Mathe kann manchmal echt kompliziert wirken, aber mit den richtigen...
Mathe447 aufrufe·Aktualisiert 2. Aug. 2026·13 SeitenPerfekte Mathe Zusammenfassung Abitur: Funktionen leicht verstehen
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Lineare Gleichungssysteme lösen
Du hast zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und fragst dich, wie du x und y findest? Kein Problem - es gibt drei einfache Methoden, die immer funktionieren!
Option 1: Gleiche Variable, gleiches Vorzeichen - Du ziehst einfach eine Gleichung von der anderen ab. Beispiel: 2x + 3y = 23 minus 2x + 2y = 16 ergibt y = 7. Dann setzt du y in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und rechnest x aus.
Option 2: Gleiche Variable, unterschiedliche Vorzeichen - Hier addierst du beide Gleichungen. Bei 5x + 3y = 32 und -5x + 7y = 48 fallen die x-Terme weg und du bekommst direkt 10y = 80, also y = 8.
Option 3: Ungleiche Variablen - Multipliziere eine Gleichung so, dass du gleiche Variablen bekommst, dann wendest du Option 1 oder 2 an. Das klingt komplizierter als es ist!
Tipp: Wähle immer die Methode, die am wenigsten Rechenschritte braucht - das spart Zeit und Fehler!
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Quadratische Funktionen
Parabeln sind überall um uns herum - von Brücken bis zu Basketballwürfen! Eine quadratische Funktion hat die Form f = x² und kann auf verschiedene Weise verändert werden.
Verschiebungen sind super einfach: f = x² + 3 verschiebt die Parabel um 3 nach oben, f = x² - 2 um 2 nach unten. Bei f = ² geht's um 3 nach rechts, bei f = ² um 2 nach links.
Streckung und Stauchung funktioniert über den Faktor vor dem x²: f = 2x² macht die Parabel schmaler (Streckung), f = 0,5x² macht sie breiter (Stauchung). Je größer der Faktor, desto steiler die Kurve.
Spiegelung erkennst du am Minuszeichen: f = -x² öffnet sich nach unten statt nach oben. Der Scheitelpunkt ist immer der höchste oder tiefste Punkt der Parabel.
Merkhilfe: Positive Zahlen = nach oben/rechts, negative Zahlen = nach unten/links!
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Nullstellen berechnen
Nullstellen sind die x-Werte, bei denen deine Funktion die x-Achse schneidet - also wo f = 0 ist. Du brauchst sie für fast jede Aufgabe, deshalb solltest du die drei Methoden draufhaben!
pq-Formel ist dein bester Freund für Gleichungen wie x² + px + q = 0. Teile zuerst durch den Faktor vor x², dann setze in die Formel ein: x = -p/2 ± √. Klingt wild, aber mit Übung geht's automatisch.
Ausklammern funktioniert, wenn kein konstanter Term da ist: Bei 3x² + x klammerst du x aus und bekommst x = 0. Eine Nullstelle ist immer x = 0, die andere findest du durch 3x + 1 = 0.
Nach x auflösen geht bei einfachen Formen wie 4x² - 6 = 0. Bringe die Zahl rüber, teile durch den Faktor und ziehe die Wurzel. Vergiss nicht: Es gibt meist zwei Lösungen .
Praxistipp: Schau dir die Gleichung an und wähle die schnellste Methode - das spart in der Klausur wertvolle Zeit!
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Schnittpunkte berechnen
Schnittpunkte findest du, indem du zwei Funktionen gleichsetzt - so einfach ist das! Diese Punkte zeigen dir, wo sich Graphen treffen, und sind super wichtig für Anwendungsaufgaben.
Gerade und Parabel: Setze beide Funktionen gleich (mx + d = ax² + bx + c), bringe alles auf eine Seite und löse die entstehende quadratische Gleichung. Die x-Werte setzt du dann in eine der Funktionen ein, um die y-Werte zu bekommen. Fertig sind deine Schnittpunkte!
Zwei Geraden: Noch einfacher! Setze beide Geraden gleich, löse nach x auf und berechne den y-Wert. Zwei Geraden haben maximal einen Schnittpunkt - außer sie sind parallel oder identisch.
Der Trick ist immer derselbe: Gleichsetzen, umformen, lösen, einsetzen. Mit dieser Reihenfolge kannst du jeden Schnittpunkt knacken.
Check: Setze deine Ergebnisse zur Kontrolle in beide ursprünglichen Funktionen ein - die y-Werte müssen gleich sein!
