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Marleen :)
6.12.2025
Mathe
Fortsetzung der Analysis (2+3. Ableitung, lokale Extrema, Wendepunkt, Funktionsscharen, …)
2.008
•
6. Dez. 2025
•
Marleen :)
@m078
Hier findest du alles Wichtige für deine Mathe LK Klausur... Mehr anzeigen
Du fragst dich, wie du Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion findest? Das ist eigentlich ganz systematisch! Zuerst bildest du die erste und zweite Ableitung der Funktion.
Der Trick liegt darin, die Nullstellen der ersten Ableitung zu finden - dort sind nämlich die möglichen Extrempunkte versteckt. Setze f'(x) = 0 und löse nach x auf.
Jetzt kommt die zweite Ableitung ins Spiel: Setze deine Kandidaten ein. Ist f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist f''(x) < 0, liegt ein Hochpunkt vor. Bei f''(x) = 0 findest du einen Sattelpunkt.
Merktipp: TP = Tiefpunkt = Täler sind Positiv (f'' > 0), HP = Hochpunkt = Hügel sind Negativ (f'' < 0)
Für Tangentengleichungen brauchst du nur den Punkt und die Steigung f'(x) an dieser Stelle. Mit y = mx + b findest du schnell die Gleichung der Tangente.
Die zweite Ableitung ist dein Schlüssel zum Verständnis der Krümmung! Sie zeigt dir, ob der Graph nach links (f'' > 0) oder rechts (f'' < 0) gekrümmt ist.
Wendepunkte sind besonders spannend - dort ändert sich die Krümmung am stärksten. Du findest sie, indem du f''(x) = 0 setzt und die Kandidaten in die dritte Ableitung einsetzt.
Wenn f'''(x) ≠ 0 ist, hast du definitiv einen Wendepunkt gefunden. Diese Punkte sind oft in Textaufgaben versteckt: Suche nach Wörtern wie "am stärksten", "verändert sich am schnellsten" oder "steilster Anstieg".
Praxis-Tipp: Bei Sachaufgaben immer auch die Randwerte des Intervalls checken - manchmal liegt das Maximum oder Minimum am Rand!
Symmetrie erkennst du sofort am Funktionsterm! Kommen nur gerade Exponenten vor (x², x⁴, x⁶), ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Bei nur ungeraden Exponenten (x, x³, x⁵) liegt Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Das Randverhalten hängt vom höchsten Exponenten ab. Bei geradem Exponenten gehen beide Seiten in dieselbe Richtung (beide nach oben oder beide nach unten). Bei ungeradem Exponenten gehen sie in entgegengesetzte Richtungen.
Das Vorzeichen des führenden Koeffizienten entscheidet dabei die Richtung. Positive Koeffizienten bedeuten bei x → +∞ auch f(x) → +∞ (bei ungeradem Exponenten).
Schnell-Check: x³ geht links runter, rechts hoch. -x³ geht links hoch, rechts runter. x² und -x² gehen beide Seiten gleich!
Funktionsscharen enthalten neben x auch einen Parameter a - dadurch entstehen unendlich viele ähnliche Graphen. Beim Ableiten behandelst du a wie eine ganz normale Zahl.
Manchmal musst du Fallunterscheidungen machen, wenn der Parameter a das Vorzeichen beeinflusst. Dann überlegst du: "Was passiert, wenn a positiv ist? Was, wenn a negativ ist?"
Bei gemeinsamen Punkten aller Graphen setzt du zwei konkrete Werte für a ein, gleichst die Funktionen und prüfst, ob diese Punkte wirklich auf allen Graphen liegen.
Parameter-Trick: Wenn du unsicher bist, setze einfach konkrete Zahlen für a ein und schaue, was passiert!
Gemeinsame Punkte findest du, indem du zwei konkrete Parameterwerte wählst , die Funktionen gleichsetzt und die Schnittpunkte berechnest. Diese Punkte müssen dann auf allen Graphen der Schar liegen.
Ortskurven zeigen dir den Weg, den charakteristische Punkte (wie Extrempunkte) durchlaufen, wenn der Parameter a sich ändert. Du formst die x-Koordinate nach a um und setzt das Ergebnis in die y-Koordinate ein.
Das Ergebnis ist eine neue Funktion ohne Parameter - das ist deine Ortskurve! Alle Tiefpunkte, Hochpunkte oder Wendepunkte der Schar liegen auf dieser Kurve.
Ortskurven-Merkmal: Die fertige Ortskurve enthält keinen Parameter mehr - nur noch x und y!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hans T
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Marleen :)
@m078
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Du fragst dich, wie du Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion findest? Das ist eigentlich ganz systematisch! Zuerst bildest du die erste und zweite Ableitung der Funktion.
Der Trick liegt darin, die Nullstellen der ersten Ableitung zu finden - dort sind nämlich die möglichen Extrempunkte versteckt. Setze f'(x) = 0 und löse nach x auf.
Jetzt kommt die zweite Ableitung ins Spiel: Setze deine Kandidaten ein. Ist f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist f''(x) < 0, liegt ein Hochpunkt vor. Bei f''(x) = 0 findest du einen Sattelpunkt.
Merktipp: TP = Tiefpunkt = Täler sind Positiv (f'' > 0), HP = Hochpunkt = Hügel sind Negativ (f'' < 0)
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese detaillierte Anleitung zur Kurvenfindung behandelt die Anwendung der Differenzierung, das Verhalten von Krümmungen und die Bestimmung von Funktionseigenschaften. Erfahren Sie, wie Sie eine Funktion 3. Grades aufstellen und charakteristische Punkte wie Hoch- und Wendepunkte identifizieren. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse in der Kurvenanalyse vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Schritte zur Bestimmung von Wendepunkten einer Funktion, einschließlich der Ableitungen und der notwendigen Bedingungen. Erfahren Sie, wie Sie die y-Werte ermitteln und die Krümmungsverhalten analysieren. Ideal für Studierende, die sich auf Differenzialrechnung vorbereiten.
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MatheErfahren Sie, wie man den Differenzquotienten und die Ableitungen zur Bestimmung von Extremstellen und Wendepunkten berechnet. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Differenzierung, die Anwendung auf Kurvendiskussionen und die Analyse von Funktionen. Ideal für Studierende der Mathematik und Naturwissenschaften.
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MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Julia S
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