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29. Jan. 2026
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Magdalena
@mgd.leni
Analysis ist ein wichtiger Teil der Mathematik, der sich mit... Mehr anzeigen
Stetigkeit bedeutet einfach gesagt, dass eine Funktion an einer Stelle keine "Sprünge" macht. Damit eine Funktion an der Stelle x₀ stetig ist, müssen drei Bedingungen erfüllt sein: Die Funktion muss dort definiert sein, die Grenzwerte von links und rechts müssen gleich sein, und dieser Grenzwert muss dem Funktionswert entsprechen.
Beim Verhalten im Unendlichen schaust du dir an, was mit den y-Werten passiert, wenn x sehr groß oder sehr klein wird. Der Trick ist, immer die höchste Potenz zu betrachten - sie bestimmt das Verhalten der ganzen Funktion.
Bei ganzrationalen Funktionen kommt es auf den Grad n und den Koeffizienten aₙ an. Ist n gerade und aₙ positiv, geht die Funktion für x → ±∞ gegen +∞. Bei ungeradem n hängt die Richtung davon ab, ob x gegen +∞ oder -∞ geht.
Merktipp: Die höchste Potenz entscheidet! Alle anderen Terme werden bei großen x-Werten unwichtig.
Die Differenzialrechnung hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an jedem Punkt zu bestimmen. Das Differenzieren ist nichts anderes als das Berechnen dieser Steigung - und die entspricht immer der Steigung der Tangente an diesem Punkt.
Die mittlere Änderungsrate gibt dir einen ungefähren Wert für die Steigung zwischen zwei Punkten. Du berechnest sie über den Differenzenquotienten, also den Anstieg der Sekante zwischen zwei Punkten.
Lässt du die beiden Punkte immer näher zusammenrücken, wird aus der Sekante eine Tangente. Die momentane Änderungsrate erhältst du über den Grenzwert des Differenzenquotienten - das ist dann die erste Ableitung f'(x₀).
Wichtig: Die Ableitung ist die mathematische "Lupe" für Steigungen - sie zeigt dir genau, wie steil eine Funktion an jedem Punkt ist.
Eine Kurvendiskussion ist wie ein Steckbrief für Funktionen. Du untersuchst systematisch alle wichtigen Eigenschaften: Definitionsbereich, Wertebereich, Nullstellen, Symmetrie und das Verhalten im Unendlichen.
Bei der Symmetrie prüfst du zwei Arten: Achsensymmetrie liegt vor, wenn f = f(x) gilt, Punktsymmetrie zum Ursprung, wenn f = -f(x) ist.
Die Monotonie zeigt dir, wo eine Funktion steigt oder fällt. Ist f'(x) > 0, steigt die Funktion monoton; ist f'(x) < 0, fällt sie monoton. Extremstellen findest du dort, wo die Monotonie wechselt.
Extremstellen haben eine wichtige Eigenschaft: f'(x₀) = 0 (notwendiges Kriterium). Aber Vorsicht - nicht jede Stelle mit waagerechter Tangente ist ein Extremum! Das hinreichende Kriterium prüft den Vorzeichenwechsel von f'(x) oder das Vorzeichen von f''(x₀).
Praxistipp: Arbeite die Kurvendiskussion immer systematisch ab - so vergisst du keine wichtigen Punkte und behältst den Überblick.
Wendestellen sind besondere Punkte, an denen sich das Krümmungsverhalten der Funktion ändert. Das notwendige Kriterium ist f''(x₀) = 0, das hinreichende Kriterium fordert zusätzlich f'''(x₀) ≠ 0.
Das Krümmungsverhalten erkennst du an der zweiten Ableitung: Ist f''(x) > 0, ist die Funktion linksgekrümmt (konvex) - sie bildet eine Art "Tal". Ist f''(x) < 0, ist sie rechtsgekrümmt (konkav) und bildet einen "Berg".
Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Hier ist sowohl f'(x₀) = 0 als auch f''(x₀) = 0. Die erste Ableitung hat an dieser Stelle einen Berührpunkt mit der x-Achse, aber kein Extremum.
Eselsbrücke: Bei Wendestellen "wendet" sich das Krümmungsverhalten - aus einem Tal wird ein Berg oder umgekehrt.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
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Samantha Klich
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Thomas R
iOS-Nutzer
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Basil
Android-Nutzer
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Xander S
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Elisha
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Paul T
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Magdalena
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Analysis ist ein wichtiger Teil der Mathematik, der sich mit dem Verhalten von Funktionen beschäftigt. Du lernst hier, wie sich Funktionen verhalten, wo sie steigen oder fallen, und wie du ihre besonderen Punkte findest.
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Stetigkeit bedeutet einfach gesagt, dass eine Funktion an einer Stelle keine "Sprünge" macht. Damit eine Funktion an der Stelle x₀ stetig ist, müssen drei Bedingungen erfüllt sein: Die Funktion muss dort definiert sein, die Grenzwerte von links und rechts müssen gleich sein, und dieser Grenzwert muss dem Funktionswert entsprechen.
