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Mathematik

Eigenschaften von Funktionsgraphen

Kritische Punkte

Mathe2.387Aktualisiert 1. Okt. 20263 Seiten

Einführung in Ableitungen

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Nele Trienekens@nele_trie
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Ableitungen sind ein Grundbaustein der Analysis - sie zeigen dir, wie steil eine Funktion an jeder Stelle ist. Mit ihnen kannst du Hoch- und Tiefpunkte finden und verstehen, wie sich Funktionen verhalten.
Ableitungen – Seite 1

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Grundlagen der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion gibt dir die Steigung an jeder beliebigen Stelle. Das ist super praktisch, um zu verstehen, ob eine Funktion gerade steigt oder fällt.

Die wichtigste Regel kennst du bestimmt schon: Für fxx = x^n ist f'xx = n · x^n−1n-1. Du ziehst also die Hochzahl vor und verringerst sie um 1. Konstanten wie fxx = 5 verschwinden komplett - ihre Ableitung ist 0.

Bei charakteristischen Punkten hilft dir das graphische Ableiten enorm. Extrempunkte der Originalfunktion werden zu Nullstellen der Ableitung. Wendepunkte werden zu Extrempunkten der Ableitung. Steigt der Graph, ist f'xx positiv (oberhalb der x-Achse). Fällt er, ist f'xx negativ.

Merktipp: Wo der ursprüngliche Graph waagerecht verläuft (Hoch-/Tiefpunkt), schneidet die Ableitung die x-Achse!

Ableitungen – Seite 2

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Extrempunkte und Wendepunkte berechnen

Um Hoch-, Tief- und Sattelpunkte zu finden, gehst du systematisch vor: Erst die Ableitung bilden, dann deren Nullstellen berechnen, und schließlich diese x-Werte in die Ursprungsfunktion einsetzen.

Für die Unterscheidung zwischen Hoch- und Tiefpunkt brauchst du die zweite Ableitung. Die notwendige Bedingung ist f'xx = 0. Die hinreichende Bedingung prüfst du mit f''xx: Ist das Ergebnis größer als 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist es kleiner als 0, einen Hochpunkt.

Wendepunkte findest du über die zweite Ableitung. Dort wo f''xx = 0 ist, ändert die Funktion ihre Krümmung. Die hinreichende Bedingung erfüllst du, wenn f'''xx ≠ 0 ist. Im Wendepunkt wechselt die Funktion von links- zu rechtsgekrümmt oder umgekehrt.

Eselsbrücke: f''xx > 0 bedeutet linksgekrümmt (wie ein lächelnder Mund) → Tiefpunkt möglich!

Ableitungen – Seite 3

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Tangentengleichung und mittlere Änderungsrate

Die Tangentengleichung an einem bestimmten Punkt zu bestimmen ist eigentlich ganz einfach. Du setzt den gegebenen x-Wert in beide Funktionen ein: in fxx für den Punkt und in f'xx für die Steigung.

Mit der Geradengleichung y = mx + b kannst du dann alles zusammensetzen. Die Steigung m hast du bereits, den Punkt auch - jetzt nur noch nach b auflösen und fertig ist deine Tangente.

Der Differenzenquotient zeigt dir die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten. Das ist wie die Steigung einer Sekante, die den Graphen in zwei Punkten schneidet. Die Formel f(b)−f(a)f(b) - f(a)/b−ab - a gibt dir den Durchschnittswert der Steigung im Intervall [a;b].

Praxistipp: Die Tangente berührt den Graphen nur in einem Punkt, die Sekante schneidet ihn in zwei Punkten!

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