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Mathe

Funktionen und analysis

Lineare funktionen

Geradengleichung aus zwei punkten

861

•

9. Feb. 2021

•

13 Seiten

Funktionsgleichung und Schnittpunkte einfach erklärt - Mit Kerzen-Brenndauer Infos!

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𝐀𝐍𝐍𝐈𝐊𝐀

@annika.w

Lerne, wie du eine Funktionsgleichung bestimmst und Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnest. Übe mit Lineare Funktionen, Graphen und 2 Punkten. Finde heraus, wie lange eine Bienenwachskerze oder ein Teelicht brennt. Lass uns zusammen Spaß haben beim Rechnen!

form! Nr. 3: b) gigie filx) = 4x + A 2 S... 3.4. (ges. S(x₂12₂) A3: 919 A4: 313 3. Klassenarbeit: f₂(x) = -0,25 x + 2,5 Ansatz: f(x) - f₂(x)

Aufgabe 5: Koordinate eines Punktes auf einer linearen Funktion bestimmen

Gegeben ist die lineare Funktion fxx = 5x - 4. Ein Punkt Qxa∣−1xa|-1 liegt auf dem Graphen von f. Die fehlende x-Koordinate soll bestimmt werden.

Example: Einsetzen des y-Wertes in die Funktionsgleichung: -1 = 5xa - 4 3 = 5xa xa = 3/5

form! Nr. 3: b) gigie filx) = 4x + A 2 S... 3.4. (ges. S(x₂12₂) A3: 919 A4: 313 3. Klassenarbeit: f₂(x) = -0,25 x + 2,5 Ansatz: f(x) - f₂(x)

Aufgabe 3: Graphen linearer Funktionen zeichnen und Schnittpunkt berechnen

Diese Aufgabe behandelt zwei lineare Funktionen: f₁xx = x + 1 und f₂xx = -0,25x + 2,5

a) Die Schüler sollen die Graphen beider Funktionen in ein Koordinatensystem einzeichnen und dabei Steigungsdreiecke verwenden.

b) Es soll rechnerisch nachgewiesen werden, dass der Punkt S2∣22|2 der Schnittpunkt der beiden Geraden ist.

Highlight: Das Einzeichnen von Steigungsdreiecken hilft, die Steigung der Geraden korrekt darzustellen.

Example: Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt man die Funktionsgleichungen gleich: x + 1 = -0,25x + 2,5 1,25x = 1,5 x = 1,2 f₁1,21,2 = 1,2 + 1 = 2,2

form! Nr. 3: b) gigie filx) = 4x + A 2 S... 3.4. (ges. S(x₂12₂) A3: 919 A4: 313 3. Klassenarbeit: f₂(x) = -0,25 x + 2,5 Ansatz: f(x) - f₂(x)

Aufgabe 4: Parallele Gerade durch den Koordinatenursprung

In dieser Aufgabe soll eine Gleichung für eine Gerade h gefunden werden, die parallel zu fxx = -x - 10 verläuft und durch den Koordinatenursprung 0∣00|0 geht.

Vocabulary: Parallele Geraden haben die gleiche Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte.

Example: Die gesuchte Gleichung lautet hxx = -x, da sie die gleiche Steigung wie fxx hat, aber durch den Ursprung geht.

form! Nr. 3: b) gigie filx) = 4x + A 2 S... 3.4. (ges. S(x₂12₂) A3: 919 A4: 313 3. Klassenarbeit: f₂(x) = -0,25 x + 2,5 Ansatz: f(x) - f₂(x)

Aufgabe 2: Funktionsgleichungen linearer Funktionen

In dieser Aufgabe werden drei Geraden im Koordinatensystem dargestellt, die Graphen linearer Funktionen sind.

Die Schüler sollen für jede Gerade eine passende Funktionsgleichung angeben:

  • fxx = 3x - 2
  • gxx = x + 1
  • hxx = 2

Beispiel: Die Gerade hxx = 2 verläuft parallel zur x-Achse und schneidet die y-Achse bei 2.

