Definitions- und Wertemenge

Die Definitionsmenge ($D_f$) einer Funktion umfasst alle Werte, die du für x einsetzen darfst. Die Wertemenge ($W_f$) enthält alle möglichen Ergebnisse (y-Werte), die eine Funktion liefern kann. Beide sind entscheidend, um Funktionen korrekt zu verstehen.

Wichtige Zahlenmengen sind dabei:

• $\mathbb{R}$ - alle reellen Zahlen
• $\mathbb{R}^+$ - alle positiven reellen Zahlen
• $\mathbb{R}_0^+$ - alle positiven reellen Zahlen und die 0
• $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ - alle reellen Zahlen außer 0

Bei einer quadratischen Funktion $f(x) = x^2$ ist $D_f = \mathbb{R}$ (du kannst jede reelle Zahl einsetzen), aber $W_f = \mathbb{R}_0^+$ (das Ergebnis ist immer positiv oder 0). Anders sieht es bei der kubischen Funktion $f(x) = x^3$ aus, wo $D_f = W_f = \mathbb{R}$ gilt.

💡 Merke: Bei der Antiproportionalität $f(x) = \frac{1}{x}$ musst du besonders aufpassen – hier ist $D_f = \mathbb{R}\setminus\{0\}$, da du nicht durch 0 teilen kannst!

Spezielle Funktionstypen

Die Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x}$ hat besondere Eigenschaften: Du kannst nur nicht-negative Zahlen als x-Werte verwenden ($D_f = \mathbb{R}_0^+$) und erhältst auch nur nicht-negative Ergebnisse ($W_f = \mathbb{R}_0^+$). Bei der Funktion $f(x) = \frac{1}{x^2}$ ist die Definitionsmenge $D_f = \mathbb{R}\setminus\{0\}$, da du nicht durch 0 teilen kannst.

Die Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$ nimmt beliebige reelle Zahlen an ($D_f = \mathbb{R}$), liefert aber nur positive Werte ($W_f = \mathbb{R}^+$). Ihr Gegenstück, die Logarithmusfunktion $f(x) = \log_2(x)$, verhält sich genau umgekehrt: $D_f = \mathbb{R}^+$ und $W_f = \mathbb{R}$.

Bei den trigonometrischen Funktionen gibt es ebenfalls Besonderheiten. Sinus und Kosinus haben die gleiche Wertemenge $W_f = [-1, 1]$, während der Tangens alle reellen Zahlen als Ergebnisse liefern kann ($W_f = \mathbb{R}$). Beim Tangens musst du jedoch Vorsicht walten lassen, da er nicht an allen Stellen definiert ist.

💡 Tipp: Merke dir, dass die Definitionsmenge des Tangens alle reellen Zahlen außer $(2k+1)\frac{\pi}{2}$ mit $k \in \mathbb{Z}$ umfasst – an diesen Stellen gibt es senkrechte Asymptoten im Graphen!