunktionen addierst oder subtrahierst: f(x) = a_n·x^n + ... + a_1·x + a_0. Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion - das ist super wichtig für das Verhalten der Funktion!
Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt. Je nach Vielfachheit verhalten sie sich anders: einfache Nullstellen durchstoßen die x-Achse, doppelte berühren sie nur. Nutze Ausklammern, die p-q-Formel oder Substitution - je nachdem, was am besten passt.
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Symmetrie erkennst du am Funktionsterm: Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch zur y-Achse, nur ungerade Exponenten = punktsymmetrisch zum Ursprung. Extrema sind die höchsten und tiefsten Punkte - entweder lokal (in der Umgebung) oder global (im gesamten Graph).
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Änderungsraten messen, wie schnell sich etwas verändert. Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten - rechne mit dem Differenzenquotienten /.
Die lokale Änderungsrate ist die momentane Steigung in einem Punkt. Du berechnest sie mit dem Differenzialquotienten: dem Grenzwert von /h für h→0. Das ist die Grundlage für Ableitungen!
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Tangenten haben die Steigung f'(x₀) im Berührpunkt. Berechne zuerst die Ableitung, dann die Steigung im gewünschten Punkt, schließlich die Geradengleichung y = mx + b. Normalen stehen senkrecht zur Tangente - ihre Steigung ist -1/f'(x₀).
Den Steigungswinkel findest du mit α = arctan(f'(x₀)). Dein CAS-Rechner macht das automatisch!
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Wendestellen findest du mit f''(x) = 0 und Vorzeichenwechsel von f''. Links-Rechts-Wendepunkte haben praktische Bedeutung: Sie zeigen dir, wo Änderungsraten maximal oder minimal sind - also wo es am steilsten berg-auf oder berg-ab geht!
Krümmung erkennst du an f''(x): f''(x) > 0 bedeutet Linkskrümmung (wie ein Lächeln), f''(x) < 0 Rechtskrümmung.
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Die Länge eines Vektors berechnest du mit |v⃗| = √ - das ist der 3D-Pythagoras! Addition und Subtraktion funktionieren komponentenweise, Vielfache bildest du durch Multiplikation jeder Komponente.
Kollinearität bedeutet, dass Vektoren parallel sind - einer ist ein Vielfaches des anderen. Prüfe das, indem du schaust, ob r·a⃗ = b⃗ für alle Komponenten das gleiche r ergibt.
Linearkombinationen entstehen, wenn du Vektoren mit verschiedenen Faktoren addierst: r⃗ = s·a⃗ + t·b⃗. Das ist die Basis für Geraden- und Ebenengleichungen!
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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