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Mathe5.117 aufrufe·Aktualisiert 24. Juli 2026·13 SeitenMathematik Klasse 7: Themenübersicht und Zusammenfassung
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Kreis und Geraden
Stell dir vor, du zeichnest mit einem Zirkel einen perfekten Kreis - alle Punkte auf der Kreislinie haben den gleichen Abstand zum Mittelpunkt M. Dieser Abstand heißt Radius r, und der Durchmesser d ist genau doppelt so lang wie der Radius.
Es gibt vier wichtige Geraden am Kreis: Die Sekante schneidet den Kreis an zwei Punkten, die Tangente berührt ihn nur an einem Punkt, und die Passante verfehlt den Kreis komplett. Eine Sehne verbindet zwei Punkte auf dem Kreis miteinander.
Um den Mittelpunkt eines Kreises zu finden, zeichnest du zwei Sehnen und konstruierst deren Mittelsenkrechten. Wo sich diese schneiden, liegt der Mittelpunkt! Für Tangentenkonstruktionen brauchst du je nach Lage des Punktes unterschiedliche Methoden.
Merktipp: Der Durchmesser ist immer doppelt so lang wie der Radius .
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Winkel am Kreis
Peripheriewinkel haben ihren Scheitelpunkt auf dem Kreis und ihre Schenkel verlaufen durch zwei andere Kreispunkte. Das Coole daran: Alle Peripheriewinkel über dem gleichen Kreisbogen sind gleich groß!
Der Zentriwinkel hat seinen Scheitelpunkt im Mittelpunkt des Kreises. Er ist immer doppelt so groß wie jeder Peripheriewinkel über demselben Bogen - das ist der wichtige Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz.
Der Satz des Thales besagt etwas Faszinierendes: Jeder Winkel über dem Durchmesser eines Kreises ist ein rechter Winkel (90°). Bei einem Sehnenviereck (alle Eckpunkte liegen auf dem Kreis) ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu 180°.
Prüfungstipp: Thales-Satz ist super wichtig - Winkel über dem Durchmesser = 90°!
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Rationale Zahlen - Die Basics
Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die du als Bruch schreiben kannst - inklusive ihrer negativen "Spiegelbilder". Sie erweitern deinen Zahlenbereich um alle negativen Zahlen und Brüche.
Entgegengesetzte Zahlen entstehen durch Spiegelung an der Null auf der Zahlengerade. Der Betrag einer Zahl |a| gibt an, wie weit sie von der Null entfernt ist - ohne Vorzeichen zu beachten.
Beim Vergleichen rationaler Zahlen gilt: Die Zahl, die auf der Zahlengerade weiter links steht, ist kleiner. So ist -5,4 < -5, weil -5,4 weiter links liegt.
Eselsbrücke: Der Betrag ist immer positiv - er misst nur die "Entfernung" zur Null!
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Rechnen mit rationalen Zahlen
Bei der Addition mit gleichen Vorzeichen addierst du die Beträge und behältst das Vorzeichen bei. Bei verschiedenen Vorzeichen subtrahierst du die Beträge und das Ergebnis bekommt das Vorzeichen der größeren Zahl.
Subtraktion funktioniert clever: Du addierst einfach die entgegengesetzte Zahl! So wird - zu + = +5.
Beim Potenzieren negativer Zahlen entscheidet der Exponent: Ist er gerade, wird das Ergebnis positiv. Ist er ungerade, bleibt es negativ. Bei Multiplikation und Division gelten die Vorzeichenregeln: gleiche Vorzeichen = positiv, verschiedene Vorzeichen = negativ.
Wichtig: Das Distributivgesetz a· = a·b + a·c funktioniert auch mit negativen Zahlen!
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Gleichungen lösen
Eine Gleichung lösen bedeutet, alle Zahlen zu finden, die eingesetzt eine wahre Aussage ergeben. Du kannst durch systematisches Probieren verschiedene Werte einsetzen oder eleganter durch Äquivalenzumformungen arbeiten.
Äquivalenzumformungen sind Rechenoperationen, die du auf beiden Seiten der Gleichung durchführst, ohne den Wahrheitswert zu ändern. So isolierst du schrittweise die Variable.
Bei Betragsgleichungen wie |x| = 4 gibt es meist zwei Lösungen: x₁ = 4 und x₂ = -4. Verhältnisgleichungen löst du durch "über Kreuz multiplizieren".
Profi-Tipp: Bei Gleichungen der Form T₁ · T₂ = 0 setzt du jeden Faktor einzeln gleich null!
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Ungleichungen und Textaufgaben
Ungleichungen löst du genauso wie Gleichungen, aber Achtung: Wenn du durch eine negative Zahl dividierst, dreht sich das Relationszeichen um! Aus < wird > und umgekehrt.
Beim Umstellen von Formeln behandelst du die gesuchte Größe wie eine Variable und wendest Äquivalenzumformungen an, bis sie allein steht.
Textaufgaben packst du systematisch an: Sachverhalt verstehen, Variable festlegen, Gleichung aufstellen, lösen und das Ergebnis prüfen. Mit dieser Methode knackst du jede Textaufgabe!
Merkhilfe: Division durch negative Zahlen dreht das Ungleichheitszeichen um!
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Prozentrechnung
Prozent bedeutet "von hundert" - 1% = 1/100 = 0,01. Du kannst Anteile als Bruch, Dezimalzahl oder in Prozent angeben und beliebig zwischen diesen Formen wechseln.
Die drei Grundgrößen sind: Grundwert G (das Ganze), Prozentwert W (der Anteil) und Prozentsatz p% (der Anteil in Prozent). Sie hängen zusammen: W/G = p%/100%.
Für die Grundaufgaben gibt es klare Formeln: W = G·p/100 (Prozentwert berechnen), G = W·100/p (Grundwert berechnen) und p = W/G·100 (Prozentsatz berechnen). Diese Formeln sind dein Werkzeug für alle Prozentaufgaben.
Alltagstipp: Prozentrechnung begegnet dir überall - von Rabatten bis zu Zinsen!
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Wir dachten schon, du fragst nie...
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Kreis und Geraden
Stell dir vor, du zeichnest mit einem Zirkel einen perfekten Kreis - alle Punkte auf der Kreislinie haben den gleichen Abstand zum Mittelpunkt M. Dieser Abstand heißt Radius r, und der Durchmesser d ist genau doppelt so lang wie der Radius.
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Merktipp: Der Durchmesser ist immer doppelt so lang wie der Radius .
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Winkel am Kreis
Peripheriewinkel haben ihren Scheitelpunkt auf dem Kreis und ihre Schenkel verlaufen durch zwei andere Kreispunkte. Das Coole daran: Alle Peripheriewinkel über dem gleichen Kreisbogen sind gleich groß!
Der Zentriwinkel hat seinen Scheitelpunkt im Mittelpunkt des Kreises. Er ist immer doppelt so groß wie jeder Peripheriewinkel über demselben Bogen - das ist der wichtige Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz.
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Ungleichungen löst du genauso wie Gleichungen, aber Achtung: Wenn du durch eine negative Zahl dividierst, dreht sich das Relationszeichen um! Aus < wird > und umgekehrt.
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Prozent bedeutet "von hundert" - 1% = 1/100 = 0,01. Du kannst Anteile als Bruch, Dezimalzahl oder in Prozent angeben und beliebig zwischen diesen Formen wechseln.
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