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Ableitungen von Funktionen
Ableitungen zeigen dir, wie steil eine Funktion an jedem Punkt ist - mega praktisch für Kurvendiskussionen! Die Regeln sind eigentlich ganz logisch, wenn du sie einmal draufhast.
Konstanten haben die Ableitung 0, weil sie nicht steigen oder fallen. Potenzregel: Bei f = x^n wird's zu f' = n·x^. Der Exponent wandert nach vorn, dann ziehst du 1 ab.
Faktorregel: Zahlen vor dem x bleiben einfach stehen. Bei f = 3x² wird's zu f' = 6x. Summenregel: Du leitest jeden Term einzeln ab und addierst die Ergebnisse.
Die erste Ableitung f' gibt die Steigung an jedem Punkt an. Die zweite Ableitung f'' zeigt die Krümmung - ob die Kurve nach oben oder unten gewölbt ist.
Übungstipp: Leite zuerst einfache Funktionen wie x², 2x³ oder 5x ab, bis es automatisch geht!
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Extremstellen berechnen
Extremstellen sind die Hoch- und Tiefpunkte deiner Funktion - dort wo sie ihre Richtung ändert. Mit dem richtigen Vorgehen findest du sie in vier einfachen Schritten!
Schritt 1 und 2: Bilde die ersten beiden Ableitungen und setze die erste Ableitung gleich null. Diese Nullstellen sind deine möglichen Extremstellen, denn dort ist die Steigung null (die Tangente ist waagerecht).
Schritt 3: Setze die x-Werte in die zweite Ableitung ein. Ist f'' > 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist f'' < 0, ist es ein Hochpunkt. Ist f'' = 0, musst du andere Methoden verwenden.
Schritt 4: Setze den x-Wert in die ursprüngliche Funktion ein, um den y-Wert zu bekommen. Dann hast du deinen Extrempunkt E(x|y) komplett!
Eselsbrücke: f'' > 0 = Tiefpunkt (positiv = nach oben gewölbt wie ein Lächeln), f'' < 0 = Hochpunkt (negativ = nach unten gewölbt)!
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Tangente berechnen
Eine Tangente ist eine Gerade, die deine Funktion an genau einem Punkt berührt - sie hat dort dieselbe Steigung wie die Kurve. Super wichtig für Anwendungsaufgaben und Kurvendiskussionen!
Schritt 1 und 2: Bilde die erste Ableitung und setze die gewünschte x-Stelle ein. Das Ergebnis ist die Steigung m deiner Tangente an diesem Punkt.
Schritt 3: Berechne den y-Wert, indem du die x-Stelle in die ursprüngliche Funktion einsetzt. Jetzt hast du den Berührpunkt P(x|y).
Schritt 4: Verwende die Geradengleichung y = mx + b mit deinem Punkt P und der Steigung m, um b zu berechnen. Löse einfach nach b auf, und fertig ist deine Tangentengleichung!
Kontrolltipp: Deine Tangente und die ursprüngliche Funktion müssen am Berührpunkt denselben y-Wert und dieselbe Steigung haben!
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Sekante berechnen
Eine Sekante ist eine Gerade, die deine Funktion in mindestens zwei Punkten schneidet. Sie zeigt die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten - echt nützlich für Anwendungen!
Schritt 1: Berechne die Steigung der Sekante mit der Formel m = /. Das ist einfach die Steigung zwischen den beiden gegebenen Punkten P und Q.
Schritt 2: Nimm einen der beiden Punkte (egal welchen) und die berechnete Steigung, setze alles in y = mx + b ein und löse nach b auf. Damit hast du alle Teile für deine Sekantengleichung!
Der große Unterschied zur Tangente: Die Sekante verbindet zwei verschiedene Punkte, während die Tangente nur einen Punkt berührt. Sekanten sind oft der erste Schritt, um Tangenten zu verstehen.
Merkregel: Sekante = zwei Punkte verbinden, Tangente = einen Punkt berühren!
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Übersicht von Potenzfunktionen
Potenzfunktionen wie f = x^n verhalten sich ganz unterschiedlich, je nachdem ob der Exponent gerade oder ungerade, positiv oder negativ ist. Diese Übersicht hilft dir, sie schnell zu erkennen!
Gerade, positive Exponenten (x², x⁴): Sehen aus wie ein U, sind achsensymmetrisch zur y-Achse und gehen bei x → ±∞ gegen +∞. Definitionsbereich ist alle reellen Zahlen.
Ungerade, positive Exponenten (x³, x⁵): Sehen aus wie ein S, sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei x → +∞ gehen sie gegen +∞, bei x → -∞ gegen -∞.
