Funktionsuntersuchungen - Das komplette Schema

Funktionsuntersuchungen folgen immer einem festen 10-Punkte-Plan, den du für jede Klausur brauchst. Die wichtigsten Schritte sind Definitionsbereich, Symmetrie, Ableitungen und Extremstellen.

Bei der Symmetrie checkst du: Nur ungerade Exponenten = punktsymmetrisch zum Ursprung $-f(x) = f(-x)$. Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch zur y-Achse $f(x) = f(-x)$.

Die Grenzbetrachtung zeigt dir, was passiert, wenn x gegen plus oder minus unendlich geht. Das brauchst du später für deine Skizze.

Merktipp: Koordinaten IMMER vollständig berechnen und angeben - das gibt Punkte!

Ableitungen sind der Schlüssel: f'(x) zeigt die Steigung, f''(x) die Änderung der Steigung. Bei Extremstellen setzt du f'(x) = 0 und prüfst mit f''(x): größer null = Tiefpunkt, kleiner null = Hochpunkt.

Integrale und Trassierungen

Integrale berechnest du mit der Formel ∫f(x)dx = [F(x)] = F(b) - F(a). Wichtig: Bei Flächeninhalten immer Betragsstriche verwenden, da Flächen nie negativ sind!

Das Rotationsvolumen kriegst du mit V = π ∫(f(x))²dx. Die Grenzen findest du im angegebenen Intervall oder bei den Nullstellen.

Trassierungen verbinden verschiedene Funktionen glatt miteinander. Du brauchst drei Bedingungen: sprungfrei $gleiche y-Werte an den Übergängen$, knickfrei (gleiche Steigungen) und krümmungsruckfrei (gleiche zweite Ableitungen).

Praxistipp: 6 Bedingungen ergeben eine Funktion 5. Grades - das LGS wird groß, aber ist machbar!

Exponentialfunktionen erkennst du an f(t) = c·bᵗ, wobei c der Startwert und b der Wachstumsfaktor ist. Die Halbwertszeit berechnest du mit TH = -ln(2)/k.

Bestimmung ganzrationaler Funktionen und Extremalprobleme

Ganzrationale Funktionen bestimmst du, indem du die allgemeine Form aufstellst und an die gegebenen Bedingungen anpasst. Bei Punktsymmetrie zum Ursprung fallen alle geraden Potenzen weg!

Aus den gegebenen Punkten und Eigenschaften (wie Hochpunkt) stellst du ein Gleichungssystem auf. Denk daran: Ein Hochpunkt bedeutet f'(x) = 0 an dieser Stelle.

Extremalprobleme löst du in vier Schritten: Extremalbedingung aufstellen (was soll maximal werden?), Nebenbedingung finden, Zielfunktion formulieren und mit Ableitung das Maximum suchen.

Bei linearen Gleichungssystemen hilft das Gauß-Verfahren. Du bringst das System in Stufenform und löst von unten nach oben auf.

Erfolgsgeheimnis: Immer einen klaren Antwortsatz schreiben - das zeigt, dass du das Problem verstanden hast!

Funktionsscharen - Wenn Parameter ins Spiel kommen

Funktionsscharen enthalten einen Parameter (meist t oder k), der die Funktion verändert. Du untersuchst sie genauso wie normale Funktionen, nur dass überall der Parameter mitläuft.

Für Ortskurven bestimmst du erst die Extremstellen in Abhängigkeit vom Parameter. Dann löst du die x-Koordinate nach dem Parameter auf und setzt in die y-Koordinate ein.

Gemeinsame Punkte von Funktionsscharen findest du, indem du f_t1(x) = f_t2(x) setzt. Oft entstehen dabei schöne Vereinfachungen.

Bei Flächenberechnungen zwischen den Nullstellen musst du aufpassen: Negative Integrale nimmst du mit Betrag und addierst alle Teilflächen.

Achtung: Nullstellen der Funktionsschar ändern sich mit dem Parameter - immer neu berechnen!

Die berechnete Fläche setzt du gleich dem gegebenen Wert und löst nach dem Parameter auf.

Stochastik - Kombinatorik und Bernoulli-Verteilung

Kombinatorik entscheidest du mit drei Fragen: Auswahl oder Permutation? Reihenfolge wichtig? Elemente mehrfach verwendbar? Das führt dich zur richtigen Formel.

