Mathe Lernzettel: Funktionen und Transformationen

Grundlagen der Funktionen

Funktionen sind eindeutige Zuordnungen - das bedeutet, zu jedem x-Wert gehört genau ein y-Wert. Stell dir vor wie eine Maschine: Du steckst eine Zahl rein, sie rechnet etwas damit und spuckt genau eine Antwort aus.

Die Definitionsmenge D zeigt dir, welche x-Werte überhaupt erlaubt sind. Bei f$x$ = 4/x² darf x nicht 0 sein, sonst würdest du durch null teilen - das geht nicht! Also ist D = ℝ{0}.

Lineare Funktionen haben die Form f$x$ = mx + b und ergeben immer eine gerade Linie. Quadratische Funktionen wie f$x$ = ax² + bx + c zeichnen Parabeln. Um Schnittpunkte mit den Achsen zu finden: Für die x-Achse setzt du f$x$ = 0, für die y-Achse setzt du x = 0 ein.

Merktipp: Bei Brüchen immer prüfen, wann der Nenner null wird - diese x-Werte sind verboten!

Umformen quadratischer Funktionen

Du kannst quadratische Funktionen in drei verschiedenen Formen schreiben, je nachdem was du brauchst. Jede Form verrät dir andere wichtige Infos auf einen Blick.

Die Normalform f$x$ = ax² + bx + c zeigt dir sofort den y-Achsenabschnitt (das ist c). Die Scheitelpunktform f$x$ = a$x-d$² + e verrät dir den Scheitelpunkt S(d|e). Die faktorisierte Form f$x$ = ax-r$$x-s zeigt dir die Nullstellen bei x = r und x = s.

Potenzfunktionen haben die Form f$x$ = ax^n. Bei geradem n ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, bei ungeradem n punktsymmetrisch zum Ursprung. Alle gehen durch den Punkt (1|a).

Bei negativen Exponenten wie f$x$ = a/x^n entstehen Hyperbeln. Diese haben bei x = 0 eine Definitionslücke und nähern sich den Achsen an, ohne sie zu berühren.

Praxis-Tipp: Übe das Umformen zwischen den Formen - das brauchst du ständig in Klassenarbeiten!

Transformationen von Funktionen

Transformationen sind wie Filter für Funktionsgraphen - du veränderst systematisch Form und Position. Das ist super praktisch, weil du aus einem Grundgraphen unendlich viele neue erstellen kannst.

Verschiebungen funktionieren intuitiv: f$x$ + d verschiebt um d nach oben, f$x-c$ verschiebt um c nach rechts. Achtung bei der x-Richtung: Das Vorzeichen ist umgekehrt zu dem, was du erwartest!

Streckungen verändern die Größe des Graphen. Der Faktor a in a·f$x$ streckt in y-Richtung, f(bx) streckt mit Faktor 1/b in x-Richtung. Werte zwischen -1 und 1 stauchen den Graphen zusammen.

Negative Faktoren spiegeln zusätzlich: -f$x$ spiegelt an der x-Achse, f$-x$ an der y-Achse. Du kannst mehrere Transformationen kombinieren - dann wendest du sie der Reihe nach an.

Übungstrick: Zeichne erst den Grundgraphen, dann wende Schritt für Schritt jede Transformation an!