Beschränktes Wachstum - Die Grundlagen

Stellt euch vor, euer neuer TikTok-Trend verbreitet sich in eurer Schule - aber irgendwann kennen ihn alle, und dann ist Schluss. Genau das ist beschränktes Wachstum: ein mathematisches Modell mit einer natürlichen Obergrenze, auch Sättigung oder Kapazität genannt.

Das Modell funktioniert in beide Richtungen. Bei nach oben beschränktem Wachstum (S > B) gilt: B$t$ = S - $S - B(0)$e^$-kt$. Bei nach unten beschränktem Wachstum (S < B) ist es: B$t$ = S + $B(0) - S$e^$-kt$.

Die Parameter sind einfach zu verstehen: t ist die Zeit, B(0) der Startwert, B$t$ der Wert nach Zeit t, S die natürliche Schranke und k die Wachstumskonstante. Diese Formeln braucht ihr definitiv für Klausuren!

Merktipp: Die Schranke S bestimmt, ob das Wachstum nach oben oder unten begrenzt ist - vergleicht einfach S mit eurem Startwert B(0).

Praxisbeispiel - Zeitschriftenverkauf lösen

Ein Verlag will eine neue Zeitschrift in einer 4000-Haushalte-Stadt verkaufen - nach einer Woche sind bereits 1436 Exemplare verkauft. Solche Aufgaben kommen gerne in Prüfungen vor, deshalb schauen wir uns das Schritt für Schritt an.

Zuerst sammeln wir die Daten: B(0) = 0 (niemand hat anfangs die Zeitschrift), S = 4000 (maximale Haushalte) und nach einer Woche B(1) = 1436. Die Grundfunktion wird zu B$t$ = 4000 - 4000e^$-kt$.

Um k zu berechnen, setzen wir die bekannten Werte ein: 1436 = 4000 - 4000e^$-k$. Nach Umformen erhalten wir e^$-k$ = 0,64, also k ≈ 0,445. Die fertige Funktion lautet: B$t$ = 4000 - 4000e^$-0,445t$.

Für 75% Marktdurchdringung (3000 Haushalte) lösen wir 3000 = 4000 - 4000e^$-0,445t$ und erhalten t ≈ 3,1 Wochen. So könnt ihr jede ähnliche Aufgabe systematisch angehen!

Klausurtipp: Sammelt immer zuerst alle gegebenen Werte und identifiziert die Schranke S - dann wird das Aufstellen der Funktion viel einfacher.