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3. Feb. 2026

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Verstehen von Folgen und ihren Gliedern

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Yelda

@yelda_o

Folgen sind überall um uns herum - von der Anzahl... Mehr anzeigen

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# Folgen

REELLE ZAHLENFOLGEN
> besteht aus unendlich vielen reellen Zahlen $a_n, a_2, a_3,..$
> ganze Zahlenfolge wird $a_n$ genannt
> Zahl

Reelle Zahlenfolgen und Bildungsgesetze

Folgen bestehen aus unendlich vielen reellen Zahlen wie a₁, a₂, a₃, ... Die ganze Zahlenfolge wird als aₙ bezeichnet, wobei n die Position angibt. Stell dir vor, du zählst die Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... - das ist eine typische Folge mit dem Bildungsgesetz aₙ = n².

Es gibt zwei Arten, wie du Folgen beschreiben kannst. Explizite Bildungsgesetze geben dir das n-te Folgenglied direkt an - wie bei aₙ = n² für Quadratzahlen. Du setzt einfach deine gewünschte Position n ein und erhältst sofort das Ergebnis.

Rekursive Bildungsgesetze funktionieren anders: Du bekommst das erste Glied und eine Formel, die dir sagt, wie du vom aktuellen zum nächsten Glied kommst. Für Quadratzahlen wäre das: a₁ = 1 und aₙ₊₁ = aₙ + 2n + 1.

Merktipp: Explizit = direkt berechnen, rekursiv = Schritt für Schritt aufbauen!

# Folgen

REELLE ZAHLENFOLGEN
> besteht aus unendlich vielen reellen Zahlen $a_n, a_2, a_3,..$
> ganze Zahlenfolge wird $a_n$ genannt
> Zahl

Arithmetische und geometrische Folgen

Arithmetische Folgen erkennst du daran, dass die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern immer gleich bleibt. Die Formel aₙ₊₁ - aₙ = d zeigt dir diese konstante Differenz d. Ein Beispiel: 5, 8, 11, 14, 17, ... hieristd=3hier ist d = 3.

Für arithmetische Folgen gilt das Bildungsgesetz aₙ = a₁ + n1n-1·d. Du nimmst also das erste Glied und addierst n1n-1-mal die Differenz d dazu.

Geometrische Folgen haben einen konstanten Quotienten q zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern: aₙ₊₁/aₙ = q. Ein typisches Beispiel ist 2, 6, 18, 54, ... hieristq=3hier ist q = 3. Das Bildungsgesetz lautet: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹.

Faustregel: Gleiche Differenz = arithmetisch, gleicher Quotient = geometrisch!

# Folgen

REELLE ZAHLENFOLGEN
> besteht aus unendlich vielen reellen Zahlen $a_n, a_2, a_3,..$
> ganze Zahlenfolge wird $a_n$ genannt
> Zahl

Grenzwerte von Folgen

Manche Folgen nähern sich einem bestimmten Wert an - das nennt man Konvergenz. Die Folge aₙ = (3/4)ⁿ wird zum Beispiel immer kleiner und nähert sich der Null an. Wir schreiben: lim(n→∞) (3/4)ⁿ = 0.

Um einen Grenzwert zu haben, stelle dir einen beliebig schmalen Streifen um diesen Wert vor. Fast alle Folgenglieder müssen in diesem Streifen liegen - nur endlich viele dürfen außerhalb sein. Je schmaler der Streifen wird, desto mehr Glieder müssen "hineinpassen".

Das Sierpiński-Dreieck ist ein cooles Beispiel aus der Realität: Sein Flächeninhalt folgt der Formel (3/4)ⁿ und konvergiert gegen Null. Die Figur wird immer "durchlöcherter", bis praktisch nichts mehr übrig bleibt.

Visualisierung hilft: Zeichne die ersten Folgenglieder in ein Koordinatensystem - so siehst du sofort, wohin die Reise geht!

# Folgen

REELLE ZAHLENFOLGEN
> besteht aus unendlich vielen reellen Zahlen $a_n, a_2, a_3,..$
> ganze Zahlenfolge wird $a_n$ genannt
> Zahl

Beschränktheit von Folgen

Eine Folge ist beschränkt, wenn sie nicht ins Unendliche wächst oder fällt. Es gibt eine obere Schranke S, die kein Folgenglied überschreitet, und eventuell auch eine untere Schranke.