Vocabulary: Lineare Funktion - Eine Funktion der Form fxx = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.

form! Nr. 3: b) gigie filx) = 4x + A 2 S... 3.4. (ges. S(x₂12₂) A3: 919 A4: 313 3. Klassenarbeit: f₂(x) = -0,25 x + 2,5 Ansatz: f(x) - f₂(x)

Aufgabe 6: Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen

a) Es soll eine Gleichung der Geraden g bestimmt werden, die durch die Punkte P−4,5∣−2-4,5|-2 und Q−2∣3-2|3 verläuft.

b) Anschließend soll geprüft werden, ob der Punkt R−3∣5-3|5 auf dieser Geraden liegt.

Highlight: Die Steigung m kann mit der Formel m = y2−y1y₂ - y₁ / x2−x1x₂ - x₁ berechnet werden.

Example: m = 3−(−23 - (-2) / −2−(−4,5-2 - (-4,5) = 5 / 2,5 = 2 gxx = 2x + b Einsetzen von P: -2 = 2−4,5-4,5 + b → b = 7 gxx = 2x + 7

form! Nr. 3: b) gigie filx) = 4x + A 2 S... 3.4. (ges. S(x₂12₂) A3: 919 A4: 313 3. Klassenarbeit: f₂(x) = -0,25 x + 2,5 Ansatz: f(x) - f₂(x)

Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe zur Brenndauer einer Kerze

Diese Aufgabe behandelt eine Kerze, die anfangs 15 cm hoch ist und pro Minute um 3 mm abbrennt.

a) Eine Wertetabelle soll vervollständigt werden.

b) Aus der Wertetabelle soll die Gleichung der linearen Funktion h bestimmt werden, die die Kerzenhöhe in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.

c) Mit der Funktionsgleichung soll die Höhe der Kerze nach 10 Minuten berechnet werden.

d) Die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen sollen bestimmt und im Sachzusammenhang gedeutet werden.

Vocabulary: Brenndauer - Die Zeit, die eine Kerze brennt, bis sie vollständig abgebrannt ist.

Example: Funktionsgleichung: hxx = -3x + 150 xinMinuten,h(xx in Minuten, h(x in mm)

Highlight: Der Schnittpunkt mit der y-Achse 0∣1500|150 gibt die Anfangshöhe der Kerze an, der Schnittpunkt mit der x-Achse 50∣050|0 die Brenndauer bis zum vollständigen Abbrennen.

form! Nr. 3: b) gigie filx) = 4x + A 2 S... 3.4. (ges. S(x₂12₂) A3: 919 A4: 313 3. Klassenarbeit: f₂(x) = -0,25 x + 2,5 Ansatz: f(x) - f₂(x)

Aufgabe 1: Graphische Darstellung einer Fahrradtour

Diese Aufgabe befasst sich mit der graphischen Interpretation einer Alltagssituation.

a) Es werden verschiedene Graphen zur Auswahl gestellt, die die Entfernung zu Maxis Wohnung in Abhängigkeit von der Zeit darstellen sollen.

b) Weitere Graphen zeigen die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit.

c) Die Schüler sollen erkennen, welche der gezeigten Graphen keine Funktionen darstellen und dies begründen.

Highlight: Diese Aufgabe schult das Verständnis für die graphische Darstellung von Funktionen im Alltag.

Definition: Eine Funktion ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Graphen, bei denen einem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet sind, stellen keine Funktionen dar.

form! Nr. 3: b) gigie filx) = 4x + A 2 S... 3.4. (ges. S(x₂12₂) A3: 919 A4: 313 3. Klassenarbeit: f₂(x) = -0,25 x + 2,5 Ansatz: f(x) - f₂(x)
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4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Aufgabe 5: Koordinate eines Punktes auf einer linearen Funktion bestimmen

Gegeben ist die lineare Funktion fxx = 5x - 4. Ein Punkt Qxa∣−1xa|-1 liegt auf dem Graphen von f. Die fehlende x-Koordinate soll bestimmt werden.

