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Mathe
13. Dez. 2025
2.436
2 Seiten
Clara @heliophilia
Beschränktes Wachstum ist ein wichtiges mathematisches Modell, das ihr in der Oberstufe kennenlernen werdet. Es beschreibt Wachstumsprozesse, die... Mehr anzeigen
Stellt euch vor, euer neuer TikTok-Trend verbreitet sich in eurer Schule - aber irgendwann kennen ihn alle, und dann ist Schluss. Genau das ist beschränktes Wachstum ein mathematisches Modell mit einer natürlichen Obergrenze, auch Sättigung oder Kapazität genannt.
Das Modell funktioniert in beide Richtungen. Bei nach oben beschränktem Wachstum (S > B) gilt B(t) = S - e^. Bei nach unten beschränktem Wachstum (S < B) ist es B(t) = S + e^.
Die Parameter sind einfach zu verstehen t ist die Zeit, B(0) der Startwert, B(t) der Wert nach Zeit t, S die natürliche Schranke und k die Wachstumskonstante. Diese Formeln braucht ihr definitiv für Klausuren!
Merktipp Die Schranke S bestimmt, ob das Wachstum nach oben oder unten begrenzt ist - vergleicht einfach S mit eurem Startwert B(0).
Ein Verlag will eine neue Zeitschrift in einer 4000-Haushalte-Stadt verkaufen - nach einer Woche sind bereits 1436 Exemplare verkauft. Solche Aufgaben kommen gerne in Prüfungen vor, deshalb schauen wir uns das Schritt für Schritt an.
Zuerst sammeln wir die Daten B(0) = 0 (niemand hat anfangs die Zeitschrift), S = 4000 (maximale Haushalte) und nach einer Woche B(1) = 1436. Die Grundfunktion wird zu B(t) = 4000 - 4000e^.
Um k zu berechnen, setzen wir die bekannten Werte ein 1436 = 4000 - 4000e^. Nach Umformen erhalten wir e^ = 0,64, also k ≈ 0,445. Die fertige Funktion lautet B(t) = 4000 - 4000e^.
Für 75% Marktdurchdringung (3000 Haushalte) lösen wir 3000 = 4000 - 4000e^ und erhalten t ≈ 3,1 Wochen. So könnt ihr jede ähnliche Aufgabe systematisch angehen!
Klausurtipp Sammelt immer zuerst alle gegebenen Werte und identifiziert die Schranke S - dann wird das Aufstellen der Funktion viel einfacher.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
61
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über den Wirtschaftskreislauf, die Marktmechanismen sowie die Konzepte von Angebot und Nachfrage. Er behandelt zentrale Themen wie den einfachen und erweiterten Wirtschaftskreislauf, Preisbildung, Gleichgewichtspreis und -menge sowie verschiedene Marktformen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen des logistischen Wachstums, einschließlich der mathematischen Modelle, der historischen Entwicklung durch Pierre-François Verhulst und praktischer Beispiele wie Bakterienkulturen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der S-Kurve und der Unterschiede zwischen logistischem und beschränktem Wachstum. Ideal für Schüler und Studierende der Mathematik.
MatheErforschen Sie die zyklische Entwicklung von Populationen durch Übergangsmatrizen. Diese Zusammenfassung behandelt die Bedeutung von Übergangsmatrizen, Vermehrungs- und Überlebensraten sowie die Struktur quadratischer Matrizen. Ideal für Studierende, die sich mit dem Wachstum von Populationen und deren langfristigen Trends beschäftigen.
MatheVergleichen Sie exponentielles und lineares Wachstum anhand von Wachstums- und Zerfallprozessen. Diese Zusammenfassung behandelt die mathematischen Modelle, die Unterschiede in den Wachstumsraten und praktische Beispiele wie Zinsen und Bevölkerungsentwicklung. Ideal für Studierende, die die Konzepte des exponentiellen Wachstums verstehen möchten.
MatheEntdecken Sie die Unterschiede zwischen linearem und exponentiellem Wachstum. Diese Zusammenfassung behandelt die mathematischen Funktionen, die hinter diesen Wachstumsarten stehen, und erklärt, wie sich die Änderungsraten unterscheiden. Ideal für Studierende, die die Grundlagen des Wachstums verstehen möchten.
MatheEntdecken Sie die komplexe Welt der mathematischen Modellierung in dieser umfassenden Präsentation. Erfahren Sie, wie reale Probleme in mathematische Modelle übersetzt werden, und lernen Sie den Modellierungskreislauf nach Blum kennen. Diese Arbeit behandelt wichtige Konzepte wie Regression, Funktionsermittlung und die Anwendung mathematischer Methoden zur Lösung von Problemen. Ideal für Schüler der Qualifikationsphase, die ihre Kenntnisse in Mathematik vertiefen möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Clara
@heliophilia
Beschränktes Wachstum ist ein wichtiges mathematisches Modell, das ihr in der Oberstufe kennenlernen werdet. Es beschreibt Wachstumsprozesse, die durch natürliche Grenzen eingeschränkt werden - perfekt für realistische Situationen wie Marktanteile oder Populationsentwicklung.
