Mathematik

Stetigkeit und Unstetigkeiten von Funktionen

Differenzierbarkeit

597

•

15. Jan. 2026

•

2 Seiten

Differenzierbarkeit – Definition und Beispiele

Céline

@celine._.lernzettel

Differenzierbarkeit ist ein wichtiges Konzept in der Analysis, das dir... Mehr anzeigen

Wenn der Graph einer Funktion einen Knick hat, ist sie nicht differenzierbar.
>
Beispiel:
14
+
differenzierbar
Man nennt eine Funktion diffe

Differenzierbarkeit verstehen

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad entlang des Graphen einer Funktion – wenn es einen scharfen Knick gibt, ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar. Eine Funktion ist nur dann differenzierbar, wenn der Grenzwert $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ existiert und endlich ist.

Dieser Grenzwert muss für jede Zahl $x_0$ aus dem Definitionsbereich der Funktion existieren. Praktisch bedeutet das: Der Graph hat keine Knicke, Sprünge oder senkrechte Tangenten.

Beispiel mit $f(x) = x^2$ an der Stelle $x_0 = 4$ : Du berechnest $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ und kürzt mit der binomischen Formel: $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4} = x+4$ . Setzt du dann 4 ein, erhältst du 8 – die Funktion ist also differenzierbar!

Merktipp: Wenn du den Grenzwert ohne Probleme berechnen kannst und eine endliche Zahl rauskommt, ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.

Nicht-differenzierbare Funktionen erkennen

Die Betragsfunktion $f(x) = |x|$ ist das perfekte Beispiel für eine nicht-differenzierbare Funktion – und zwar genau an der Stelle $x_0 = 0$ , wo sie ihren charakteristischen Knick hat.

Um das zu beweisen, berechnest du die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte separat. Von links kommend (für $x < 0$) ist $|x| = -x$ , was den Grenzwert $-1$ ergibt. Von rechts kommend (für $x > 0$) ist $|x| = x$ , was den Grenzwert $1$ ergibt.

Da beide Grenzwerte unterschiedlich sind (-1 ≠ 1), existiert der Gesamtgrenzwert nicht – die Funktion ist an $x_0 = 0$ nicht differenzierbar.

Die h-Methode ist ein alternativer Weg: Statt $\lim_{x \to x_0}$ schreibst du $\lim_{h \to 0}$ und ersetzt $x$ durch $x_0 + h$ . Das macht die Rechnung manchmal einfacher, führt aber zum gleichen Ergebnis.

Praxistipp: Immer wenn du einen Knick im Graphen siehst, prüfe die links- und rechtsseitigen Grenzwerte getrennt!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Beliebteste Inhalte: Differenzierbarkeit

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Erfahren Sie, wann Funktionen differenzierbar und stetig sind. Diese Zusammenfassung behandelt die Bedingungen für Differenzierbarkeit, die grafische Darstellung und Beispiele zur Veranschaulichung. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung.