Grundlagen zu Funktionen

Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet. Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst alle möglichen x-Werte, während die Wertemenge alle erreichbaren y-Werte enthält.

Funktionen werden meist in der Form f(x) notiert, wobei f der Name der Funktion ist. Die Funktionsvorschrift gibt an, wie man aus einem x-Wert den zugehörigen y-Wert berechnet, z.B. f(x) = 2x² - 3.

Es gibt verschiedene Funktionstypen: Die lineare Funktion hat die Normalform f(x) = m·x + n, wobei m die Steigung und n der y-Achsenabschnitt ist. Die quadratische Funktion kann entweder in der Normalform f(x) = ax² + bx + c oder der Scheitelpunktform f(x) = a$x-d$² + e geschrieben werden.

💡 Merke dir: Bei der Scheitelpunktform kannst du den Scheitelpunkt S(d|e) direkt ablesen, ohne zu rechnen!

Aufstellen von Funktionsgleichungen und Achsenschnittpunkte

Um eine lineare Funktionsgleichung aufzustellen, benötigst du zwei Punkte. Berechne zuerst die Steigung m mit der Formel m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$. Setze dann einen der Punkte in die Gleichung ein, um n zu ermitteln.

Bei den Achsenschnittpunkten unterscheiden wir zwischen dem y-Achsenschnittpunkt (Sy) und den x-Achsenschnittpunkten (Nullstellen). Den y-Achsenschnittpunkt erhältst du, indem du x=0 in die Funktionsgleichung einsetzt. Für die Nullstellen setzt du f(x)=0 und löst nach x auf.

Bei quadratischen Funktionen benötigst du für die Berechnung der Nullstellen oft die pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$. Die Zahlen p und q erhältst du aus der Normalform f(x) = x² + px + q.

🔑 Die Nullstellen sind wichtige Punkte einer Funktion und helfen dir, den Graphen schnell zu skizzieren!

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen haben die Form f(x) = a·xⁿ mit a ∈ ℝ und n ∈ ℕ. Diese Funktionen haben drei wichtige Eigenschaften, die du kennen solltest.

Alle Graphen von Potenzfunktionen verlaufen durch den Punkt S(0|0). Der Faktor a bestimmt dabei, ob der Graph gestreckt oder gestaucht wird: Für |a| > 1 ist der Graph gestreckt, für -1 < a < 1 ist er gestaucht.

Der Exponent n beeinflusst die Symmetrie der Funktion. Bei geradem Exponenten ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Bei ungeradem Exponenten verläuft der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

🧩 Eine einfache Eselsbrücke: Gerade Exponenten = achsensymmetrisch, ungerade Exponenten = punktsymmetrisch!

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen haben die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀, wobei aₙ ≠ 0 ist und n eine natürliche Zahl. Hier nennt man a₀ das absolute Glied und n den Grad der Funktion.

Das Verhalten für x → ∞ wird vom Term mit der höchsten Potenz (aₙxⁿ) bestimmt. Für x-Werte nahe 0 dominieren dagegen die Terme mit den niedrigsten Potenzen. Dies hilft dir, den Funktionsgraphen zu skizzieren.

Wichtige Regeln: Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn alle Exponenten gerade sind, und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn alle Exponenten ungerade sind. Der Graph verläuft durch den Ursprung, wenn das absolute Glied a₀ = 0 ist.

📝 Beim Zeichnen von Funktionsgraphen konzentriere dich zuerst auf das Verhalten für sehr große und sehr kleine x-Werte sowie auf die Nullstellen!

Verhalten von Funktionen im Unendlichen

Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion für x → ±∞ hängt vom Exponenten der höchsten Potenz und deren Koeffizienten ab. Diese Kombinationen solltest du kennen:

Bei geradem Exponenten mit positivem Koeffizienten gilt: x → ±∞ ⇒ f(x) → +∞. Hat der Koeffizient ein negatives Vorzeichen, dann gilt: x → ±∞ ⇒ f(x) → -∞.

Bei ungeradem Exponenten mit positivem Koeffizienten gilt: x → +∞ ⇒ f(x) → +∞ und x → -∞ ⇒ f(x) → -∞. Mit negativem Koeffizienten kehrt sich dieses Verhalten um.

Beispiel: Bei f(x) = 2x⁴ + x² - 5x + 2 ist die höchste Potenz 2x⁴ mit geradem Exponenten und positivem Koeffizienten. Daher gilt: x → ±∞ ⇒ f(x) → +∞.

