Grundlagen zu Funktionen

Funktionen sind eigentlich ziemlich simpel: Du steckst einen x-Wert rein und bekommst einen y-Wert raus. Die Definitionsmenge D zeigt dir, welche x-Werte du überhaupt einsetzen darfst, während die Wertemenge W alle möglichen y-Werte enthält.

Bei linearen Funktionen hast du immer eine Gerade mit der Form f(x) = mx + t. Das m ist die Steigung (wie steil die Gerade ist), das t der y-Achsenabschnitt $wo die Gerade die y-Achse schneidet$. Wenn zwei Geraden parallel sind, haben sie die gleiche Steigung $m₁ = m₂$. Stehen sie senkrecht zueinander, gilt m₁ · m₂ = -1.

Quadratische Funktionen sind Parabeln und kommen in drei Formen vor: Normalform f(x) = ax² + bx + c, Scheitelpunktform f(x) = a$x-xs$² + ys und Produktform. Um von Normal- zur Scheitelpunktform zu kommen, berechnest du xs = -b/2a und setzt das dann ein.

Merkhilfe: Bei Parabeln bestimmt das Vorzeichen von a die Öffnungsrichtung - positiv bedeutet nach oben, negativ nach unten!

Der Parameter a beeinflusst, wie die Parabel aussieht: |a| > 1 streckt sie, |a| < 1 staucht sie. Verschiebungen funktionieren über die Parameter b $x-Richtung$ und c $y-Richtung$.

Stochastik Grundlagen

Stochastik klingt komplizierter als es ist! Ein Zufallsexperiment hat verschiedene mögliche Ergebnisse, die zusammen den Ergebnisraum Ω bilden. Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse nennt man Mächtigkeit |Ω|.

Die relative Häufigkeit berechnest du als Hn(E) = absolute Häufigkeit/n. Nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen nähert sich diese relative Häufigkeit bei vielen Wiederholungen einem festen Wert zwischen 0 und 1 - das ist dann die Wahrscheinlichkeit.

Ereignisse kannst du miteinander verknüpfen: A ∩ B ist die Schnittmenge (beide Ereignisse treten ein), A ∪ B die Vereinigungsmenge (mindestens eines tritt ein). Der Satz von Sylvester gibt dir: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Praxis-Tipp: Bei Laplace-Experimenten haben alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit - dann gilt einfach P(E) = |E|/|Ω|!

Die Vierfeldertafel hilft dir, komplexere Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zu berechnen. Wichtig: Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn P(A|B) = P(A) gilt.

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Bernoulli

Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) bedeutet: Wie wahrscheinlich ist A, wenn B schon eingetreten ist? Die Formel lautet P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B). Das brauchst du ständig für realistische Aufgaben!

Beim Hypothesentest überprüfst du eine Vermutung. Du stellst eine Nullhypothese H₀ auf und definierst einen Annahme- und Ablehnungsbereich. Das Signifikanzniveau α (meist 0,05 oder 0,01) gibt an, wie sicher du sein willst.

Bernoulli-Experimente haben nur zwei mögliche Ausgänge: Erfolg (Wahrscheinlichkeit p) oder Misserfolg $Wahrscheinlichkeit q = 1-p$. Bei einer Bernoulli-Kette wiederholst du so ein Experiment n-mal.

Formel-Highlight: Die Bernoulli-Formel P$X=k$ = (n über k) · pᵏ · $1-p$ⁿ⁻ᵏ gibt dir die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge!

Für binomialverteilte Zufallsgrößen X ~ B(n,p) kennst du wichtige Kennwerte: Erwartungswert E(X) = np, Varianz Var(X) = np$1-p$ und Standardabweichung σ(X) = √$np(1-p)$.

Nullstellen berechnen

Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse. Du setzt einfach f(x) = 0 und löst nach x auf. Je nach Funktionstyp gibt's verschiedene Methoden.

Bei linearen Funktionen löst du direkt nach x auf. Bei quadratischen Funktionen ohne lineares Glied $f(x) = ax² + c$ ziehst du die Wurzel. Wenn nur das konstante Glied fehlt $f(x) = ax² + bx$, klammerst du x aus.

