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7. Jan. 2026

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Einführung in Nullstellen, Differenzenquotienten und Funktionen-Transformationen

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Mika

@mika.xqrx

Bald steht deine zweite Matheklausur an und das Thema Analysis... Mehr anzeigen

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MATHEKLAUSUR
Informationen: Matheklausur Nr.2
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•Thema: Analysis ~ Nullstellen ganzrationaler Fun

Nullstellen berechnen - So findest du die Lösungen

Du fragst dich, wie du Nullstellen systematisch findest? Hier ist die gute Nachricht: Es gibt klare Methoden für jeden Funktionstyp, und mit etwas Übung bekommst du das definitiv hin.

Lineare Funktionen (Grad 1) sind am einfachsten: Setze f(x) = 0, bringe den konstanten Term auf die andere Seite und teile durch die Steigung. Bei f(x) = 2x - 6 wird daraus 2x = 6, also x = 3. Fertig - lineare Funktionen haben immer genau eine Nullstelle.

Bei quadratischen Funktionen (Grad 2) hast du drei verschiedene Werkzeuge: Die PQ-Formel für die allgemeine Form ax² + bx + c, das Ausklammern bei ax² + bx, und Wurzelziehen bei ax² + c. Welche Methode du wählst, hängt davon ab, welche Terme in deiner Gleichung vorkommen.

Merktipp: Quadratische Funktionen können null, eine oder zwei Nullstellen haben - das erkennst du an der Diskriminante unter der Wurzel in der PQ-Formel.

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•Thema: Analysis ~ Nullstellen ganzrationaler Fun

Komplexere Funktionen knacken

Funktionen höheren Grades sehen kompliziert aus, aber du hast zwei starke Methoden: Substitution und Ausklammern. Die richtige Wahl macht den Unterschied zwischen Frust und Erfolg.

Substitution verwendest du, wenn deine Funktion die Form ax⁴ + bx² + c hat. Setze einfach u = x² und löse die entstehende quadratische Gleichung mit der PQ-Formel. Danach setzt du zurück: Aus u = 7 wird x² = 7, also x = ±√7.

Ausklammern funktioniert, wenn alle Terme ein gemeinsames x haben. Bei x⁴ - 5x³ = 0 klammerst du x³ aus: x³x5x - 5 = 0. Das gibt dir x₁₂₃ = 0 (dreifache Nullstelle) und x₄ = 5. Manchmal musst du beide Methoden kombinieren - keine Panik, das schaffst du auch!

Praxistipp: Schau dir die Funktion genau an und erkenne das Muster - das spart dir Zeit und Nerven in der Klausur.

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•Thema: Analysis ~ Nullstellen ganzrationaler Fun

Differenzenquotienten und Linearfaktordarstellung verstehen

Der Differenzenquotient beschreibt die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Graphen. Die Formel m = f(b)f(a)f(b) - f(a) / bab - a ist dein Freund - sie zeigt dir die mittlere Änderungsrate im Intervall a,ba, b.

Stell dir vor, du fährst Auto: Der Differenzenquotient ist wie deine Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen zwei Orten. Bei f(x) = x² + x im Intervall 3,113, 11 rechnest du: f(11)f(3)f(11) - f(3) / (11 - 3) = (132 - 12) / 8 = 15.

Die Linearfaktordarstellung wandelt deine Funktion in ein Produkt um: f(x) = axx1x - x₁xx2x - x₂...xxnx - xₙ. Der große Vorteil? Du kannst die Nullstellen direkt ablesen und ihre Vielfachheit erkennen. Eine einfache Nullstelle schneidet die x-Achse, eine doppelte berührt sie nur.

Klausurtipp: Im CAS gibst du einfach f(11)-f(3) / (11-3) ein - das spart kostbare Zeit!

MATHEKLAUSUR
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•Thema: Analysis ~ Nullstellen ganzrationaler Fun

Funktionstransformationen meistern

Funktionstransformationen sind wie Befehle für deinen Graphen - jede Veränderung folgt klaren Regeln, die du schnell durchschaust. Mit diesen Werkzeugen verwandelst du einfache Grundfunktionen in komplexere Formen.

Verschiebungen sind straightforward: g(x) = f(x) + c verschiebt nach oben/unten, g(x) = fx+cx + c verschiebt nach links/rechts. Streckungen mit g(x) = a·f(x) machen den Graph steiler (|a| > 1) oder flacher (0 < |a| < 1).