🔍 Das Verhalten einer Funktion für x → ±∞ kannst du in einer Kurvendiskussion einfach bestimmen, wenn du auf den Term mit der höchsten Potenz achtest!

Symmetrie von Funktionen

Bei ganzrationalen Funktionen gibt es zwei wichtige Symmetriearten, die du erkennen solltest:

1. Achsensymmetrie zur y-Achse: Wenn alle Exponenten in den Potenzen von x gerade sind. Hier gilt: f$-x$ = f(x).

2. Punktsymmetrie zum Ursprung: Wenn alle Exponenten in den Potenzen von x ungerade sind. Hier gilt: f$-x$ = -f(x).

Du kannst die Symmetrie einer Funktion auf zwei Arten überprüfen: Entweder durch Begründung anhand der Exponenten oder durch direktes Einsetzen von -x in die Funktionsgleichung und Überprüfung der Bedingungen.

Beispiel: Bei f(x) = x/$x²+4$ ergibt f$-x$ = -x/$(-x)²+4$ = -x/$x²+4$ = -f(x), also ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

⚖️ Die Symmetrieeigenschaften helfen dir, den Graphen schneller zu skizzieren – wenn du die eine Hälfte kennst, kannst du die andere spiegeln!

Symmetrien bestimmen

Um Symmetrien zu überprüfen, kannst du zwei Wege gehen. Beim ersten Weg schaust du auf die Exponenten: Sind alle gerade, liegt Achsensymmetrie vor; sind alle ungerade, liegt Punktsymmetrie vor.

Der zweite Weg ist das direkte Nachrechnen: Setze -x in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob f$-x$ = f(x) (Achsensymmetrie) oder f$-x$ = -f(x) (Punktsymmetrie) gilt.

Beispiel: Bei f(x) = 2x⁴ - x² + 1 sind alle Exponenten gerade, also ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Durch Einsetzen bestätigt sich das: f$-x$ = 2$-x$⁴ - $-x$² + 1 = 2x⁴ - x² + 1 = f(x).

🧮 Merke dir diese Regeln für die Klausur: Gerade Exponenten → achsensymmetrisch → f$-x$ = f(x). Ungerade Exponenten → punktsymmetrisch → f$-x$ = -f(x).

Berechnung von Nullstellen

Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse. Je nach Funktionstyp gibt es verschiedene Lösungsmethoden:

Durch Ablesen findest du Nullstellen direkt aus der Funktionsgleichung, wenn diese in Faktorform vorliegt, z.B. f(x) = x²$x+1$²$2-x$ = 0, hier sind x₁ = 0, x₂ = -1 und x₃ = 2 die Nullstellen.

Durch Ausklammern kannst du oft mehrere Nullstellen finden, wie bei f(x) = 3x² + 4x = 0 → x$3x + 4$ = 0, woraus x₁ = 0 und x₂ = -4/3 folgen.

Für quadratische Gleichungen eignet sich die pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$. Bei Funktionen höheren Grades kannst du Substitution anwenden, z.B. bei f(x) = x⁴ - 7x² + 12 = 0 mit z = x².

🎯 Die Null-Produkt-Regel ist dein bester Freund: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist!

Substitution bei höhergradigen Gleichungen

Bei komplizierteren Gleichungen hilft oft die Substitution, um sie auf bekannte Formen zurückzuführen. Besonders bei biquadratischen Gleichungen (x⁴, x², Konstante) ist die Substitution z = x² sehr nützlich.

Am Beispiel f(x) = x⁵ - 4x³ - 5x = 0 kannst du zuerst x ausklammern: x$x⁴ - 4x² - 5$ = 0. Daraus ergibt sich sofort x₁ = 0 als eine Nullstelle.

Für den zweiten Teil x⁴ - 4x² - 5 = 0 verwendest du z = x², erhältst z² - 4z - 5 = 0 und löst mit der pq-Formel: z₁,₂ = 2 ± 3. Daraus ergeben sich z₁ = 5 und z₂ = -1.

Da z = x² gilt, führt z₁ = 5 zu x₂ = √5 und x₃ = -√5. Der Wert z₂ = -1 liefert keine reelle Lösung, da x² nicht negativ sein kann.

💫 Substitution verwandelt komplizierte Gleichungen in einfachere – ein echter Zaubertrick für höhergradige Funktionen!