Fächer
Bedeutende Theaterstücke der deutschen Literatur
Deutsche Kulturelle Identität
Deutsche Dichter und Lyrik
Deutsche Bildungsliteratur
Goethes Hauptwerke
Deutsche Kunstströmungen und Bewegungen
Deutsche Kurzgeschichten der Nachkriegszeit
Deutsche Sprachgrundlagen
Kafkas Hauptwerke
Moderne Deutsche Familienstrukturen
Alle Themen anzeigen
Neuronale Kommunikationssysteme
RNA-Biologie und Genexpression
Zellulärer Energiestoffwechsel
Autotrophe Energieprozesse
Membranumschlossene Organellen
Ökologische Systeme und Wechselwirkungen
DNA-Replikation und -Reparatur
Organsysteme des Menschen
Vererbungsmuster und Vererbungsprinzipien
Enzymstruktur und -regulation
Alle Themen anzeigen
Classic and Contemporary Novels
Literary Character Analysis
Verb Forms and Functions
Classic Dramatic Literature
Thesis Development and Structure
Rhetorical Theory and Practice
Evidence Analysis and Integration
Common Expression Pairs
English Language Components
Reading Analysis and Interpretation
Alle Themen anzeigen
Eigenschaften von Funktionsgraphen
Quadratische Ausdrücke und Formen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Zufallsvariablen
Grundlegende Ableitungsregeln
Lineare Gleichungen und Graphen
Methoden der Funktionsoptimierung
Flächenberechnungsmethoden mit Integralen
Geometrische Systeme und Modelle
Ableitungen und Anwendungen
Eigenschaften von Potenzen und Logarithmen
Alle Themen anzeigen
Nationalsozialismus und Holocaust 1933-1945
Deutsche Sozialbewegungen und gesellschaftlicher Wandel
Moderne Demokratische Revolutionen
Weltkriege und Friedensverträge
Europäische Monarchen und Staatsmänner
Globale Spannungen im Kalten Krieg
Die Europäische Renaissance und Aufklärung
Historische Quellen und Dokumentation
Die Ära der Weltkriege und ihre Auswirkungen
Moderne Militärische Konflikte
Alle Themen anzeigen
426
•
8. Feb. 2026
•
der weihnachtsmann
@weihnachtsmann
Mathe kann manchmal echt kompliziert wirken, aber mit den richtigen... Mehr anzeigen
Du hast zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und fragst dich, wie du x und y findest? Kein Problem - es gibt drei einfache Methoden, die immer funktionieren!
Option 1: Gleiche Variable, gleiches Vorzeichen - Du ziehst einfach eine Gleichung von der anderen ab. Beispiel: 2x + 3y = 23 minus 2x + 2y = 16 ergibt y = 7. Dann setzt du y in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und rechnest x aus.
Option 2: Gleiche Variable, unterschiedliche Vorzeichen - Hier addierst du beide Gleichungen. Bei 5x + 3y = 32 und -5x + 7y = 48 fallen die x-Terme weg und du bekommst direkt 10y = 80, also y = 8.
Option 3: Ungleiche Variablen - Multipliziere eine Gleichung so, dass du gleiche Variablen bekommst, dann wendest du Option 1 oder 2 an. Das klingt komplizierter als es ist!
Tipp: Wähle immer die Methode, die am wenigsten Rechenschritte braucht - das spart Zeit und Fehler!
Parabeln sind überall um uns herum - von Brücken bis zu Basketballwürfen! Eine quadratische Funktion hat die Form f(x) = x² und kann auf verschiedene Weise verändert werden.
Verschiebungen sind super einfach: f(x) = x² + 3 verschiebt die Parabel um 3 nach oben, f(x) = x² - 2 um 2 nach unten. Bei f(x) = ² geht's um 3 nach rechts, bei f(x) = ² um 2 nach links.
Streckung und Stauchung funktioniert über den Faktor vor dem x²: f(x) = 2x² macht die Parabel schmaler (Streckung), f(x) = 0,5x² macht sie breiter (Stauchung). Je größer der Faktor, desto steiler die Kurve.
