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31. Jan. 2026
•
Antonia
@antonia_hgkm
Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen sind fundamentale mathematische Konzepte, die dir... Mehr anzeigen
Potenzfunktionen haben die Form f(x) = x^n und verhalten sich je nach Exponenten unterschiedlich. Bei geraden Exponenten ist der Graph achsensymmetrisch, bei ungeraden punktsymmetrisch zur y-Achse.
Ganzrationale Funktionen entstehen, wenn du Potenzfunktionen addierst oder subtrahierst: f(x) = a_n·x^n + ... + a_1·x + a_0. Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion - das ist super wichtig für das Verhalten der Funktion!
Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt. Je nach Vielfachheit verhalten sie sich anders: einfache Nullstellen durchstoßen die x-Achse, doppelte berühren sie nur. Nutze Ausklammern, die p-q-Formel oder Substitution - je nachdem, was am besten passt.
Merktipp: Bei der Substitution ersetzt du x² durch z, um komplizierte Gleichungen zu vereinfachen!
Das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion hängt nur vom höchsten Term ab. Bei geradem Grad geht die Funktion nach +∞ oder -∞, bei ungeradem Grad in entgegengesetzte Richtungen.
Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Streng monoton steigend bedeutet: größere x-Werte führen immer zu größeren y-Werten. Das erkennst du grafisch an der Steigung!
Symmetrie erkennst du am Funktionsterm: Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch zur y-Achse, nur ungerade Exponenten = punktsymmetrisch zum Ursprung. Extrema sind die höchsten und tiefsten Punkte - entweder lokal (in der Umgebung) oder global (im gesamten Graph).
Praxistipp: Checke bei Hausaufgaben immer zuerst die Symmetrie - das spart dir oft die Hälfte der Rechenarbeit!
Transformationen verschieben, strecken oder spiegeln Funktionsgraphen. Bei g(x) = f(x) + d verschiebst du um d nach oben/unten, bei g(x) = f um c nach rechts/links. Streckungen funktionieren mit Faktoren: |a| > 1 streckt, 0 < |a| < 1 staucht.
Änderungsraten messen, wie schnell sich etwas verändert. Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten - rechne mit dem Differenzenquotienten /.
Die lokale Änderungsrate ist die momentane Steigung in einem Punkt. Du berechnest sie mit dem Differenzialquotienten: dem Grenzwert von /h für h→0. Das ist die Grundlage für Ableitungen!
Aha-Moment: Die Ableitung gibt dir in jedem Punkt die exakte Steigung - wie das Tacho im Auto die momentane Geschwindigkeit anzeigt!
Grafisches Ableiten folgt klaren Regeln: Extrema der ursprünglichen Funktion werden zu Nullstellen der Ableitung, Wendestellen zu Extrema. Steigt f, ist f' positiv - fällt f, ist f' negativ.
Die wichtigsten Ableitungsregeln sind schnell gelernt: Potenzregel f(x) = x^n → f'(x) = n·x^, Faktorregel und Summenregel. Konstante Faktoren bleiben stehen, Exponenten "wandern" nach vorn.
Tangenten haben die Steigung f'(x₀) im Berührpunkt. Berechne zuerst die Ableitung, dann die Steigung im gewünschten Punkt, schließlich die Geradengleichung y = mx + b. Normalen stehen senkrecht zur Tangente - ihre Steigung ist -1/f'(x₀).
Den Steigungswinkel findest du mit α = arctan(f'(x₀)). Dein CAS-Rechner macht das automatisch!
Profi-Trick: Bei Ableitungen mit mehreren Variablen bleibt alles stehen, was nicht nach der gewünschten Variable abgeleitet wird!
Monotonie bestimmst du über f'(x): ist f'(x) > 0, steigt die Funktion streng monoton. Berechne die Nullstellen von f', teile den Definitionsbereich in Intervalle und teste je eine Stelle.
Für Extrema brauchst du f'(x) = 0 (notwendige Bedingung) und einen Vorzeichenwechsel von f' (hinreichende Bedingung). Wechsel von + nach - bedeutet Hochpunkt, von - nach + Tiefpunkt. Alternativ nutze f''(x): f''(x) < 0 = Hochpunkt, f''(x) > 0 = Tiefpunkt.
Wendestellen findest du mit f''(x) = 0 und Vorzeichenwechsel von f''. Links-Rechts-Wendepunkte haben praktische Bedeutung: Sie zeigen dir, wo Änderungsraten maximal oder minimal sind - also wo es am steilsten berg-auf oder berg-ab geht!
Krümmung erkennst du an f''(x): f''(x) > 0 bedeutet Linkskrümmung (wie ein Lächeln), f''(x) < 0 Rechtskrümmung.
Klausurtipp: Vergiss nie, die y-Koordinaten durch Einsetzen in f(x) zu berechnen - ohne sie sind deine Punkte unvollständig!