Example: Einsetzen des y-Wertes in die Funktionsgleichung: -1 = 5xa - 4 3 = 5xa xa = 3/5

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Aufgabe 3: Graphen linearer Funktionen zeichnen und Schnittpunkt berechnen

Diese Aufgabe behandelt zwei lineare Funktionen: f₁xx = x + 1 und f₂xx = -0,25x + 2,5

a) Die Schüler sollen die Graphen beider Funktionen in ein Koordinatensystem einzeichnen und dabei Steigungsdreiecke verwenden.

b) Es soll rechnerisch nachgewiesen werden, dass der Punkt S2∣22|2 der Schnittpunkt der beiden Geraden ist.

Highlight: Das Einzeichnen von Steigungsdreiecken hilft, die Steigung der Geraden korrekt darzustellen.

Example: Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt man die Funktionsgleichungen gleich: x + 1 = -0,25x + 2,5 1,25x = 1,5 x = 1,2 f₁1,21,2 = 1,2 + 1 = 2,2

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Aufgabe 4: Parallele Gerade durch den Koordinatenursprung

In dieser Aufgabe soll eine Gleichung für eine Gerade h gefunden werden, die parallel zu fxx = -x - 10 verläuft und durch den Koordinatenursprung 0∣00|0 geht.

Vocabulary: Parallele Geraden haben die gleiche Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte.

Example: Die gesuchte Gleichung lautet hxx = -x, da sie die gleiche Steigung wie fxx hat, aber durch den Ursprung geht.

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Aufgabe 2: Funktionsgleichungen linearer Funktionen

In dieser Aufgabe werden drei Geraden im Koordinatensystem dargestellt, die Graphen linearer Funktionen sind.

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  • fxx = 3x - 2
  • gxx = x + 1
  • hxx = 2

Beispiel: Die Gerade hxx = 2 verläuft parallel zur x-Achse und schneidet die y-Achse bei 2.

Vocabulary: Lineare Funktion - Eine Funktion der Form fxx = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.

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Aufgabe 6: Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen

a) Es soll eine Gleichung der Geraden g bestimmt werden, die durch die Punkte P−4,5∣−2-4,5|-2 und Q−2∣3-2|3 verläuft.

b) Anschließend soll geprüft werden, ob der Punkt R−3∣5-3|5 auf dieser Geraden liegt.

Highlight: Die Steigung m kann mit der Formel m = y2−y1y₂ - y₁ / x2−x1x₂ - x₁ berechnet werden.

Example: m = 3−(−23 - (-2) / −2−(−4,5-2 - (-4,5) = 5 / 2,5 = 2 gxx = 2x + b Einsetzen von P: -2 = 2−4,5-4,5 + b → b = 7 gxx = 2x + 7

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Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe zur Brenndauer einer Kerze

Diese Aufgabe behandelt eine Kerze, die anfangs 15 cm hoch ist und pro Minute um 3 mm abbrennt.

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b) Aus der Wertetabelle soll die Gleichung der linearen Funktion h bestimmt werden, die die Kerzenhöhe in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.

c) Mit der Funktionsgleichung soll die Höhe der Kerze nach 10 Minuten berechnet werden.

d) Die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen sollen bestimmt und im Sachzusammenhang gedeutet werden.

Vocabulary: Brenndauer - Die Zeit, die eine Kerze brennt, bis sie vollständig abgebrannt ist.

Example: Funktionsgleichung: hxx = -3x + 150 xinMinuten,h(xx in Minuten, h(x in mm)

Highlight: Der Schnittpunkt mit der y-Achse 0∣1500|150 gibt die Anfangshöhe der Kerze an, der Schnittpunkt mit der x-Achse 50∣050|0 die Brenndauer bis zum vollständigen Abbrennen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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