Spiegelung erkennst du am Minuszeichen: f(x) = -x² öffnet sich nach unten statt nach oben. Der Scheitelpunkt ist immer der höchste oder tiefste Punkt der Parabel.
Merkhilfe: Positive Zahlen = nach oben/rechts, negative Zahlen = nach unten/links!
Nullstellen sind die x-Werte, bei denen deine Funktion die x-Achse schneidet - also wo f(x) = 0 ist. Du brauchst sie für fast jede Aufgabe, deshalb solltest du die drei Methoden draufhaben!
pq-Formel ist dein bester Freund für Gleichungen wie x² + px + q = 0. Teile zuerst durch den Faktor vor x², dann setze in die Formel ein: x = -p/2 ± √. Klingt wild, aber mit Übung geht's automatisch.
Ausklammern funktioniert, wenn kein konstanter Term da ist: Bei 3x² + x klammerst du x aus und bekommst x = 0. Eine Nullstelle ist immer x = 0, die andere findest du durch 3x + 1 = 0.
Nach x auflösen geht bei einfachen Formen wie 4x² - 6 = 0. Bringe die Zahl rüber, teile durch den Faktor und ziehe die Wurzel. Vergiss nicht: Es gibt meist zwei Lösungen .
Praxistipp: Schau dir die Gleichung an und wähle die schnellste Methode - das spart in der Klausur wertvolle Zeit!
Schnittpunkte findest du, indem du zwei Funktionen gleichsetzt - so einfach ist das! Diese Punkte zeigen dir, wo sich Graphen treffen, und sind super wichtig für Anwendungsaufgaben.
Gerade und Parabel: Setze beide Funktionen gleich , bringe alles auf eine Seite und löse die entstehende quadratische Gleichung. Die x-Werte setzt du dann in eine der Funktionen ein, um die y-Werte zu bekommen. Fertig sind deine Schnittpunkte!
Zwei Geraden: Noch einfacher! Setze beide Geraden gleich, löse nach x auf und berechne den y-Wert. Zwei Geraden haben maximal einen Schnittpunkt - außer sie sind parallel oder identisch.
Der Trick ist immer derselbe: Gleichsetzen, umformen, lösen, einsetzen. Mit dieser Reihenfolge kannst du jeden Schnittpunkt knacken.
Check: Setze deine Ergebnisse zur Kontrolle in beide ursprünglichen Funktionen ein - die y-Werte müssen gleich sein!
Ableitungen zeigen dir, wie steil eine Funktion an jedem Punkt ist - mega praktisch für Kurvendiskussionen! Die Regeln sind eigentlich ganz logisch, wenn du sie einmal draufhast.
Konstanten haben die Ableitung 0, weil sie nicht steigen oder fallen. Potenzregel: Bei f(x) = x^n wird's zu f'(x) = n·x^. Der Exponent wandert nach vorn, dann ziehst du 1 ab.
Faktorregel: Zahlen vor dem x bleiben einfach stehen. Bei f(x) = 3x² wird's zu f'(x) = 6x. Summenregel: Du leitest jeden Term einzeln ab und addierst die Ergebnisse.
Die erste Ableitung f'(x) gibt die Steigung an jedem Punkt an. Die zweite Ableitung f''(x) zeigt die Krümmung - ob die Kurve nach oben oder unten gewölbt ist.
Übungstipp: Leite zuerst einfache Funktionen wie x², 2x³ oder 5x ab, bis es automatisch geht!
Extremstellen sind die Hoch- und Tiefpunkte deiner Funktion - dort wo sie ihre Richtung ändert. Mit dem richtigen Vorgehen findest du sie in vier einfachen Schritten!
Schritt 1 und 2: Bilde die ersten beiden Ableitungen und setze die erste Ableitung gleich null. Diese Nullstellen sind deine möglichen Extremstellen, denn dort ist die Steigung null (die Tangente ist waagerecht).
Schritt 3: Setze die x-Werte in die zweite Ableitung ein. Ist f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist f''(x) < 0, ist es ein Hochpunkt. Ist f''(x) = 0, musst du andere Methoden verwenden.