Die Mitternachtsformel ist dein Allheilmittel für alle quadratischen Funktionen: x₁,₂ = $-b ± √(b² - 4ac)$/(2a). Die Diskriminante D = b² - 4ac verrät dir: D < 0 bedeutet keine Nullstellen, D = 0 eine Nullstelle, D > 0 zwei Nullstellen.

Zeitsparer: Bei schwierigen Funktionen kannst du die Nullstellen auch mit der Tabellenfunktion deines Taschenrechners finden!

Für kubische Funktionen probierst du erst einfache Werte aus, um eine Nullstelle zu finden, und machst dann Polynomdivision. Bei Funktionen höheren Grades hilft oft Substitution (Variablenwechsel).

Kurvendiskussion Basics

Eine Kurvendiskussion ist wie ein Steckbrief für Funktionen - du untersuchst alle wichtigen Eigenschaften systematisch. Das Globalverhalten hängt vom höchsten Exponenten und seinem Vorzeichen ab.

Symmetrie erkennst du schnell: Bei Achsensymmetrie zur y-Achse gilt f$-x$ = f(x), bei Punktsymmetrie zum Ursprung gilt f$-x$ = -f(x). Achsensymmetrische Funktionen haben nur gerade Exponenten, punktsymmetrische nur ungerade.

Schnittpunkte mit der y-Achse findest du durch f(0), Nullstellen durch f(x) = 0. Das Globalverhalten für x → ±∞ hängt davon ab, ob der höchste Exponent gerade oder ungerade ist und ob sein Koeffizient positiv oder negativ ist.

Die Ableitung f'(x) gibt dir die lokale Änderungsrate - also die Steigung in jedem Punkt. Du brauchst die Ableitungsregeln: Potenzregel (xⁿ wird zu n·xⁿ⁻¹), Faktorregel (konstante Faktoren bleiben), Summenregel (Ableitungen addieren sich).

Ableitungs-Trick: Konstante Zahlen verschwinden beim Ableiten komplett, der Exponent wird zum Faktor und verringert sich um 1!

Extrempunkte und Wendepunkte

Extrempunkte findest du, wo sich das Steigungsverhalten ändert - das sind die Nullstellen von f'(x). Skizziere f'(x) und schau: Wechselt f' von positiv zu negativ, hast du einen Hochpunkt. Wechselt f' von negativ zu positiv, einen Tiefpunkt.

Monotonie bedeutet: Wo steigt oder fällt die Funktion? Ist f'(x) > 0, steigt f(x) streng monoton. Ist f'(x) < 0, fällt f(x) streng monoton. Das kannst du direkt aus der Skizze von f' ablesen.

Wendepunkte sind die Nullstellen von f''(x) - dort ändert sich das Krümmungsverhalten. Die zweite Ableitung f'' zeigt dir die Krümmung: f''(x) > 0 bedeutet linksgekrümmt (Parabel nach oben), f''(x) < 0 bedeutet rechtsgekrümmt (Parabel nach unten).

Wichtiger Hinweis: Bei beschränktem Definitionsbereich können auch die Randpunkte Extremstellen sein - vergiss sie nicht!

Ein Terrassenpunkt liegt vor, wenn f'(x₀) = 0 und f''(x₀) = 0 gilt. Hier hat die Funktion eine waagerechte Tangente und wechselt das Krümmungsverhalten.

Steckbriefaufgaben

Bei Steckbriefaufgaben suchst du eine Funktionsgleichung aus gegebenen Eigenschaften. Du startest mit der allgemeinen Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d und ihren Ableitungen.

Bedingungen richtig übersetzen ist der Schlüssel! "Schneidet die x-Achse bei x₀" bedeutet f(x₀) = 0. "Berührt die x-Achse bei x₀" bedeutet f(x₀) = 0 UND f'(x₀) = 0. "Hat einen Extrempunkt bei x₀" bedeutet f'(x₀) = 0.

Du stellst Bedingungsgleichungen auf, indem du die Informationen in die Funktionsgleichung und ihre Ableitungen einsetzt. Dann löst du das Gleichungssystem und findest die Parameter a, b, c und d.