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Stellt euch vor, euer neuer TikTok-Trend verbreitet sich in eurer Schule - aber irgendwann kennen ihn alle, und dann ist Schluss. Genau das ist beschränktes Wachstum: ein mathematisches Modell mit einer natürlichen Obergrenze, auch Sättigung oder Kapazität genannt.
Das Modell funktioniert in beide Richtungen. Bei nach oben beschränktem Wachstum (S > B) gilt: B(t) = S - e^. Bei nach unten beschränktem Wachstum (S < B) ist es: B(t) = S + e^.
Die Parameter sind einfach zu verstehen: t ist die Zeit, B(0) der Startwert, B(t) der Wert nach Zeit t, S die natürliche Schranke und k die Wachstumskonstante. Diese Formeln braucht ihr definitiv für Klausuren!
Merktipp: Die Schranke S bestimmt, ob das Wachstum nach oben oder unten begrenzt ist - vergleicht einfach S mit eurem Startwert B(0).
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Ein Verlag will eine neue Zeitschrift in einer 4000-Haushalte-Stadt verkaufen - nach einer Woche sind bereits 1436 Exemplare verkauft. Solche Aufgaben kommen gerne in Prüfungen vor, deshalb schauen wir uns das Schritt für Schritt an.
Zuerst sammeln wir die Daten: B(0) = 0 (niemand hat anfangs die Zeitschrift), S = 4000 (maximale Haushalte) und nach einer Woche B(1) = 1436. Die Grundfunktion wird zu B(t) = 4000 - 4000e^.
Um k zu berechnen, setzen wir die bekannten Werte ein: 1436 = 4000 - 4000e^. Nach Umformen erhalten wir e^ = 0,64, also k ≈ 0,445. Die fertige Funktion lautet: B(t) = 4000 - 4000e^.
Für 75% Marktdurchdringung (3000 Haushalte) lösen wir 3000 = 4000 - 4000e^ und erhalten t ≈ 3,1 Wochen. So könnt ihr jede ähnliche Aufgabe systematisch angehen!
Klausurtipp: Sammelt immer zuerst alle gegebenen Werte und identifiziert die Schranke S - dann wird das Aufstellen der Funktion viel einfacher.
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Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über den Wirtschaftskreislauf, die Marktmechanismen sowie die Konzepte von Angebot und Nachfrage. Er behandelt zentrale Themen wie den einfachen und erweiterten Wirtschaftskreislauf, Preisbildung, Gleichgewichtspreis und -menge sowie verschiedene Marktformen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen des logistischen Wachstums, einschließlich der mathematischen Modelle, der historischen Entwicklung durch Pierre-François Verhulst und praktischer Beispiele wie Bakterienkulturen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der S-Kurve und der Unterschiede zwischen logistischem und beschränktem Wachstum. Ideal für Schüler und Studierende der Mathematik.
MatheErforschen Sie die zyklische Entwicklung von Populationen durch Übergangsmatrizen. Diese Zusammenfassung behandelt die Bedeutung von Übergangsmatrizen, Vermehrungs- und Überlebensraten sowie die Struktur quadratischer Matrizen. Ideal für Studierende, die sich mit dem Wachstum von Populationen und deren langfristigen Trends beschäftigen.
MatheVergleichen Sie exponentielles und lineares Wachstum anhand von Wachstums- und Zerfallprozessen. Diese Zusammenfassung behandelt die mathematischen Modelle, die Unterschiede in den Wachstumsraten und praktische Beispiele wie Zinsen und Bevölkerungsentwicklung. Ideal für Studierende, die die Konzepte des exponentiellen Wachstums verstehen möchten.
MatheEntdecken Sie die Unterschiede zwischen linearem und exponentiellem Wachstum. Diese Zusammenfassung behandelt die mathematischen Funktionen, die hinter diesen Wachstumsarten stehen, und erklärt, wie sich die Änderungsraten unterscheiden. Ideal für Studierende, die die Grundlagen des Wachstums verstehen möchten.
MatheEntdecken Sie die komplexe Welt der mathematischen Modellierung in dieser umfassenden Präsentation. Erfahren Sie, wie reale Probleme in mathematische Modelle übersetzt werden, und lernen Sie den Modellierungskreislauf nach Blum kennen. Diese Arbeit behandelt wichtige Konzepte wie Regression, Funktionsermittlung und die Anwendung mathematischer Methoden zur Lösung von Problemen. Ideal für Schüler der Qualifikationsphase, die ihre Kenntnisse in Mathematik vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
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Anna
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Jana V
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Lena M
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Julia S
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Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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