Schritt 4: Setze den x-Wert in die ursprüngliche Funktion ein, um den y-Wert zu bekommen. Dann hast du deinen Extrempunkt E(x|y) komplett!
Eselsbrücke: f''(x) > 0 = Tiefpunkt , f''(x) < 0 = Hochpunkt !
Eine Tangente ist eine Gerade, die deine Funktion an genau einem Punkt berührt - sie hat dort dieselbe Steigung wie die Kurve. Super wichtig für Anwendungsaufgaben und Kurvendiskussionen!
Schritt 1 und 2: Bilde die erste Ableitung und setze die gewünschte x-Stelle ein. Das Ergebnis ist die Steigung m deiner Tangente an diesem Punkt.
Schritt 3: Berechne den y-Wert, indem du die x-Stelle in die ursprüngliche Funktion einsetzt. Jetzt hast du den Berührpunkt P(x|y).
Schritt 4: Verwende die Geradengleichung y = mx + b mit deinem Punkt P und der Steigung m, um b zu berechnen. Löse einfach nach b auf, und fertig ist deine Tangentengleichung!
Kontrolltipp: Deine Tangente und die ursprüngliche Funktion müssen am Berührpunkt denselben y-Wert und dieselbe Steigung haben!
Eine Sekante ist eine Gerade, die deine Funktion in mindestens zwei Punkten schneidet. Sie zeigt die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten - echt nützlich für Anwendungen!
Schritt 1: Berechne die Steigung der Sekante mit der Formel m = /. Das ist einfach die Steigung zwischen den beiden gegebenen Punkten P und Q.
Schritt 2: Nimm einen der beiden Punkte (egal welchen) und die berechnete Steigung, setze alles in y = mx + b ein und löse nach b auf. Damit hast du alle Teile für deine Sekantengleichung!
Der große Unterschied zur Tangente: Die Sekante verbindet zwei verschiedene Punkte, während die Tangente nur einen Punkt berührt. Sekanten sind oft der erste Schritt, um Tangenten zu verstehen.
Merkregel: Sekante = zwei Punkte verbinden, Tangente = einen Punkt berühren!
Potenzfunktionen wie f(x) = x^n verhalten sich ganz unterschiedlich, je nachdem ob der Exponent gerade oder ungerade, positiv oder negativ ist. Diese Übersicht hilft dir, sie schnell zu erkennen!
Gerade, positive Exponenten (x², x⁴): Sehen aus wie ein U, sind achsensymmetrisch zur y-Achse und gehen bei x → ±∞ gegen +∞. Definitionsbereich ist alle reellen Zahlen.
Ungerade, positive Exponenten (x³, x⁵): Sehen aus wie ein S, sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei x → +∞ gehen sie gegen +∞, bei x → -∞ gegen -∞.
Negative Exponenten (x⁻², x⁻³): Sind Hyperbeln mit Definitionslücke bei x = 0. Gerade Exponenten sind achsensymmetrisch, ungerade punktsymmetrisch. Alle nähern sich für große |x| der x-Achse an.
Faustregel: Gerade Exponenten = U-Form, ungerade Exponenten = S-Form, negative Exponenten = Hyperbel mit Lücke bei x = 0!
Zeit, dein Wissen zu testen! Diese Übungsaufgaben decken alle wichtigen Themen ab - von Nullstellen über Schnittpunkte bis zu Ableitungen und Extremstellen.
Nullstellen berechnen: Bei a) x² - 9 erkennst du die dritte binomische Formel, bei b) 3x² + 6x + 3 brauchst du die pq-Formel nach Division durch 3, bei c) x³ + 3x² - 4x klammerst du x aus.
Schnittpunkte: Setze die Funktionen gleich und löse die entstehenden Gleichungen. Bei Gerade-Gerade ist's ein lineares System, bei Gerade-Parabel eine quadratische Gleichung.
Ableitungen: Wende die Potenzregel, Faktorregel und Summenregel an. Bei f(x) = 3x² + 4x - 6 wird's zu f'(x) = 6x + 4 und f''(x) = 6. Extremstellen findest du durch f'(x) = 0 und Überprüfung mit f''(x).
