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Mathe

28. Nov. 2025

2.244

8 Seiten

Mathe Klausur: Kurvendiskussion und Extremwertaufgaben

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nunu @nunu_klaj

Hier ist deine komplette Klausur aus Mathe - ein echtes Workout für dein Gehirn! Von Altersrätseln über Ableitungen... Mehr anzeigen

Teil A:
Hilfsmittelfreier Teil
*   Schreibe sämtliche Rechnungen auf die Klausurbögen (Korrekturrand beachten).
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Klausuraufgaben - Überblick

Diese Mathe-Klausur zeigt dir, wie vielseitig Analysis sein kann. Du musst sowohl ohne als auch mit Taschenrechner arbeiten können - eine wichtige Fähigkeit für dein Abi.

Teil A testet deine Grundfertigkeiten ohne Hilfsmittel. Das Gauss-Verfahren für Gleichungssysteme und Ableitungsregeln sind hier die Stars. Diese 25 Minuten entscheiden oft schon über deine Note.

Teil B wird richtig interessant mit echten Anwendungsproblemen. Hier siehst du, warum Mathe nicht nur graue Theorie ist - von Skisprungschanzen bis zu Glasscheiben-Optimierung.

Tipp Die ersten 25 Minuten sind entscheidend - übe Ableitungen und Gleichungssysteme, bis sie automatisch laufen!

Teil A:
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Gleichungssysteme und das Gauss-Verfahren

Das Altersrätsel zeigt perfekt, wie du komplexe Textaufgaben angehst. Du musst vier Unbekannte (Nina, Anna, Lars, Paul) aus vier Bedingungen bestimmen.

Der Schlüssel liegt darin, systematisch Gleichungen aufzustellen. Nina = Paul + 2, Anna vor zwei Jahren = 2 × Lars vor zwei Jahren, und so weiter. Das sieht erstmal chaotisch aus, aber mit dem Gauss-Verfahren bringst du Ordnung ins System.

Die Matrixdarstellung macht alles übersichtlicher. Du arbeitest Zeile für Zeile und eliminierst Variablen, bis du eine Treppenfrom erhältst. Am Ende sind alle vier 15 Jahre alt - ein schönes symmetrisches Ergebnis.

Merksatz Textaufgaben sind nur verkappte Gleichungssysteme - übersetze die Wörter in Mathematik!

Teil A:
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Ableitungsregeln - Das Handwerkszeug

Ableitungen sind dein wichtigstes Werkzeug in der Analysis. Hier musst du die Produktregel und Quotientenregel sicher beherrschen.

Bei f(x) = 3x42x3x⁴ - 2x · 4x² multiplizierst du erst aus, dann leitest ab - viel einfacher als die Produktregel. Bei der Quotientenregel für g(x) = x3+2x³+2/x21x²-1 wird's kniffliger Za¨hler×NennerZa¨hler×NennerZähler' × Nenner - Zähler × Nenner' / Nenner².

Die Kettenregel bei i(x) = x3+7x³+7² ist eigentlich entspannt äußere Ableitung mal innere Ableitung. Das ergibt 2x3+7x³+7 × 3x² = 6x²x3+7x³+7.

Profi-Tipp Vereinfache vor dem Ableiten - das spart Zeit und Fehler!

Teil A:
Hilfsmittelfreier Teil
*   Schreibe sämtliche Rechnungen auf die Klausurbögen (Korrekturrand beachten).
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Anwendungen - Skipiste und Volleyball

Jetzt wird Mathe richtig praktisch! Die Skisprungschanze zeigt, wie du aus gegebenen Bedingungen eine Funktion bestimmst.

Du hast vier Bedingungen f(0) = 80, f(100) = 0, f'(0) = -0,1 und f'(100) = 0. Das ergibt ein kubisches Polynom - perfekt für eine sanfte Kurve. Die Wendestelle verrät dir, wo die Neigung am größten ist.

Beim Volleyball modellierst du eine Parabel. Der Ball startet bei 2,5m Höhe im 45°-Winkel und landet bei 1m Höhe. Die Steigung am Anfang ist tan(45°) = 1, am Ende 0. Das ergibt f(x) = 0,0075x³ - 0,135x² + 0,45x + 2,5.