Negative Exponenten (x⁻², x⁻³): Sind Hyperbeln mit Definitionslücke bei x = 0. Gerade Exponenten sind achsensymmetrisch, ungerade punktsymmetrisch. Alle nähern sich für große |x| der x-Achse an.
Faustregel: Gerade Exponenten = U-Form, ungerade Exponenten = S-Form, negative Exponenten = Hyperbel mit Lücke bei x = 0!
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Übungsaufgaben
Zeit, dein Wissen zu testen! Diese Übungsaufgaben decken alle wichtigen Themen ab - von Nullstellen über Schnittpunkte bis zu Ableitungen und Extremstellen.
Nullstellen berechnen: Bei a) x² - 9 erkennst du die dritte binomische Formel, bei b) 3x² + 6x + 3 brauchst du die pq-Formel nach Division durch 3, bei c) x³ + 3x² - 4x klammerst du x aus.
Schnittpunkte: Setze die Funktionen gleich und löse die entstehenden Gleichungen. Bei Gerade-Gerade ist's ein lineares System, bei Gerade-Parabel eine quadratische Gleichung.
Ableitungen: Wende die Potenzregel, Faktorregel und Summenregel an. Bei f = 3x² + 4x - 6 wird's zu f' = 6x + 4 und f'' = 6. Extremstellen findest du durch f' = 0 und Überprüfung mit f''.
Erfolgsrezept: Rechne die Aufgaben durch und vergleiche mit den Lösungen - so lernst du aus Fehlern und wirst sicherer!
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Mathe kann manchmal echt kompliziert wirken, aber mit den richtigen Methoden wird's viel einfacher! Hier lernst du die wichtigsten Techniken für lineare Gleichungssysteme, quadratische Funktionen und Ableitungen - alles was du für deine Klausuren brauchst.
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Lineare Gleichungssysteme lösen
Du hast zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und fragst dich, wie du x und y findest? Kein Problem - es gibt drei einfache Methoden, die immer funktionieren!
Option 1: Gleiche Variable, gleiches Vorzeichen - Du ziehst einfach eine Gleichung von der anderen ab. Beispiel: 2x + 3y = 23 minus 2x + 2y = 16 ergibt y = 7. Dann setzt du y in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und rechnest x aus.
Option 2: Gleiche Variable, unterschiedliche Vorzeichen - Hier addierst du beide Gleichungen. Bei 5x + 3y = 32 und -5x + 7y = 48 fallen die x-Terme weg und du bekommst direkt 10y = 80, also y = 8.
Option 3: Ungleiche Variablen - Multipliziere eine Gleichung so, dass du gleiche Variablen bekommst, dann wendest du Option 1 oder 2 an. Das klingt komplizierter als es ist!
Tipp: Wähle immer die Methode, die am wenigsten Rechenschritte braucht - das spart Zeit und Fehler!
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Quadratische Funktionen
Parabeln sind überall um uns herum - von Brücken bis zu Basketballwürfen! Eine quadratische Funktion hat die Form f = x² und kann auf verschiedene Weise verändert werden.
Verschiebungen sind super einfach: f = x² + 3 verschiebt die Parabel um 3 nach oben, f = x² - 2 um 2 nach unten. Bei f = ² geht's um 3 nach rechts, bei f = ² um 2 nach links.
Streckung und Stauchung funktioniert über den Faktor vor dem x²: f = 2x² macht die Parabel schmaler (Streckung), f = 0,5x² macht sie breiter (Stauchung). Je größer der Faktor, desto steiler die Kurve.
Spiegelung erkennst du am Minuszeichen: f = -x² öffnet sich nach unten statt nach oben. Der Scheitelpunkt ist immer der höchste oder tiefste Punkt der Parabel.
Merkhilfe: Positive Zahlen = nach oben/rechts, negative Zahlen = nach unten/links!
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Nullstellen berechnen
Nullstellen sind die x-Werte, bei denen deine Funktion die x-Achse schneidet - also wo f = 0 ist. Du brauchst sie für fast jede Aufgabe, deshalb solltest du die drei Methoden draufhaben!
pq-Formel ist dein bester Freund für Gleichungen wie x² + px + q = 0. Teile zuerst durch den Faktor vor x², dann setze in die Formel ein: x = -p/2 ± √. Klingt wild, aber mit Übung geht's automatisch.
Ausklammern funktioniert, wenn kein konstanter Term da ist: Bei 3x² + x klammerst du x aus und bekommst x = 0. Eine Nullstelle ist immer x = 0, die andere findest du durch 3x + 1 = 0.
Nach x auflösen geht bei einfachen Formen wie 4x² - 6 = 0. Bringe die Zahl rüber, teile durch den Faktor und ziehe die Wurzel. Vergiss nicht: Es gibt meist zwei Lösungen .
Praxistipp: Schau dir die Gleichung an und wähle die schnellste Methode - das spart in der Klausur wertvolle Zeit!
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Schnittpunkte berechnen
Schnittpunkte findest du, indem du zwei Funktionen gleichsetzt - so einfach ist das! Diese Punkte zeigen dir, wo sich Graphen treffen, und sind super wichtig für Anwendungsaufgaben.
Gerade und Parabel: Setze beide Funktionen gleich (mx + d = ax² + bx + c), bringe alles auf eine Seite und löse die entstehende quadratische Gleichung. Die x-Werte setzt du dann in eine der Funktionen ein, um die y-Werte zu bekommen. Fertig sind deine Schnittpunkte!
Zwei Geraden: Noch einfacher! Setze beide Geraden gleich, löse nach x auf und berechne den y-Wert. Zwei Geraden haben maximal einen Schnittpunkt - außer sie sind parallel oder identisch.
Der Trick ist immer derselbe: Gleichsetzen, umformen, lösen, einsetzen. Mit dieser Reihenfolge kannst du jeden Schnittpunkt knacken.
Check: Setze deine Ergebnisse zur Kontrolle in beide ursprünglichen Funktionen ein - die y-Werte müssen gleich sein!
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Ableitungen von Funktionen
Ableitungen zeigen dir, wie steil eine Funktion an jedem Punkt ist - mega praktisch für Kurvendiskussionen! Die Regeln sind eigentlich ganz logisch, wenn du sie einmal draufhast.
Konstanten haben die Ableitung 0, weil sie nicht steigen oder fallen. Potenzregel: Bei f = x^n wird's zu f' = n·x^. Der Exponent wandert nach vorn, dann ziehst du 1 ab.
Faktorregel: Zahlen vor dem x bleiben einfach stehen. Bei f = 3x² wird's zu f' = 6x. Summenregel: Du leitest jeden Term einzeln ab und addierst die Ergebnisse.
Die erste Ableitung f' gibt die Steigung an jedem Punkt an. Die zweite Ableitung f'' zeigt die Krümmung - ob die Kurve nach oben oder unten gewölbt ist.
Übungstipp: Leite zuerst einfache Funktionen wie x², 2x³ oder 5x ab, bis es automatisch geht!
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Extremstellen berechnen
Extremstellen sind die Hoch- und Tiefpunkte deiner Funktion - dort wo sie ihre Richtung ändert. Mit dem richtigen Vorgehen findest du sie in vier einfachen Schritten!
Schritt 1 und 2: Bilde die ersten beiden Ableitungen und setze die erste Ableitung gleich null. Diese Nullstellen sind deine möglichen Extremstellen, denn dort ist die Steigung null (die Tangente ist waagerecht).
Schritt 3: Setze die x-Werte in die zweite Ableitung ein. Ist f'' > 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist f'' < 0, ist es ein Hochpunkt. Ist f'' = 0, musst du andere Methoden verwenden.
Schritt 4: Setze den x-Wert in die ursprüngliche Funktion ein, um den y-Wert zu bekommen. Dann hast du deinen Extrempunkt E(x|y) komplett!
Eselsbrücke: f'' > 0 = Tiefpunkt (positiv = nach oben gewölbt wie ein Lächeln), f'' < 0 = Hochpunkt (negativ = nach unten gewölbt)!
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Tangente berechnen
Eine Tangente ist eine Gerade, die deine Funktion an genau einem Punkt berührt - sie hat dort dieselbe Steigung wie die Kurve. Super wichtig für Anwendungsaufgaben und Kurvendiskussionen!
Schritt 1 und 2: Bilde die erste Ableitung und setze die gewünschte x-Stelle ein. Das Ergebnis ist die Steigung m deiner Tangente an diesem Punkt.
Schritt 3: Berechne den y-Wert, indem du die x-Stelle in die ursprüngliche Funktion einsetzt. Jetzt hast du den Berührpunkt P(x|y).
Schritt 4: Verwende die Geradengleichung y = mx + b mit deinem Punkt P und der Steigung m, um b zu berechnen. Löse einfach nach b auf, und fertig ist deine Tangentengleichung!