Die Bernoulli-Verteilung brauchst du bei n-stufigen Experimenten mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit p. Die Formel lautet: P$X = k$ = (n über k) · p^k · q^$n-k$.

Histogramme zeigen dir die Wahrscheinlichkeitsverteilung grafisch. Der Erwartungswert ist μ = n · p - das ist der Wert, den du im Durchschnitt erwartest.

Merkhilfe: Bei Bernoulli denkst du an Ja/Nein-Experimente wie Münzwurf oder defekte Produkte!

Das Kugel-Fächer-Modell hilft bei komplexeren Aufgaben: 150 Kugeln auf 365 Tage verteilen entspricht Geburtstagsproblemen.

Vierfeldertafel und Hypothesentests

Die Vierfeldertafel organisiert bedingte Wahrscheinlichkeiten übersichtlich. Du kannst damit alle fehlenden Werte berechnen und Baumdiagramme erstellen.

Hypothesentests prüfen Vermutungen über Parameter. Du unterscheidest: linksseitig (wird p kleiner?), rechtsseitig (wird p größer?) und zweiseitig (verändert sich p?).

Die Nullhypothese H₀ ist das, was du widerlegst willst. Die Alternativhypothese H₁ ist deine Vermutung. Je nach Test verwendest du verschiedene kritische Werte (1,64 für 90%, 1,96 für 95%).

Fehler 1. Art: Du lehnst H₀ ab, obwohl sie stimmt (etwa 5%). Fehler 2. Art: Du nimmst H₀ an, obwohl sie falsch ist.

Prüfungstrick: Stelle immer zuerst die Hypothesen auf, dann entscheidest du über links-/rechts-/zweiseitig!

Der Aufbau ist immer gleich: Hypothese → Testrichtung → Grenzen → Intervall → Entscheidungsregel → Fehlerbetrachtung.

Analytische Geometrie - Geraden im Raum

Parameterdarstellung von Geraden: g: x⃗ = p⃗ + r · v⃗, wobei p⃗ der Stützvektor und v⃗ der Richtungsvektor ist. Jeder Punkt der Geraden entsteht durch Einsetzen verschiedener Parameter r.

Die Punktprobe checkt, ob ein Punkt auf der Geraden liegt. Du setzt die Koordinaten gleich und löst das entstehende Gleichungssystem.

Lagebeziehungen von Geraden: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Ja → parallel oder identisch. Nein → Schnittpunkt oder windschief.

Das Skalarprodukt a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ prüft Orthogonalität (= 0) und berechnet Winkel: cos φ = (u⃗ · v⃗)/(|u⃗| · |v⃗|).

Geometrie-Hack: Spurpunkte findest du, indem du eine Koordinate gleich null setzt!

Das Kreuzprodukt a⃗ × b⃗ liefert einen orthogonalen Vektor zu beiden Ausgangsvektoren - perfekt für Normalenvektoren.

Ebenen und Abstände im Raum

Ebenen stellst du in drei Formen dar: Parameterform $E: x⃗ = a⃗ + s·b⃗ + t·c⃗$, Normalenform $E: (x⃗ - a⃗) · n⃗ = 0$ und Koordinatenform $E: ax + by + cz = d$.

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du mit A = ½|AB⃗ × AC⃗|. Das Kreuzprodukt gibt dir einen orthogonalen Vektor, dessen Betrag die Parallelogramm-Fläche ist.

Die Punktprobe bei Ebenen funktioniert wie bei Geraden: Punkt einsetzen und schauen, ob die Gleichung erfüllt ist.

Abstände zwischen Punkt und Gerade berechnest du mit d(Q,g) = |$(q⃗ - p⃗) × u⃗$|/|u⃗|. Das sieht kompliziert aus, ist aber nur eine Formel zum Auswendiglernen.

3D-Tipp: Drei Punkte bilden nur dann eine Ebene, wenn sie nicht kollinear sind - sie müssen ein Dreieck bilden!

Denk daran: Geraden können sich schneiden, parallel oder identisch sein, oder windschief verlaufen. Bei Ebenen kommen noch mehr Möglichkeiten dazu.