ZP 10 Mathematik Zusammenfassungen und Beispiele

Prozentrechnung und Bruchrechnung

Prozentrechnung wird dir ständig begegnen - im Alltag und in anderen Mathethemen! Die Grundformel ist super einfach: W = G · p, wobei W der Prozentwert, G der Grundwert und p der Prozentsatz ist.

Bei Brüchen ist die wichtigste Regel: Addition und Subtraktion funktionieren nur mit dem gleichen Nenner. Du erweiterst einfach beide Brüche, bis sie denselben Nenner haben.

Für Multiplikation multiplizierst du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Bei der Division drehst du den zweiten Bruch um (Kehrwert) und multiplizierst dann.

Merktipp: Beim Dreisatz kannst du jede Prozentaufgabe lösen, auch wenn du die Formel vergisst!

Lineare Gleichungssysteme

Gleichungssysteme begegnen dir überall - von Textaufgaben bis zur Analysis! Es gibt drei super Lösungsverfahren, die alle zum gleichen Ergebnis führen.

Beim Additionsverfahren multiplizierst du eine Gleichung so, dass sich beim Addieren eine Variable weghebt. Das Subtraktionsverfahren funktioniert genauso, nur ziehst du ab.

Das Einsetzungsverfahren ist oft am einfachsten: Du löst eine Gleichung nach einer Variable auf und setzt das Ergebnis in die andere ein. Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach derselben Variable auf und setzt sie gleich.

Praxistipp: Wähle das Verfahren, das bei deinen konkreten Zahlen am wenigsten Brüche erzeugt!

Dreiecksberechnung und Trigonometrie

Der Satz des Pythagoras $a² + b² = c²$ funktioniert nur bei rechtwinkligen Dreiecken - die Hypotenuse c liegt immer dem rechten Winkel gegenüber.

Die trigonometrischen Funktionen sin, cos und tan helfen dir bei allen Winkel- und Seitenberechnungen. Sin = Gegenkathete/Hypotenuse, cos = Ankathete/Hypotenuse, tan = Gegenkathete/Ankathete.

Für alle anderen Dreiecke brauchst du Sinus- und Kosinussatz. Der Sinussatz verbindet Seiten und gegenüberliegende Winkel, der Kosinussatz ist wie eine erweiterte Version des Pythagoras.

Wichtig: Die Innenwinkelsumme beträgt in jedem Dreieck 180°!

Geometrische Formeln

Diese Formelsammlung ist dein Rettungsanker bei Geometrieaufgaben! Die wichtigsten Grundformen solltest du auswendig können.

Bei Quadrat und Würfel ist alles symmetrisch - Flächeninhalt a², Volumen a³, Oberfläche 6a². Rechteck und Quader funktionieren mit a·b für die Fläche und a·b·c für das Volumen.

Kreisformeln kommen überall vor: Flächeninhalt πr², Umfang 2πr. Bei Kugeln ist das Volumen $4/3$πr³ und die Oberfläche 4πr².

Für Dreiecke gilt: Flächeninhalt = (Grundseite · Höhe)/2. Bei Zylindern rechnest du Grundfläche · Höhe für das Volumen.

Merkhilfe: Lerne die Kreis- und Kugelformeln besonders gut - sie tauchen in der Oberstufe ständig auf!

Potenz-, Wurzel- und Logarithmusgesetze

Diese Rechengesetze sind absolute Grundlagen für die Oberstufe! Bei Potenzgesetzen gilt: aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ und aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ.

Wurzelgesetze funktionieren ähnlich: √(ab) = √a · √b. Wichtig ist, dass Wurzeln nur für positive Zahlen definiert sind (außer bei ungeraden Wurzeln).

Logarithmusgesetze sind besonders wichtig: log(a·b) = log$a$ + log$b$ und log(aᵏ) = k·log$a$. Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenz.

Praxistipp: Übe diese Gesetze mit konkreten Zahlen - dann werden sie dir in der Analysis helfen!

Lineare und quadratische Funktionen

Lineare Funktionen f$x$ = mx + b sind deine Basis für alles Weitere! m ist die Steigung, b der y-Achsenabschnitt. Die Nullstelle findest du, indem du f$x$ = 0 setzt.

Quadratische Funktionen haben die Form f$x$ = ax² + bx + c. Der Streckungsfaktor a bestimmt, ob die Parabel gestreckt (a>1), gestaucht (0<a<1) oder nach unten geöffnet (a<0) ist.

Die Scheitelpunktform f$x$ = a$x-d$² + e ist super praktisch - du kannst den Scheitelpunkt direkt ablesen: S(d|e).

Klausurtipp: Lerne beide Formen auswendig und wie du zwischen ihnen umwandelst!

Nullstellen und quadratische Ergänzung

Nullstellen findest du mit der p-q-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$. Diese Formel funktioniert nur, wenn der Koeffizient vor x² gleich 1 ist!

Die quadratische Ergänzung hilft dir beim Umwandeln zwischen Normal- und Scheitelpunktform. Du addierst und subtrahierst $p/2$², um ein vollständiges Quadrat zu erhalten.

Wenn du die Scheitelpunktform hast, erkennst du sofort: Öffnungsrichtung, Streckung/Stauchung und die genaue Position des Scheitelpunkts.

Wichtig: Vergiss nicht, den Streckungsfaktor am Ende wieder zu multiplizieren!

Trigonometrische Funktionen

Sinus- und Kosinusfunktionen schwingen zwischen -1 und +1 mit einer Periode von 2π. Diese Funktionen beschreiben alle möglichen Schwingungen und Wellen.

Die allgemeine Form f$x$ = a·sin$b(x+c)$+d hat vier Parameter: Amplitude a (Schwingungsweite), Periode 2π/b, Phasenverschiebung c und Mittelwert d.

Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt und überlegst, wann sin$x$ bzw. cos$x$ null wird. Das sind bei Sinus alle Vielfachen von π, bei Kosinus alle ungeraden Vielfachen von π/2.

Merktipp: sin(0) = 0, cos(0) = 1 - das hilft dir bei der Orientierung!

Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen f$x$ = aˣ beschreiben Wachstums- und Zerfallsprozesse perfekt! Wenn die Basis a > 1 ist, wächst die Funktion, wenn 0 < a < 1, fällt sie.

Wachstumsprozesse berechnest du mit $1 + p/100$ᵗ, Zerfallsprozesse mit $1 - p/100$ᵗ. Die x-Achse ist immer eine Asymptote - die Funktion nähert sich ihr an, berührt sie aber nie.

Nullstellen gibt es nur bei verschobenen Exponentialfunktionen. Dann löst du mit dem Logarithmus: Wenn aˣ = b, dann ist x = log_a$b$.

Alltagsbezug: Zinswachstum, Bakterienwachstum, radioaktiver Zerfall - alles Exponentialfunktionen!

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Das Urnenmodell ist dein Grundwerkzeug für Wahrscheinlichkeitsaufgaben! Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändert sich die Anzahl der Kugeln bei jedem Zug.

Die Pfadregel ist genial einfach: Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizierst du, verschiedene Pfade zum gleichen Ergebnis addierst du.

Bei mehrstufigen Zufallsversuchen zeichnest du am besten ein Baumdiagramm. Jeder Ast zeigt eine Wahrscheinlichkeit, und du folgst den Pfaden zu deinem gewünschten Ergebnis.

Kontrolltipp: Alle Wahrscheinlichkeiten einer Stufe müssen zusammen 1 (oder 100%) ergeben!