Vektoren beschreiben Richtung und Länge im Raum. Ein Ortsvektor zeigt vom Ursprung zu einem Punkt, ein Verbindungsvektor von einem Punkt zum anderen mit der Formel AB⃗ = B⃗ - A⃗.
Die Länge eines Vektors berechnest du mit |v⃗| = √ - das ist der 3D-Pythagoras! Addition und Subtraktion funktionieren komponentenweise, Vielfache bildest du durch Multiplikation jeder Komponente.
Kollinearität bedeutet, dass Vektoren parallel sind - einer ist ein Vielfaches des anderen. Prüfe das, indem du schaust, ob r·a⃗ = b⃗ für alle Komponenten das gleiche r ergibt.
Linearkombinationen entstehen, wenn du Vektoren mit verschiedenen Faktoren addierst: r⃗ = s·a⃗ + t·b⃗. Das ist die Basis für Geraden- und Ebenengleichungen!
Visualisierungstipp: Stelle dir Vektoren als Pfeile vor - das macht Richtung und Länge sofort anschaulich!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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App Store
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
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Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Paul T
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Antonia
@antonia_hgkm
Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen sind fundamentale mathematische Konzepte, die dir in der Analysis immer wieder begegnen werden. Du lernst hier, wie du mit Funktionen arbeitest, sie analysierst und ihre Eigenschaften bestimmst - von Nullstellen bis hin zu Ableitungen und Vektoren.
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Potenzfunktionen haben die Form f(x) = x^n und verhalten sich je nach Exponenten unterschiedlich. Bei geraden Exponenten ist der Graph achsensymmetrisch, bei ungeraden punktsymmetrisch zur y-Achse.
Ganzrationale Funktionen entstehen, wenn du Potenzfunktionen addierst oder subtrahierst: f(x) = a_n·x^n + ... + a_1·x + a_0. Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion - das ist super wichtig für das Verhalten der Funktion!
Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt. Je nach Vielfachheit verhalten sie sich anders: einfache Nullstellen durchstoßen die x-Achse, doppelte berühren sie nur. Nutze Ausklammern, die p-q-Formel oder Substitution - je nachdem, was am besten passt.
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Das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion hängt nur vom höchsten Term ab. Bei geradem Grad geht die Funktion nach +∞ oder -∞, bei ungeradem Grad in entgegengesetzte Richtungen.
Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Streng monoton steigend bedeutet: größere x-Werte führen immer zu größeren y-Werten. Das erkennst du grafisch an der Steigung!
Symmetrie erkennst du am Funktionsterm: Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch zur y-Achse, nur ungerade Exponenten = punktsymmetrisch zum Ursprung. Extrema sind die höchsten und tiefsten Punkte - entweder lokal (in der Umgebung) oder global (im gesamten Graph).
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Transformationen verschieben, strecken oder spiegeln Funktionsgraphen. Bei g(x) = f(x) + d verschiebst du um d nach oben/unten, bei g(x) = f um c nach rechts/links. Streckungen funktionieren mit Faktoren: |a| > 1 streckt, 0 < |a| < 1 staucht.
Änderungsraten messen, wie schnell sich etwas verändert. Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten - rechne mit dem Differenzenquotienten /.
Die lokale Änderungsrate ist die momentane Steigung in einem Punkt. Du berechnest sie mit dem Differenzialquotienten: dem Grenzwert von /h für h→0. Das ist die Grundlage für Ableitungen!
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Grafisches Ableiten folgt klaren Regeln: Extrema der ursprünglichen Funktion werden zu Nullstellen der Ableitung, Wendestellen zu Extrema. Steigt f, ist f' positiv - fällt f, ist f' negativ.
Die wichtigsten Ableitungsregeln sind schnell gelernt: Potenzregel f(x) = x^n → f'(x) = n·x^, Faktorregel und Summenregel. Konstante Faktoren bleiben stehen, Exponenten "wandern" nach vorn.
Tangenten haben die Steigung f'(x₀) im Berührpunkt. Berechne zuerst die Ableitung, dann die Steigung im gewünschten Punkt, schließlich die Geradengleichung y = mx + b. Normalen stehen senkrecht zur Tangente - ihre Steigung ist -1/f'(x₀).
Den Steigungswinkel findest du mit α = arctan(f'(x₀)). Dein CAS-Rechner macht das automatisch!
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Vektoren beschreiben Richtung und Länge im Raum. Ein Ortsvektor zeigt vom Ursprung zu einem Punkt, ein Verbindungsvektor von einem Punkt zum anderen mit der Formel AB⃗ = B⃗ - A⃗.
Die Länge eines Vektors berechnest du mit |v⃗| = √ - das ist der 3D-Pythagoras! Addition und Subtraktion funktionieren komponentenweise, Vielfache bildest du durch Multiplikation jeder Komponente.
Kollinearität bedeutet, dass Vektoren parallel sind - einer ist ein Vielfaches des anderen. Prüfe das, indem du schaust, ob r·a⃗ = b⃗ für alle Komponenten das gleiche r ergibt.
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Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Anna
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Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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