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Aktualisiert Mar 9, 2026

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Einführung in Ableitungen

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Nele Trienekens

@nele_trie

Ableitungen sind ein Grundbaustein der Analysis - sie zeigen dir,... Mehr anzeigen

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# ABLEITUNGEN

=> Steigung der Funktion

Ableitungen von ganzcationalen Funktionen

$f(x) = x^n$
$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$

Ableitung bilden

Grundlagen der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion gibt dir die Steigung an jeder beliebigen Stelle. Das ist super praktisch, um zu verstehen, ob eine Funktion gerade steigt oder fällt.

Die wichtigste Regel kennst du bestimmt schon: Für f(x) = x^n ist f'(x) = n · x^n1n-1. Du ziehst also die Hochzahl vor und verringerst sie um 1. Konstanten wie f(x) = 5 verschwinden komplett - ihre Ableitung ist 0.

Bei charakteristischen Punkten hilft dir das graphische Ableiten enorm. Extrempunkte der Originalfunktion werden zu Nullstellen der Ableitung. Wendepunkte werden zu Extrempunkten der Ableitung. Steigt der Graph, ist f'(x) positiv oberhalbderxAchseoberhalb der x-Achse. Fällt er, ist f'(x) negativ.

Merktipp: Wo der ursprüngliche Graph waagerecht verläuft Hoch/TiefpunktHoch-/Tiefpunkt, schneidet die Ableitung die x-Achse!

# ABLEITUNGEN

=> Steigung der Funktion

Ableitungen von ganzcationalen Funktionen

$f(x) = x^n$
$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$

Ableitung bilden

Extrempunkte und Wendepunkte berechnen

Um Hoch-, Tief- und Sattelpunkte zu finden, gehst du systematisch vor: Erst die Ableitung bilden, dann deren Nullstellen berechnen, und schließlich diese x-Werte in die Ursprungsfunktion einsetzen.

Für die Unterscheidung zwischen Hoch- und Tiefpunkt brauchst du die zweite Ableitung. Die notwendige Bedingung ist f'(x) = 0. Die hinreichende Bedingung prüfst du mit f''(x): Ist das Ergebnis größer als 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist es kleiner als 0, einen Hochpunkt.

Wendepunkte findest du über die zweite Ableitung. Dort wo f''(x) = 0 ist, ändert die Funktion ihre Krümmung. Die hinreichende Bedingung erfüllst du, wenn f'''(x) ≠ 0 ist. Im Wendepunkt wechselt die Funktion von links- zu rechtsgekrümmt oder umgekehrt.

Eselsbrücke: f''(x) > 0 bedeutet linksgekrümmt (wie ein lächelnder Mund) → Tiefpunkt möglich!

# ABLEITUNGEN

=> Steigung der Funktion

Ableitungen von ganzcationalen Funktionen

$f(x) = x^n$
$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$

Ableitung bilden

Tangentengleichung und mittlere Änderungsrate

Die Tangentengleichung an einem bestimmten Punkt zu bestimmen ist eigentlich ganz einfach. Du setzt den gegebenen x-Wert in beide Funktionen ein: in f(x) für den Punkt und in f'(x) für die Steigung.

Mit der Geradengleichung y = mx + b kannst du dann alles zusammensetzen. Die Steigung m hast du bereits, den Punkt auch - jetzt nur noch nach b auflösen und fertig ist deine Tangente.

Der Differenzenquotient zeigt dir die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten. Das ist wie die Steigung einer Sekante, die den Graphen in zwei Punkten schneidet. Die Formel f(b)f(a)f(b) - f(a)/bab - a gibt dir den Durchschnittswert der Steigung im Intervall [a;b].

Praxistipp: Die Tangente berührt den Graphen nur in einem Punkt, die Sekante schneidet ihn in zwei Punkten!



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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

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Mathe

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N

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@nele_trie

Ableitungen sind ein Grundbaustein der Analysis - sie zeigen dir, wie steil eine Funktion an jeder Stelle ist. Mit ihnen kannst du Hoch- und Tiefpunkte finden und verstehen, wie sich Funktionen verhalten.

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=> Steigung der Funktion

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$f(x) = x^n$
$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$

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Grundlagen der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion gibt dir die Steigung an jeder beliebigen Stelle. Das ist super praktisch, um zu verstehen, ob eine Funktion gerade steigt oder fällt.

Die wichtigste Regel kennst du bestimmt schon: Für f(x) = x^n ist f'(x) = n · x^n1n-1. Du ziehst also die Hochzahl vor und verringerst sie um 1. Konstanten wie f(x) = 5 verschwinden komplett - ihre Ableitung ist 0.

Bei charakteristischen Punkten hilft dir das graphische Ableiten enorm. Extrempunkte der Originalfunktion werden zu Nullstellen der Ableitung. Wendepunkte werden zu Extrempunkten der Ableitung. Steigt der Graph, ist f'(x) positiv oberhalbderxAchseoberhalb der x-Achse. Fällt er, ist f'(x) negativ.

Merktipp: Wo der ursprüngliche Graph waagerecht verläuft Hoch/TiefpunktHoch-/Tiefpunkt, schneidet die Ableitung die x-Achse!

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Extrempunkte und Wendepunkte berechnen

Um Hoch-, Tief- und Sattelpunkte zu finden, gehst du systematisch vor: Erst die Ableitung bilden, dann deren Nullstellen berechnen, und schließlich diese x-Werte in die Ursprungsfunktion einsetzen.

Für die Unterscheidung zwischen Hoch- und Tiefpunkt brauchst du die zweite Ableitung. Die notwendige Bedingung ist f'(x) = 0. Die hinreichende Bedingung prüfst du mit f''(x): Ist das Ergebnis größer als 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist es kleiner als 0, einen Hochpunkt.

Wendepunkte findest du über die zweite Ableitung. Dort wo f''(x) = 0 ist, ändert die Funktion ihre Krümmung. Die hinreichende Bedingung erfüllst du, wenn f'''(x) ≠ 0 ist. Im Wendepunkt wechselt die Funktion von links- zu rechtsgekrümmt oder umgekehrt.

Eselsbrücke: f''(x) > 0 bedeutet linksgekrümmt (wie ein lächelnder Mund) → Tiefpunkt möglich!

# ABLEITUNGEN

=> Steigung der Funktion

Ableitungen von ganzcationalen Funktionen

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Tangentengleichung und mittlere Änderungsrate

Die Tangentengleichung an einem bestimmten Punkt zu bestimmen ist eigentlich ganz einfach. Du setzt den gegebenen x-Wert in beide Funktionen ein: in f(x) für den Punkt und in f'(x) für die Steigung.

Mit der Geradengleichung y = mx + b kannst du dann alles zusammensetzen. Die Steigung m hast du bereits, den Punkt auch - jetzt nur noch nach b auflösen und fertig ist deine Tangente.

Der Differenzenquotient zeigt dir die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten. Das ist wie die Steigung einer Sekante, die den Graphen in zwei Punkten schneidet. Die Formel f(b)f(a)f(b) - f(a)/bab - a gibt dir den Durchschnittswert der Steigung im Intervall [a;b].

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

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