Profi-Tipp: Du brauchst genau so viele Bedingungen, wie du Parameter hast. Für eine kubische Funktion also 4 Bedingungen!

Wendepunkte erkennst du an f''(x₀) = 0, Extrempunkte mit konkreten Koordinaten geben dir sowohl f(x₀) = y₀ als auch f'(x₀) = 0. Die größte Steigung liegt auch bei f''(x₀) = 0.

Extremwertaufgaben

Extremwertaufgaben sind Optimierungsprobleme aus dem echten Leben - du willst etwas maximieren oder minimieren. Das Vorgehen ist immer gleich: Hauptbedingung, Nebenbedingung, Zielfunktion.

Die Hauptbedingung enthält die Formel für das, was du optimieren willst $z.B. Flächeninhalt A = a·b$. Die Nebenbedingung beschreibt eine Einschränkung $z.B. fester Umfang U = 2a + 2b = 30$.

Aus der Nebenbedingung löst du eine Variable auf $b = 15 - a$ und setzt sie in die Hauptbedingung ein. So entsteht die Zielfunktion A(a) = a$15-a$, die du dann mit einer normalen Kurvendiskussion optimierst.

Real-World Fact: Bei vorgegebenem Umfang hat das Quadrat immer die größte Fläche - das ist ein mathematisches Naturgesetz!

Wichtige Formeln kennst du für Rechteck $A = a·b, U = 2a+2b$, Quadrat $A = a², U = 4a$, Kreis $A = πr², U = 2πr$ und Dreieck $A = ½·g·h$. Vergiss nicht den Definitionsbereich zu bestimmen!

Integralrechnung

Integration ist Rückwärts-Ableiten! Eine Stammfunktion F(x) hat die Eigenschaft F'(x) = f(x). Die wichtigsten Integrationsregeln: Konstanten werden zu Kx, xⁿ wird zu xⁿ⁺¹/$n+1$, konstante Faktoren bleiben.

Das unbestimmte Integral ∫f(x)dx = F(x) + C beschreibt alle möglichen Stammfunktionen. Das bestimmte Integral ∫[a bis b] f(x)dx = F(b) - F(a) berechnet konkrete Flächeninhalte.

Flächenberechnung funktioniert so: Bei Flächen oberhalb der x-Achse rechnest du normal. Bei Flächen unterhalb nimmst du den Betrag. Bei mehreren Teilflächen addierst du sie. Bei Flächen zwischen zwei Funktionen integrierst du $obere Funktion - untere Funktion$.

Flächen-Tipp: Negative Integralwerte bedeuten Flächen unterhalb der x-Achse - für den Flächeninhalt brauchst du immer den Betrag!

Schnittpunkte der Funktionen findest du durch f(x) = g(x). Das Intervall [a,b] gibt dir die Grenzen vor, in denen du die Fläche berechnest.

Exponentialfunktionen und Logarithmus

Exponentialfunktionen wie f(x) = eˣ wachsen extrem schnell und kommen überall in der Natur vor. Die allgemeine Form f(x) = a·e^$cx+d$ + y₀ lässt Streckungen, Stauchungen und Verschiebungen zu.

Exponentialgleichungen löst du mit dem natürlichen Logarithmus ln. Aus 3 = eˣ wird x = ln(3). Bei komplizierteren Gleichungen isolierst du erst den e-Term und logarithmierst dann beide Seiten.

Die Logarithmusgesetze sind deine besten Freunde: ln(u·v) = ln(u) + ln(v), ln$u/v$ = ln(u) - ln(v) und ln(uʳ) = r·ln(u). Damit kannst du fast jede Exponentialgleichung knacken.

Naturkonstante: Die Zahl e ≈ 2,718 ist eine der wichtigsten Konstanten der Mathematik und taucht in Wachstums- und Zerfallsprozessen auf!

Lösungsschritte bei Exponentialgleichungen: Erst alle Terme ohne e auf eine Seite bringen, dann durch den Vorfaktor teilen, dann ln anwenden. Bei 80e^$-0,03t$ + 20 = 65 würdest du -20 rechnen, dann :80, dann ln.