Erfolgsrezept: Rechne die Aufgaben durch und vergleiche mit den Lösungen - so lernst du aus Fehlern und wirst sicherer!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
App Store
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
der weihnachtsmann
@weihnachtsmann
Mathe kann manchmal echt kompliziert wirken, aber mit den richtigen Methoden wird's viel einfacher! Hier lernst du die wichtigsten Techniken für lineare Gleichungssysteme, quadratische Funktionen und Ableitungen - alles was du für deine Klausuren brauchst.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Du hast zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und fragst dich, wie du x und y findest? Kein Problem - es gibt drei einfache Methoden, die immer funktionieren!
Option 1: Gleiche Variable, gleiches Vorzeichen - Du ziehst einfach eine Gleichung von der anderen ab. Beispiel: 2x + 3y = 23 minus 2x + 2y = 16 ergibt y = 7. Dann setzt du y in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und rechnest x aus.
Option 2: Gleiche Variable, unterschiedliche Vorzeichen - Hier addierst du beide Gleichungen. Bei 5x + 3y = 32 und -5x + 7y = 48 fallen die x-Terme weg und du bekommst direkt 10y = 80, also y = 8.
Option 3: Ungleiche Variablen - Multipliziere eine Gleichung so, dass du gleiche Variablen bekommst, dann wendest du Option 1 oder 2 an. Das klingt komplizierter als es ist!
Tipp: Wähle immer die Methode, die am wenigsten Rechenschritte braucht - das spart Zeit und Fehler!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Parabeln sind überall um uns herum - von Brücken bis zu Basketballwürfen! Eine quadratische Funktion hat die Form f(x) = x² und kann auf verschiedene Weise verändert werden.
Verschiebungen sind super einfach: f(x) = x² + 3 verschiebt die Parabel um 3 nach oben, f(x) = x² - 2 um 2 nach unten. Bei f(x) = ² geht's um 3 nach rechts, bei f(x) = ² um 2 nach links.
Streckung und Stauchung funktioniert über den Faktor vor dem x²: f(x) = 2x² macht die Parabel schmaler (Streckung), f(x) = 0,5x² macht sie breiter (Stauchung). Je größer der Faktor, desto steiler die Kurve.
Spiegelung erkennst du am Minuszeichen: f(x) = -x² öffnet sich nach unten statt nach oben. Der Scheitelpunkt ist immer der höchste oder tiefste Punkt der Parabel.
Merkhilfe: Positive Zahlen = nach oben/rechts, negative Zahlen = nach unten/links!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Nullstellen sind die x-Werte, bei denen deine Funktion die x-Achse schneidet - also wo f(x) = 0 ist. Du brauchst sie für fast jede Aufgabe, deshalb solltest du die drei Methoden draufhaben!
pq-Formel ist dein bester Freund für Gleichungen wie x² + px + q = 0. Teile zuerst durch den Faktor vor x², dann setze in die Formel ein: x = -p/2 ± √. Klingt wild, aber mit Übung geht's automatisch.
Ausklammern funktioniert, wenn kein konstanter Term da ist: Bei 3x² + x klammerst du x aus und bekommst x = 0. Eine Nullstelle ist immer x = 0, die andere findest du durch 3x + 1 = 0.
Nach x auflösen geht bei einfachen Formen wie 4x² - 6 = 0. Bringe die Zahl rüber, teile durch den Faktor und ziehe die Wurzel. Vergiss nicht: Es gibt meist zwei Lösungen .
Praxistipp: Schau dir die Gleichung an und wähle die schnellste Methode - das spart in der Klausur wertvolle Zeit!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Schnittpunkte findest du, indem du zwei Funktionen gleichsetzt - so einfach ist das! Diese Punkte zeigen dir, wo sich Graphen treffen, und sind super wichtig für Anwendungsaufgaben.
Gerade und Parabel: Setze beide Funktionen gleich , bringe alles auf eine Seite und löse die entstehende quadratische Gleichung. Die x-Werte setzt du dann in eine der Funktionen ein, um die y-Werte zu bekommen. Fertig sind deine Schnittpunkte!
