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Magdalena
29.11.2025
Mathe
Differentialrechnung
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29. Nov. 2025
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Magdalena
@mgd.leni
Analysis ist ein wichtiger Teil der Mathematik, der sich mit... Mehr anzeigen
Stetigkeit bedeutet einfach gesagt, dass eine Funktion an einer Stelle keine "Sprünge" macht. Damit eine Funktion an der Stelle x₀ stetig ist, müssen drei Bedingungen erfüllt sein: Die Funktion muss dort definiert sein, die Grenzwerte von links und rechts müssen gleich sein, und dieser Grenzwert muss dem Funktionswert entsprechen.
Beim Verhalten im Unendlichen schaust du dir an, was mit den y-Werten passiert, wenn x sehr groß oder sehr klein wird. Der Trick ist, immer die höchste Potenz zu betrachten - sie bestimmt das Verhalten der ganzen Funktion.
Bei ganzrationalen Funktionen kommt es auf den Grad n und den Koeffizienten aₙ an. Ist n gerade und aₙ positiv, geht die Funktion für x → ±∞ gegen +∞. Bei ungeradem n hängt die Richtung davon ab, ob x gegen +∞ oder -∞ geht.
Merktipp: Die höchste Potenz entscheidet! Alle anderen Terme werden bei großen x-Werten unwichtig.
Die Differenzialrechnung hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an jedem Punkt zu bestimmen. Das Differenzieren ist nichts anderes als das Berechnen dieser Steigung - und die entspricht immer der Steigung der Tangente an diesem Punkt.
Die mittlere Änderungsrate gibt dir einen ungefähren Wert für die Steigung zwischen zwei Punkten. Du berechnest sie über den Differenzenquotienten, also den Anstieg der Sekante zwischen zwei Punkten.
Lässt du die beiden Punkte immer näher zusammenrücken, wird aus der Sekante eine Tangente. Die momentane Änderungsrate erhältst du über den Grenzwert des Differenzenquotienten - das ist dann die erste Ableitung f'(x₀).
Wichtig: Die Ableitung ist die mathematische "Lupe" für Steigungen - sie zeigt dir genau, wie steil eine Funktion an jedem Punkt ist.
Eine Kurvendiskussion ist wie ein Steckbrief für Funktionen. Du untersuchst systematisch alle wichtigen Eigenschaften: Definitionsbereich, Wertebereich, Nullstellen, Symmetrie und das Verhalten im Unendlichen.
Bei der Symmetrie prüfst du zwei Arten: Achsensymmetrie liegt vor, wenn f = f(x) gilt, Punktsymmetrie zum Ursprung, wenn f = -f(x) ist.
Die Monotonie zeigt dir, wo eine Funktion steigt oder fällt. Ist f'(x) > 0, steigt die Funktion monoton; ist f'(x) < 0, fällt sie monoton. Extremstellen findest du dort, wo die Monotonie wechselt.
Extremstellen haben eine wichtige Eigenschaft: f'(x₀) = 0 (notwendiges Kriterium). Aber Vorsicht - nicht jede Stelle mit waagerechter Tangente ist ein Extremum! Das hinreichende Kriterium prüft den Vorzeichenwechsel von f'(x) oder das Vorzeichen von f''(x₀).
Praxistipp: Arbeite die Kurvendiskussion immer systematisch ab - so vergisst du keine wichtigen Punkte und behältst den Überblick.
Wendestellen sind besondere Punkte, an denen sich das Krümmungsverhalten der Funktion ändert. Das notwendige Kriterium ist f''(x₀) = 0, das hinreichende Kriterium fordert zusätzlich f'''(x₀) ≠ 0.
Das Krümmungsverhalten erkennst du an der zweiten Ableitung: Ist f''(x) > 0, ist die Funktion linksgekrümmt (konvex) - sie bildet eine Art "Tal". Ist f''(x) < 0, ist sie rechtsgekrümmt (konkav) und bildet einen "Berg".
Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Hier ist sowohl f'(x₀) = 0 als auch f''(x₀) = 0. Die erste Ableitung hat an dieser Stelle einen Berührpunkt mit der x-Achse, aber kein Extremum.
Eselsbrücke: Bei Wendestellen "wendet" sich das Krümmungsverhalten - aus einem Tal wird ein Berg oder umgekehrt.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Magdalena
@mgd.leni
Analysis ist ein wichtiger Teil der Mathematik, der sich mit dem Verhalten von Funktionen beschäftigt. Du lernst hier, wie sich Funktionen verhalten, wo sie steigen oder fallen, und wie du ihre besonderen Punkte findest.