Monotonie beschreibt das Wachstumsverhalten: Eine Folge ist steigend, wenn aₙ₊₁ - aₙ ≥ 0, und fallend, wenn aₙ₊₁ - aₙ ≤ 0. Das hilft dir zu verstehen, in welche Richtung sich die Folge entwickelt.

Praxistipp: Beschränkte und monotone Folgen konvergieren immer - das ist ein wichtiger Satz für deine Klausur!



Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Mathe

2.764

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Verstehen von Folgen und ihren Gliedern

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@yelda_o

Folgen sind überall um uns herum - von der Anzahl deiner Instagram-Follower bis hin zu mathematischen Mustern in der Natur. Du lernst hier, wie man diese unendlichen Zahlenreihen beschreibt, berechnet und ihre Grenzen bestimmt.

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> besteht aus unendlich vielen reellen Zahlen $a_n, a_2, a_3,..$
> ganze Zahlenfolge wird $a_n$ genannt
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Folgen bestehen aus unendlich vielen reellen Zahlen wie a₁, a₂, a₃, ... Die ganze Zahlenfolge wird als aₙ bezeichnet, wobei n die Position angibt. Stell dir vor, du zählst die Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... - das ist eine typische Folge mit dem Bildungsgesetz aₙ = n².

Es gibt zwei Arten, wie du Folgen beschreiben kannst. Explizite Bildungsgesetze geben dir das n-te Folgenglied direkt an - wie bei aₙ = n² für Quadratzahlen. Du setzt einfach deine gewünschte Position n ein und erhältst sofort das Ergebnis.

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Arithmetische und geometrische Folgen

Arithmetische Folgen erkennst du daran, dass die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern immer gleich bleibt. Die Formel aₙ₊₁ - aₙ = d zeigt dir diese konstante Differenz d. Ein Beispiel: 5, 8, 11, 14, 17, ... hieristd=3hier ist d = 3.

Für arithmetische Folgen gilt das Bildungsgesetz aₙ = a₁ + n1n-1·d. Du nimmst also das erste Glied und addierst n1n-1-mal die Differenz d dazu.

Geometrische Folgen haben einen konstanten Quotienten q zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern: aₙ₊₁/aₙ = q. Ein typisches Beispiel ist 2, 6, 18, 54, ... hieristq=3hier ist q = 3. Das Bildungsgesetz lautet: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹.

Faustregel: Gleiche Differenz = arithmetisch, gleicher Quotient = geometrisch!

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Manche Folgen nähern sich einem bestimmten Wert an - das nennt man Konvergenz. Die Folge aₙ = (3/4)ⁿ wird zum Beispiel immer kleiner und nähert sich der Null an. Wir schreiben: lim(n→∞) (3/4)ⁿ = 0.

Um einen Grenzwert zu haben, stelle dir einen beliebig schmalen Streifen um diesen Wert vor. Fast alle Folgenglieder müssen in diesem Streifen liegen - nur endlich viele dürfen außerhalb sein. Je schmaler der Streifen wird, desto mehr Glieder müssen "hineinpassen".

Das Sierpiński-Dreieck ist ein cooles Beispiel aus der Realität: Sein Flächeninhalt folgt der Formel (3/4)ⁿ und konvergiert gegen Null. Die Figur wird immer "durchlöcherter", bis praktisch nichts mehr übrig bleibt.

Visualisierung hilft: Zeichne die ersten Folgenglieder in ein Koordinatensystem - so siehst du sofort, wohin die Reise geht!

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Eine Folge ist beschränkt, wenn sie nicht ins Unendliche wächst oder fällt. Es gibt eine obere Schranke S, die kein Folgenglied überschreitet, und eventuell auch eine untere Schranke.

Monotonie beschreibt das Wachstumsverhalten: Eine Folge ist steigend, wenn aₙ₊₁ - aₙ ≥ 0, und fallend, wenn aₙ₊₁ - aₙ ≤ 0. Das hilft dir zu verstehen, in welche Richtung sich die Folge entwickelt.

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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