Differenzierbarkeit verstehen

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad entlang des Graphen einer Funktion – wenn es einen scharfen Knick gibt, ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar. Eine Funktion ist nur dann differenzierbar, wenn der Grenzwert $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ existiert und endlich ist.

Dieser Grenzwert muss für jede Zahl $x_0$ aus dem Definitionsbereich der Funktion existieren. Praktisch bedeutet das: Der Graph hat keine Knicke, Sprünge oder senkrechte Tangenten.

Beispiel mit $f(x) = x^2$ an der Stelle $x_0 = 4$: Du berechnest $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ und kürzt mit der binomischen Formel: $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4} = x+4$. Setzt du dann 4 ein, erhältst du 8 – die Funktion ist also differenzierbar!

Merktipp: Wenn du den Grenzwert ohne Probleme berechnen kannst und eine endliche Zahl rauskommt, ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.

Nicht-differenzierbare Funktionen erkennen

Die Betragsfunktion $f(x) = |x|$ ist das perfekte Beispiel für eine nicht-differenzierbare Funktion – und zwar genau an der Stelle $x_0 = 0$, wo sie ihren charakteristischen Knick hat.

Um das zu beweisen, berechnest du die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte separat. Von links kommend (für $x < 0$) ist $|x| = -x$, was den Grenzwert $-1$ ergibt. Von rechts kommend (für $x > 0$) ist $|x| = x$, was den Grenzwert $1$ ergibt.

Da beide Grenzwerte unterschiedlich sind (-1 ≠ 1), existiert der Gesamtgrenzwert nicht – die Funktion ist an $x_0 = 0$ nicht differenzierbar.

Die h-Methode ist ein alternativer Weg: Statt $\lim_{x \to x_0}$ schreibst du $\lim_{h \to 0}$ und ersetzt $x$ durch $x_0 + h$. Das macht die Rechnung manchmal einfacher, führt aber zum gleichen Ergebnis.

Praxistipp: Immer wenn du einen Knick im Graphen siehst, prüfe die links- und rechtsseitigen Grenzwerte getrennt!