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Stetigkeit bedeutet einfach gesagt, dass eine Funktion an einer Stelle keine "Sprünge" macht. Damit eine Funktion an der Stelle x₀ stetig ist, müssen drei Bedingungen erfüllt sein: Die Funktion muss dort definiert sein, die Grenzwerte von links und rechts müssen gleich sein, und dieser Grenzwert muss dem Funktionswert entsprechen.
Beim Verhalten im Unendlichen schaust du dir an, was mit den y-Werten passiert, wenn x sehr groß oder sehr klein wird. Der Trick ist, immer die höchste Potenz zu betrachten - sie bestimmt das Verhalten der ganzen Funktion.
Bei ganzrationalen Funktionen kommt es auf den Grad n und den Koeffizienten aₙ an. Ist n gerade und aₙ positiv, geht die Funktion für x → ±∞ gegen +∞. Bei ungeradem n hängt die Richtung davon ab, ob x gegen +∞ oder -∞ geht.
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Die Differenzialrechnung hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an jedem Punkt zu bestimmen. Das Differenzieren ist nichts anderes als das Berechnen dieser Steigung - und die entspricht immer der Steigung der Tangente an diesem Punkt.
Die mittlere Änderungsrate gibt dir einen ungefähren Wert für die Steigung zwischen zwei Punkten. Du berechnest sie über den Differenzenquotienten, also den Anstieg der Sekante zwischen zwei Punkten.
Lässt du die beiden Punkte immer näher zusammenrücken, wird aus der Sekante eine Tangente. Die momentane Änderungsrate erhältst du über den Grenzwert des Differenzenquotienten - das ist dann die erste Ableitung f'(x₀).
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Eine Kurvendiskussion ist wie ein Steckbrief für Funktionen. Du untersuchst systematisch alle wichtigen Eigenschaften: Definitionsbereich, Wertebereich, Nullstellen, Symmetrie und das Verhalten im Unendlichen.
Bei der Symmetrie prüfst du zwei Arten: Achsensymmetrie liegt vor, wenn f = f(x) gilt, Punktsymmetrie zum Ursprung, wenn f = -f(x) ist.
Die Monotonie zeigt dir, wo eine Funktion steigt oder fällt. Ist f'(x) > 0, steigt die Funktion monoton; ist f'(x) < 0, fällt sie monoton. Extremstellen findest du dort, wo die Monotonie wechselt.
Extremstellen haben eine wichtige Eigenschaft: f'(x₀) = 0 (notwendiges Kriterium). Aber Vorsicht - nicht jede Stelle mit waagerechter Tangente ist ein Extremum! Das hinreichende Kriterium prüft den Vorzeichenwechsel von f'(x) oder das Vorzeichen von f''(x₀).
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Wendestellen sind besondere Punkte, an denen sich das Krümmungsverhalten der Funktion ändert. Das notwendige Kriterium ist f''(x₀) = 0, das hinreichende Kriterium fordert zusätzlich f'''(x₀) ≠ 0.
Das Krümmungsverhalten erkennst du an der zweiten Ableitung: Ist f''(x) > 0, ist die Funktion linksgekrümmt (konvex) - sie bildet eine Art "Tal". Ist f''(x) < 0, ist sie rechtsgekrümmt (konkav) und bildet einen "Berg".
Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Hier ist sowohl f'(x₀) = 0 als auch f''(x₀) = 0. Die erste Ableitung hat an dieser Stelle einen Berührpunkt mit der x-Achse, aber kein Extremum.
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Diese Klausur behandelt die mathematische Analyse der Wassermenge in einem Wasserturm. Sie umfasst die Bestimmung von Extrempunkten, Ableitungen, graphische Lösungen und die Anwendung des Differenzenquotienten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen in der Analysis vorbereiten. Themen: Ableitungen, lokale Extremstellen, graphische Differenzierung und Funktionstransformationen.
MatheEntdecken Sie die Lösungen zu den Aufgaben auf Seite 86 des Mathebuchs Lambacher Schweizer EF. Diese Zusammenfassung behandelt die Anwendung der Differenzierung, Nullstellen, Extrempunkte und charakteristische Punkte von Funktionen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Mathematik vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Julia S
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