Kontrolltipp: Deine Tangente und die ursprüngliche Funktion müssen am Berührpunkt denselben y-Wert und dieselbe Steigung haben!
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Sekante berechnen
Eine Sekante ist eine Gerade, die deine Funktion in mindestens zwei Punkten schneidet. Sie zeigt die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten - echt nützlich für Anwendungen!
Schritt 1: Berechne die Steigung der Sekante mit der Formel m = /. Das ist einfach die Steigung zwischen den beiden gegebenen Punkten P und Q.
Schritt 2: Nimm einen der beiden Punkte (egal welchen) und die berechnete Steigung, setze alles in y = mx + b ein und löse nach b auf. Damit hast du alle Teile für deine Sekantengleichung!
Der große Unterschied zur Tangente: Die Sekante verbindet zwei verschiedene Punkte, während die Tangente nur einen Punkt berührt. Sekanten sind oft der erste Schritt, um Tangenten zu verstehen.
Merkregel: Sekante = zwei Punkte verbinden, Tangente = einen Punkt berühren!
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Übersicht von Potenzfunktionen
Potenzfunktionen wie f = x^n verhalten sich ganz unterschiedlich, je nachdem ob der Exponent gerade oder ungerade, positiv oder negativ ist. Diese Übersicht hilft dir, sie schnell zu erkennen!
Gerade, positive Exponenten (x², x⁴): Sehen aus wie ein U, sind achsensymmetrisch zur y-Achse und gehen bei x → ±∞ gegen +∞. Definitionsbereich ist alle reellen Zahlen.
Ungerade, positive Exponenten (x³, x⁵): Sehen aus wie ein S, sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei x → +∞ gehen sie gegen +∞, bei x → -∞ gegen -∞.
Negative Exponenten (x⁻², x⁻³): Sind Hyperbeln mit Definitionslücke bei x = 0. Gerade Exponenten sind achsensymmetrisch, ungerade punktsymmetrisch. Alle nähern sich für große |x| der x-Achse an.
Faustregel: Gerade Exponenten = U-Form, ungerade Exponenten = S-Form, negative Exponenten = Hyperbel mit Lücke bei x = 0!
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Übungsaufgaben
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Nullstellen berechnen: Bei a) x² - 9 erkennst du die dritte binomische Formel, bei b) 3x² + 6x + 3 brauchst du die pq-Formel nach Division durch 3, bei c) x³ + 3x² - 4x klammerst du x aus.
Schnittpunkte: Setze die Funktionen gleich und löse die entstehenden Gleichungen. Bei Gerade-Gerade ist's ein lineares System, bei Gerade-Parabel eine quadratische Gleichung.
Ableitungen: Wende die Potenzregel, Faktorregel und Summenregel an. Bei f = 3x² + 4x - 6 wird's zu f' = 6x + 4 und f'' = 6. Extremstellen findest du durch f' = 0 und Überprüfung mit f''.
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Entdecken Sie die Grundlagen der Funktionen für die 10. Klasse in Sachsen. Dieser umfassende Überblick behandelt lineare, quadratische, potenzielle, logarithmische, exponentielle, Wurzel-, Sinus- und Kosinusfunktionen sowie deren Eigenschaften und Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
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MatheFunktionen und Gleichungen
Entdecken Sie die Grundlagen von linearen und quadratischen Funktionen, einschließlich der Berechnung von Steigungen, Definitions- und Wertebereichen sowie der Umwandlung zwischen Normal- und Scheitelpunktform. Lernen Sie effektive Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen, einschließlich der Anwendung der Mitternachtsformel und der quadratischen Ergänzung. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Mathematik vertiefen möchten.
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MatheFunktionen und ihre Eigenschaften
Entdecken Sie die verschiedenen Arten von Funktionen, einschließlich linearer, quadratischer und exponentieller Funktionen. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, die Steigung berechnet und die Eigenschaften von Graphen analysiert. Ideal für Mathematikstudenten, die ein tieferes Verständnis für Funktionen und deren Anwendungen entwickeln möchten.
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MatheMathe Lernzettel EF mit Klausur
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Vertiefen Sie Ihr Wissen für das Mathematik-Abitur 2024 mit diesem umfassenden Lernmaterial. Es behandelt zentrale Themen wie die Bestimmung von Graphpunkten, die Berechnung von Wendepunkten, Gleichungen und Funktionen sowie die grafische Differenzierung. Ideal für Schüler in Hessen, die sich auf die E-Phase vorbereiten.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan SiOS-Nutzer
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AnnaiOS-Nutzerin