Spiegelungen funktionieren intuitiv: g(x) = -f(x) spiegelt an der x-Achse, g(x) = fx-x an der y-Achse. Du kannst alle Transformationen kombinieren: g(x) = a·fb(xc)b(x - c) + d gibt dir volle Kontrolle über Streckung, Verschiebung und Form.

Erfolgsgeheimnis: Zeichne dir kleine Skizzen - so siehst du sofort, ob deine Transformation stimmt und entwickelst ein Gefühl für die Funktionen.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Einführung in Nullstellen, Differenzenquotienten und Funktionen-Transformationen

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Mika

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Bald steht deine zweite Matheklausur an und das Thema Analysis kann erstmal überwältigend wirken. Diese Zusammenfassung zeigt dir die wichtigsten Konzepte zu Nullstellen, Differenzenquotienten und Funktionstransformationen - alles was du für eine gute Note brauchst!

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Nullstellen berechnen - So findest du die Lösungen

Du fragst dich, wie du Nullstellen systematisch findest? Hier ist die gute Nachricht: Es gibt klare Methoden für jeden Funktionstyp, und mit etwas Übung bekommst du das definitiv hin.

Lineare Funktionen (Grad 1) sind am einfachsten: Setze f(x) = 0, bringe den konstanten Term auf die andere Seite und teile durch die Steigung. Bei f(x) = 2x - 6 wird daraus 2x = 6, also x = 3. Fertig - lineare Funktionen haben immer genau eine Nullstelle.

Bei quadratischen Funktionen (Grad 2) hast du drei verschiedene Werkzeuge: Die PQ-Formel für die allgemeine Form ax² + bx + c, das Ausklammern bei ax² + bx, und Wurzelziehen bei ax² + c. Welche Methode du wählst, hängt davon ab, welche Terme in deiner Gleichung vorkommen.

Merktipp: Quadratische Funktionen können null, eine oder zwei Nullstellen haben - das erkennst du an der Diskriminante unter der Wurzel in der PQ-Formel.

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Komplexere Funktionen knacken

Funktionen höheren Grades sehen kompliziert aus, aber du hast zwei starke Methoden: Substitution und Ausklammern. Die richtige Wahl macht den Unterschied zwischen Frust und Erfolg.

Substitution verwendest du, wenn deine Funktion die Form ax⁴ + bx² + c hat. Setze einfach u = x² und löse die entstehende quadratische Gleichung mit der PQ-Formel. Danach setzt du zurück: Aus u = 7 wird x² = 7, also x = ±√7.

Ausklammern funktioniert, wenn alle Terme ein gemeinsames x haben. Bei x⁴ - 5x³ = 0 klammerst du x³ aus: x³x5x - 5 = 0. Das gibt dir x₁₂₃ = 0 (dreifache Nullstelle) und x₄ = 5. Manchmal musst du beide Methoden kombinieren - keine Panik, das schaffst du auch!

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Differenzenquotienten und Linearfaktordarstellung verstehen

Der Differenzenquotient beschreibt die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Graphen. Die Formel m = f(b)f(a)f(b) - f(a) / bab - a ist dein Freund - sie zeigt dir die mittlere Änderungsrate im Intervall a,ba, b.

Stell dir vor, du fährst Auto: Der Differenzenquotient ist wie deine Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen zwei Orten. Bei f(x) = x² + x im Intervall 3,113, 11 rechnest du: f(11)f(3)f(11) - f(3) / (11 - 3) = (132 - 12) / 8 = 15.

Die Linearfaktordarstellung wandelt deine Funktion in ein Produkt um: f(x) = axx1x - x₁xx2x - x₂...xxnx - xₙ. Der große Vorteil? Du kannst die Nullstellen direkt ablesen und ihre Vielfachheit erkennen. Eine einfache Nullstelle schneidet die x-Achse, eine doppelte berührt sie nur.

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Funktionstransformationen meistern

Funktionstransformationen sind wie Befehle für deinen Graphen - jede Veränderung folgt klaren Regeln, die du schnell durchschaust. Mit diesen Werkzeugen verwandelst du einfache Grundfunktionen in komplexere Formen.

Verschiebungen sind straightforward: g(x) = f(x) + c verschiebt nach oben/unten, g(x) = fx+cx + c verschiebt nach links/rechts. Streckungen mit g(x) = a·f(x) machen den Graph steiler (|a| > 1) oder flacher (0 < |a| < 1).

Spiegelungen funktionieren intuitiv: g(x) = -f(x) spiegelt an der x-Achse, g(x) = fx-x an der y-Achse. Du kannst alle Transformationen kombinieren: g(x) = a·fb(xc)b(x - c) + d gibt dir volle Kontrolle über Streckung, Verschiebung und Form.

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Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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