Einführung in Folgen und Reihen

Folgen und ihre Eigenschaften

Folgen sind nichts anderes als nummerierte Listen von Zahlen - stell dir vor, du ordnest jeder Platznummer n eine bestimmte Zahl zu. Die einzelnen Zahlen heißen Folgenglieder und werden als $a_n$ geschrieben.

Es gibt zwei Wege, eine Folge zu beschreiben: rekursiv bedeutet, dass jedes Glied vom vorherigen abhängt ($a_{n+1} = a_n + f(n+1)$). Explizit bedeutet, du kannst jedes Glied direkt berechnen ($a_n = f(n)$).

Besonders wichtig sind geometrische Folgen ($a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$) und arithmetische Folgen ($a_n = a_1 + d(n-1)$). Bei geometrischen multiplizierst du immer mit dem gleichen Faktor, bei arithmetischen addierst du immer die gleiche Zahl.

Merktipp: Geometrisch = multiplizieren, arithmetisch = addieren!

Der Grenzwert einer Folge ist der Wert, dem sich die Folgenglieder immer mehr nähern. Hat eine Folge einen Grenzwert, ist sie konvergent - sonst divergent. Eine Nullfolge konvergiert gegen null.

Beschränktheit bedeutet, dass die Folge nicht ins Unendliche wächst: Eine obere Schranke s sorgt dafür, dass $a_n \leq s$, eine untere Schranke u, dass $a_n \geq u$.

Bei der Monotonie geht's darum, ob eine Folge nur steigt oder nur fällt. Streng monoton steigend heißt $a_{n+1} > a_n$, monoton steigend $a_{n+1} \geq a_n$. Das Gleiche gibt's für fallende Folgen.

Geometrische Reihen entstehen, wenn du die ersten n Glieder einer geometrischen Folge addierst. Eine unendliche geometrische Reihe konvergiert nur, wenn $|q| < 1$ ist - das ist super wichtig für Klausuren!