Real-World-Check Physikalische Probleme haben meist schöne mathematische Lösungen!

Teil A:
Hilfsmittelfreier Teil
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Optimierung - Maximum finden

Das Glasscheiben-Problem ist pure Optimierung - typisch für Extremwertaufgaben im Abi.

Du suchst das größte rechteckige Stück aus einer beschädigten Glasscheibe. Die Nebenbedingung kommt von der schrägen Bruchkante sie begrenzt deine Möglichkeiten.

Die Zielfunktion A = L × B wird durch die Nebenbedingung zu A(L). Dann leitest du ab, setzt A'(L) = 0 und findest das Maximum. Die zweite Ableitung beweist, dass es wirklich ein Maximum ist.

Bei solchen Aufgaben ist die Skizze gold wert - sie hilft dir, die Zusammenhänge zu verstehen und Fehler zu vermeiden.

Optimierungs-Trick Immer erst skizzieren, dann rechnen - so verlierst du nie den Überblick!

Teil A:
Hilfsmittelfreier Teil
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mathe Klausur: Kurvendiskussion und Extremwertaufgaben

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Klausuraufgaben - Überblick

Diese Mathe-Klausur zeigt dir, wie vielseitig Analysis sein kann. Du musst sowohl ohne als auch mit Taschenrechner arbeiten können - eine wichtige Fähigkeit für dein Abi.

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Tipp: Die ersten 25 Minuten sind entscheidend - übe Ableitungen und Gleichungssysteme, bis sie automatisch laufen!

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Die Matrixdarstellung macht alles übersichtlicher. Du arbeitest Zeile für Zeile und eliminierst Variablen, bis du eine Treppenfrom erhältst. Am Ende sind alle vier 15 Jahre alt - ein schönes symmetrisches Ergebnis.

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Ableitungsregeln - Das Handwerkszeug

Ableitungen sind dein wichtigstes Werkzeug in der Analysis. Hier musst du die Produktregel und Quotientenregel sicher beherrschen.

Bei f(x) = 3x42x3x⁴ - 2x · 4x² multiplizierst du erst aus, dann leitest ab - viel einfacher als die Produktregel. Bei der Quotientenregel für g(x) = x3+2x³+2/x21x²-1 wird's kniffliger: Za¨hler×NennerZa¨hler×NennerZähler' × Nenner - Zähler × Nenner' / Nenner².

Die Kettenregel bei i(x) = x3+7x³+7² ist eigentlich entspannt: äußere Ableitung mal innere Ableitung. Das ergibt 2x3+7x³+7 × 3x² = 6x²x3+7x³+7.

Profi-Tipp: Vereinfache vor dem Ableiten - das spart Zeit und Fehler!

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Anwendungen - Skipiste und Volleyball

Jetzt wird Mathe richtig praktisch! Die Skisprungschanze zeigt, wie du aus gegebenen Bedingungen eine Funktion bestimmst.

Du hast vier Bedingungen: f(0) = 80, f(100) = 0, f'(0) = -0,1 und f'(100) = 0. Das ergibt ein kubisches Polynom - perfekt für eine sanfte Kurve. Die Wendestelle verrät dir, wo die Neigung am größten ist.

Beim Volleyball modellierst du eine Parabel. Der Ball startet bei 2,5m Höhe im 45°-Winkel und landet bei 1m Höhe. Die Steigung am Anfang ist tan(45°) = 1, am Ende 0. Das ergibt f(x) = 0,0075x³ - 0,135x² + 0,45x + 2,5.

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Die Zielfunktion A = L × B wird durch die Nebenbedingung zu A(L). Dann leitest du ab, setzt A'(L) = 0 und findest das Maximum. Die zweite Ableitung beweist, dass es wirklich ein Maximum ist.

Bei solchen Aufgaben ist die Skizze gold wert - sie hilft dir, die Zusammenhänge zu verstehen und Fehler zu vermeiden.

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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Sudenaz Ocak

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Sudenaz Ocak

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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