Beim Verhalten im Unendlichen schaust du dir an, was mit den y-Werten passiert, wenn x sehr groß oder sehr klein wird. Der Trick ist, immer die höchste Potenz zu betrachten - sie bestimmt das Verhalten der ganzen Funktion.
Bei ganzrationalen Funktionen kommt es auf den Grad n und den Koeffizienten aₙ an. Ist n gerade und aₙ positiv, geht die Funktion für x → ±∞ gegen +∞. Bei ungeradem n hängt die Richtung davon ab, ob x gegen +∞ oder -∞ geht.
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Die Differenzialrechnung hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an jedem Punkt zu bestimmen. Das Differenzieren ist nichts anderes als das Berechnen dieser Steigung - und die entspricht immer der Steigung der Tangente an diesem Punkt.
Die mittlere Änderungsrate gibt dir einen ungefähren Wert für die Steigung zwischen zwei Punkten. Du berechnest sie über den Differenzenquotienten, also den Anstieg der Sekante zwischen zwei Punkten.
Lässt du die beiden Punkte immer näher zusammenrücken, wird aus der Sekante eine Tangente. Die momentane Änderungsrate erhältst du über den Grenzwert des Differenzenquotienten - das ist dann die erste Ableitung f'(x₀).
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Eine Kurvendiskussion ist wie ein Steckbrief für Funktionen. Du untersuchst systematisch alle wichtigen Eigenschaften: Definitionsbereich, Wertebereich, Nullstellen, Symmetrie und das Verhalten im Unendlichen.
Bei der Symmetrie prüfst du zwei Arten: Achsensymmetrie liegt vor, wenn f = f(x) gilt, Punktsymmetrie zum Ursprung, wenn f = -f(x) ist.
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Extremstellen haben eine wichtige Eigenschaft: f'(x₀) = 0 (notwendiges Kriterium). Aber Vorsicht - nicht jede Stelle mit waagerechter Tangente ist ein Extremum! Das hinreichende Kriterium prüft den Vorzeichenwechsel von f'(x) oder das Vorzeichen von f''(x₀).
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Wendestellen sind besondere Punkte, an denen sich das Krümmungsverhalten der Funktion ändert. Das notwendige Kriterium ist f''(x₀) = 0, das hinreichende Kriterium fordert zusätzlich f'''(x₀) ≠ 0.
Das Krümmungsverhalten erkennst du an der zweiten Ableitung: Ist f''(x) > 0, ist die Funktion linksgekrümmt (konvex) - sie bildet eine Art "Tal". Ist f''(x) < 0, ist sie rechtsgekrümmt (konkav) und bildet einen "Berg".
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Verwandle diesen Lernzettel in: ✓ 50+ Übungsfragen ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Komplette Probeklausur ✓ Aufsatzgliederungen
Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über die Kurvendiskussion, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und der Monotonie von Funktionen. Zudem werden wichtige Konzepte der Integralrechnung behandelt, wie die Berechnung von Flächeninhalten zwischen Graphen und die Anwendung der Integrationsregeln. Ideal für die Vorbereitung auf Mathe Klausuren im GK 12/1.
MatheDiese Klausur behandelt die mathematische Analyse der Wassermenge in einem Wasserturm. Sie umfasst die Bestimmung von Extrempunkten, Ableitungen, graphische Lösungen und die Anwendung des Differenzenquotienten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen in der Analysis vorbereiten. Themen: Ableitungen, lokale Extremstellen, graphische Differenzierung und Funktionstransformationen.
MatheErforschen Sie die Zusammenhänge zwischen Ableitungen und Funktionen, einschließlich der Analyse von lokalen und globalen Extrema, Monotonie, Wendepunkten und Krümmungsverhalten. Diese Zusammenfassung bietet wertvolle Einblicke in die Anwendung der Differenzialrechnung und deren Bedeutung für das Verständnis von Funktionsgraphen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihre Kenntnisse in der Mathematik vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie Sie Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion mithilfe der notwendigen und hinreichenden Bedingungen der Differenzialrechnung bestimmen. Diese Zusammenfassung behandelt die Ableitungen, das Auffinden von Extrema und die Anwendung auf konkrete Beispiele. Ideal für Studierende der Mathematik und Naturwissenschaften.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die graphische Ableitung, einschließlich der Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten, Sattel- und Wendepunkten. Erfahren Sie, wie man die Steigung analysiert und die Funktion auf der x-Achse darstellt. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihre Kenntnisse in der Kurvenanalyse vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich der Anwendung der Differenzierung, der Regeln der Integration und des Flächeninhalts zwischen Graphen. Diese Zusammenfassung behandelt das Haupttheorem der Integralrechnung und bietet Lösungen zu typischen Aufgaben. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
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Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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Elisha
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Paul T
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