Zwei Geraden: Noch einfacher! Setze beide Geraden gleich, löse nach x auf und berechne den y-Wert. Zwei Geraden haben maximal einen Schnittpunkt - außer sie sind parallel oder identisch.
Der Trick ist immer derselbe: Gleichsetzen, umformen, lösen, einsetzen. Mit dieser Reihenfolge kannst du jeden Schnittpunkt knacken.
Check: Setze deine Ergebnisse zur Kontrolle in beide ursprünglichen Funktionen ein - die y-Werte müssen gleich sein!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Ableitungen zeigen dir, wie steil eine Funktion an jedem Punkt ist - mega praktisch für Kurvendiskussionen! Die Regeln sind eigentlich ganz logisch, wenn du sie einmal draufhast.
Konstanten haben die Ableitung 0, weil sie nicht steigen oder fallen. Potenzregel: Bei f(x) = x^n wird's zu f'(x) = n·x^. Der Exponent wandert nach vorn, dann ziehst du 1 ab.
Faktorregel: Zahlen vor dem x bleiben einfach stehen. Bei f(x) = 3x² wird's zu f'(x) = 6x. Summenregel: Du leitest jeden Term einzeln ab und addierst die Ergebnisse.
Die erste Ableitung f'(x) gibt die Steigung an jedem Punkt an. Die zweite Ableitung f''(x) zeigt die Krümmung - ob die Kurve nach oben oder unten gewölbt ist.
Übungstipp: Leite zuerst einfache Funktionen wie x², 2x³ oder 5x ab, bis es automatisch geht!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Extremstellen sind die Hoch- und Tiefpunkte deiner Funktion - dort wo sie ihre Richtung ändert. Mit dem richtigen Vorgehen findest du sie in vier einfachen Schritten!
Schritt 1 und 2: Bilde die ersten beiden Ableitungen und setze die erste Ableitung gleich null. Diese Nullstellen sind deine möglichen Extremstellen, denn dort ist die Steigung null (die Tangente ist waagerecht).
Schritt 3: Setze die x-Werte in die zweite Ableitung ein. Ist f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist f''(x) < 0, ist es ein Hochpunkt. Ist f''(x) = 0, musst du andere Methoden verwenden.
Schritt 4: Setze den x-Wert in die ursprüngliche Funktion ein, um den y-Wert zu bekommen. Dann hast du deinen Extrempunkt E(x|y) komplett!
Eselsbrücke: f''(x) > 0 = Tiefpunkt , f''(x) < 0 = Hochpunkt !
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Eine Tangente ist eine Gerade, die deine Funktion an genau einem Punkt berührt - sie hat dort dieselbe Steigung wie die Kurve. Super wichtig für Anwendungsaufgaben und Kurvendiskussionen!
Schritt 1 und 2: Bilde die erste Ableitung und setze die gewünschte x-Stelle ein. Das Ergebnis ist die Steigung m deiner Tangente an diesem Punkt.
Schritt 3: Berechne den y-Wert, indem du die x-Stelle in die ursprüngliche Funktion einsetzt. Jetzt hast du den Berührpunkt P(x|y).
Schritt 4: Verwende die Geradengleichung y = mx + b mit deinem Punkt P und der Steigung m, um b zu berechnen. Löse einfach nach b auf, und fertig ist deine Tangentengleichung!
Kontrolltipp: Deine Tangente und die ursprüngliche Funktion müssen am Berührpunkt denselben y-Wert und dieselbe Steigung haben!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Eine Sekante ist eine Gerade, die deine Funktion in mindestens zwei Punkten schneidet. Sie zeigt die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten - echt nützlich für Anwendungen!
Schritt 1: Berechne die Steigung der Sekante mit der Formel m = /. Das ist einfach die Steigung zwischen den beiden gegebenen Punkten P und Q.
Schritt 2: Nimm einen der beiden Punkte (egal welchen) und die berechnete Steigung, setze alles in y = mx + b ein und löse nach b auf. Damit hast du alle Teile für deine Sekantengleichung!
Der große Unterschied zur Tangente: Die Sekante verbindet zwei verschiedene Punkte, während die Tangente nur einen Punkt berührt. Sekanten sind oft der erste Schritt, um Tangenten zu verstehen.
Merkregel: Sekante = zwei Punkte verbinden, Tangente = einen Punkt berühren!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Potenzfunktionen wie f(x) = x^n verhalten sich ganz unterschiedlich, je nachdem ob der Exponent gerade oder ungerade, positiv oder negativ ist. Diese Übersicht hilft dir, sie schnell zu erkennen!
Gerade, positive Exponenten (x², x⁴): Sehen aus wie ein U, sind achsensymmetrisch zur y-Achse und gehen bei x → ±∞ gegen +∞. Definitionsbereich ist alle reellen Zahlen.
Ungerade, positive Exponenten (x³, x⁵): Sehen aus wie ein S, sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei x → +∞ gehen sie gegen +∞, bei x → -∞ gegen -∞.
Negative Exponenten (x⁻², x⁻³): Sind Hyperbeln mit Definitionslücke bei x = 0. Gerade Exponenten sind achsensymmetrisch, ungerade punktsymmetrisch. Alle nähern sich für große |x| der x-Achse an.
Faustregel: Gerade Exponenten = U-Form, ungerade Exponenten = S-Form, negative Exponenten = Hyperbel mit Lücke bei x = 0!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Zeit, dein Wissen zu testen! Diese Übungsaufgaben decken alle wichtigen Themen ab - von Nullstellen über Schnittpunkte bis zu Ableitungen und Extremstellen.
Nullstellen berechnen: Bei a) x² - 9 erkennst du die dritte binomische Formel, bei b) 3x² + 6x + 3 brauchst du die pq-Formel nach Division durch 3, bei c) x³ + 3x² - 4x klammerst du x aus.
Schnittpunkte: Setze die Funktionen gleich und löse die entstehenden Gleichungen. Bei Gerade-Gerade ist's ein lineares System, bei Gerade-Parabel eine quadratische Gleichung.
Ableitungen: Wende die Potenzregel, Faktorregel und Summenregel an. Bei f(x) = 3x² + 4x - 6 wird's zu f'(x) = 6x + 4 und f''(x) = 6. Extremstellen findest du durch f'(x) = 0 und Überprüfung mit f''(x).
Erfolgsrezept: Rechne die Aufgaben durch und vergleiche mit den Lösungen - so lernst du aus Fehlern und wirst sicherer!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
9
Smart Tools NEU
Verwandle diesen Lernzettel in: ✓ 50+ Übungsfragen ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Komplette Probeklausur ✓ Aufsatzgliederungen
Entdecken Sie die wesentlichen Schritte zur Kurvenuntersuchung, einschließlich der Berechnung von Extrempunkten, Wendepunkten, Monotonie und Achsenabschnitten. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur Analyse von ganzrationalen Funktionen und deren Eigenschaften. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differentialrechnung vertiefen.
MatheLerne die Schritte zur Berechnung von Wendepunkten und Sattelpunkten in Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt Ableitungen, Krümmungsverhalten und enthält Beispiele zur Veranschaulichung. Ideal für Schüler der 11. Klasse im Fach Mathematik.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Schritte zur Bestimmung von Wendepunkten einer Funktion, einschließlich der Ableitungen und der notwendigen Bedingungen. Erfahren Sie, wie Sie die y-Werte ermitteln und die Krümmungsverhalten analysieren. Ideal für Studierende, die sich auf Differenzialrechnung vorbereiten.
MatheMathematik GK Klausur, Klasse 12, 12 Punkte
MatheDieser Lernzettel bietet eine umfassende Anleitung zur Berechnung von Wendepunkten und Extremstellen von Funktionen. Er behandelt die Schritte zur Bestimmung der ersten und zweiten Ableitungen, die notwendigen Bedingungen für Wendepunkte und Extremstellen sowie Beispiele zur Veranschaulichung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Funktionen vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie alles über die Berechnung von Hoch-, Tief- und Sattelpunkten sowie Wendepunkten in Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt Ableitungsfunktionen, notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema, Nullstellen und die Bedeutung der zweiten Ableitung. Ideal für Mathematik LK Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Deutsch